ÉQUILIBRE DES MASSIFS PESANTS EN TERRE OU RN MAÇONNERIE

que cet angle dépasse z};")" et au surplus n est généralement très petit, sinon rigoureusement nul.

Nous excluons provisoirement, dans ce qui suit, les digues en terre corroyée pour lesquelles lé contraire a lieu.

Courbes d'égales compressions maxima. — Les conditions précédentes étant supposées satisfaites, c'est-à-dire les compressions étant supposées positives dans tout le massif, la compression maxima en un point V{xy) est toujours donnée par la formule

h1/(iNi-n,)»-4-4T5.

En égalant cette expression à une constante R, on aura le lieu des points pour lesquels a = R.

11 est aisé de tracer cette courbe par points. On trouvera le point situé sur une demi-droite quelconque, telle que OP, définie par tang(o = p, en posant x =py^ de sorte que

et la valeur de y sera fournie par l'équation

La parenthèse, coefficient de^', étant toujours positive, la valeur de^ sera toujours bien déterminée et positive. La courbe dont il s^agit traverse donc le massif de parement à parement. C'est d'ailleurs une branche d'hyperbole.

Pour déterminer les intersections avec les parements., on utilisera les relations qui donnent a en fonction de N^, jointes aux formules qui fournissent la valeur de Na.

Dans le cas du réservoir vide, on aur^, pour le parement d'aval,

l'équation

et pour le parement d'amont une équation semblable, obtenue en permutant m et /i.

Dans le cas du réservoir plein, on aurait pour le parement d'aval

l'équation

[Un tr (^— mn)! , • ,, «

et pour le parement d'amont l'équation

Si l'on a fait le tracé pour une valeur arbitraire R, toutes les courbes correspondant à d'autres valeurs de R seront, comme nous l'avons déjà, remarqué, homothétiques à la première par rapport au sommet. On pourra donc notamment en déduire celle qui correspondrait à la valeur limite de R, c'estrà-dire à la limite admissible pour la résistance à la compression de la maçonnerie dont on veut faire usage. Si cette dernière courbe ne coupe pas ' le massif de hauteur limitée H que l'on a à construire, on aura toute sécurité. Sinon, il faudra, soit réduire la hauteur du massif, soit modifier dans un sens favorable les valeurs primitivement assignées à m et à /i, soit enfin adopter pour la base du massif, en dehors de la courbe tracée, une maçonnerie plus soignée et pilus résistante, conduisant pour R à une valeur plus grande, sans changer notablement la valeur de II.

Courbes d'égaux cisaillements maxima. — En un point donné P(a:y), Teffort tangentiel T, ou cisaillement, a pour valeur maxima :

li^ = iv^(iN,-N,)«-h4Tî.

En égalant cette expression à une constante C, on aura le lieu

des points pour lesquels on a : = C. Ce lieu est encore une

conique, mais cette fois du genre ellipse. Toutes ces courbes sont encore homothétiques, et, si l'on prend pour C la limite jugée admissible pour la maçonnerie, on aura la courbe, lieu des points pour lesquels le cisaillement atteint cette limite. La base du mur ne devra pas la couper, si l'on admet que c'est la valeur maxima de l'eflort tangentiel qui crée le danger de rupture par cisaillement.

éQUILIBRB DBS MASSIFS PK8ANTS BN TBRRB OU BN MAÇONNBRIB. 749

Mais M. Maurice Levy a fait observer que la condition ainsi posée est trop restrictive, en ce qu'elle ne tient aucun compte du frottement qui ^* exerce entre les surfaces en contact et pressées l'une contre Tautre. Il suffit, pour écarter tout danger de rupture par cisaillement, que sur un élément plan quelconque la

difTérence

|T|~|Nlang^|

demeure plus petite que la limite C admissible pour le cisaillement des matériaux. L'angle o est Tangle de frottement des matériaux sur eux-mêmes.

La quantité |T| — |Ntangçp| peut s'appeler le cisaillement ej/ecti/ dans la direction considérée autour du point P{xy).

On sait que son maximum a pour expiession

[(a — ô) — (a :+- 6)sin<p]

'l coso

* Si on régale à une constante C, on aura le lieu des points pour lesquels le cisaillement effectif atteint cette valeur C. On pourra encore le construire point par point.

En développant, on verrait encore que ce lieu est une conique, du genre hyperbole, mais cette fois il n'est pas certain que pour toute direction donnée telle que OP, tracée dans l'intérieur du massif, on obtiendra un point d'intersection tel que y soit positif. Cela dépendra du signe de la. parenthèse, qui formera le coefficient de j^.

Mais on peut faire au sujet de ces nouvelles courbes une

remarque générale importante. Leur équation peut se mettre sous

la forme

a(i — sinç) — ô(n-sînç) = 2Gcosf

, 1 + 8109 aC C0I9

I — sinç 1 — sinïp

Si on la compare à l'équation de l'article précédent, savoir :

on voit que, du moins en ce qui concerne sa branche utile, celle pour laquelle on aurait j^ > o, lès points de la nouvelle courbe

75o , CHAPITRE XXVII.

seront toujours au delà de ceux de la courbe a = R, pour laquelle

on aurait

j^^ '2Ccosy 1 — sinîp

Pour les parements libres, comme on a toujours b = o, les points d4ntersection avec les deux courbes seront confondus.

Pour des maçonneries, les valeurs limites admissibles pour R et C satisfont généralement à Pinégalité

I — sinçp

lÀgxies isostatiques. Lignes de glissement. — Nous croyons devoir, en terminant, ajouter quelques mots au sujet de ces lignes, bien que leur considération ait un inlérêt plutôt théorique que pratique. Leur rôle principal paraît èlre, en eflet, de faire entrevoir des modes de ru|)ture possibles des massifs, tandis que les recherches des constructeurs tendent surtout à déterminer les conditions * qui écartent les dangers de rupture.

Lorsqu'on a déterminé la courbe lieu des points du massif pour lesquels la compression maxima atteint la valeur limite R, que Ton considère comme dangereuse, cela ne veut, pas dire, même si l'on ne s'est réservé aucune marge de sécurité, que la rupture s'ensuivra tout le long de cette courbe. La limite R n'est jamais qu'une sorte de moyenne, et il est permis de penser qu'il y aura seulement un point plus faible où la matière commencera par céder, tandis qu'aux points voisins la résistance demeurera suffisante. Dès lors, comment se propagera la rupture commencée? On ne le sait guère, mais il est assez vraisemblable qu'elle commencera tout au moins suivant le plan de compression maxima, lequel n'est nullement le plan tangent au lieu considéré. Le trouble ainsi apporté modifiera la répartition des enbiis dans le reste du massif, et Ton ne sait pas a priori où se rencontrera le nouveau point le plus dangereux. Mais on fait une hypothèse plausible en supposant qu'il se trouvera au voisiitage immédiat du premier point de rupture et dans la direction même où s'est effectuée cette première rupture. Dans ces conditions, la ligne de rupture serait la ligne partant du premier point et dont la tangente serait en chaque point dirigée suivant le plan de compression