ÉQUILIBRE DES MASSIFS PESANTS EN TERRE OU EN MAÇONNERIE

Supposons £ = - > en tenant encore comme applicable la théorie précédente. La profondeur limite serait •

Telle serait l'épaisseur raaxima que Ton pourrait attribuer à un revêtement ou à un enduit fait avec la terre considérée sur une

paroi verticale. Pour un enduit ayant cette épaisseur, on aurait

. aDsino

A = i =211 tanifo.

coscp ° ^

Examinons encore en terminant le cas de /=o. Dans ce cas, A devient un carré parfait et sa racine est, en rétablissant le facteur 4^^î

4[n^sin© -H G coso]^.

Par suite, les racines du trinôme en A sont

AM = yicôs'Q^"'^' i-f-sin«o)-f-2G.xsin©cos<p=fc;îi^(nrsin(p-hGcos«j))],

Ai = : ^•1 n(i H- siiup) H cosïp (équilibre supérieur),

\' — : I n(i — sin») coso I (équilibre inférieur).

* I -t- sinç L ^ y J

État d'équilibre d'un massil triang^ulaire indéfini, c^est^àrdire compris entre deux talus plans, quand les fordes extérieures sur chacun de ces talus sont parallèles entre elles et proportionnelles aux distances du sommet à leur point d'application. — Soient OM et ON les deux talus faisant, avec la verticale O j', des angles i et j que nous compterons positivepient, l'un de Oy vers Oar, l'autre de O^ vers Ox\ et soient

ian^i = niy langy = n.

Dans les conditions de charges supposées, la situation d'un point P(.r, y) sur une droite telle que OP définie par l'angle a qu'elle fait avec Oy, ne diffère de celle d'un autre point P', pris

sur la même droite, que par un simple changement dans Téchelle des loncçueurs, deux fig^ures quelconques homothétiques par rap-

Fig. 196.

port au point O pouvant se déduire Tune de Fautre par la considération de leur rapport d^iomolhélie, tout au moins en ce qui concerne les distances et les cliarj^es appliquées et, par suite aussi, les tensions intérieures.

Sur un élément [)lan d^ orientation donnée passant par le point P, la tension aura donc une expression de la forme

p désignant la distance OP. Les conséquences suivantes s'en déduisent.

Considérons d'abord la fonction F=:N,H-N2. S^il s'agit bien d'un équilibre élastique, cette fonction doit satisfaire à la condition

AF = o.

Or, en coordonnées polaires, en tenant compte des relations

:r=psina, j' = p cosa,

cette équatioh devient, comme l'on sait,

^*F ^«F d^¥ i d¥ I c^F e/j7* dy* dp^ P dp p* da^

£qUI LIBRE DBS MASSIFS PESANTS EN TERRE OU EN MAÇONNERIE. 'jZy

Pour une fonction F de la foi^me considérée, on a

5^=-^(*^' .5F"''' d^^^d^' La condition se réduit donc à

de sorte que la fonction /(a) doit être de la forme r

/= A sina -f- B cosa,

A et B étanl des constantes. Autrement dit, la fonction F est de la

forme

P = Ap sina -h Hp cosa = Aar-f- Bj^,

c'est-à-dire une fonction linéaire et homogène en x et y. Autrement dit, N« + Na.doit avoir cette forme.

D'un autre côté, considérons les équations indéfinies d'équilibre, savoir :

Mi rfT,

dx dy '

-T i T Il = G.

dx dy

(Nous écrivons II avec le signe — afin de considérer les compressions comme des quantités positives.)

En difierentiant la première équation par rapport à x^ la seconde par rapport à y^ et en les retranchant, on obtient

ûte* dy^

Gomme on a identiquement

î2Ni = (N,-f-NO-4-(Ni-N,), 2N,= (N,-+-N,)--(Nt-N,),

on en déduit

rf^* dx^

Les deux dérivées secondes de N| + N2 étant nulles, il en est de même de A^N, — N2), de sorte que N| — N^ est, comme Ni -+-N2,

PlOBAUD 4?

une fonction linéaire et homogène en x et y. Il en est de même

pour N| et Nj séparément.

J En difTérentiant la première équation d'équilibre par rapport à y

i • et la seconde par rapport à x^ et en les ajoutant, on obtient,

^ d'autre part,