ÉQUILIBRE DBS MASSIFS PB8ANTS EN TERRE OU EN MAÇONNERIE

maxînia. Ce sera une ligne dite isoslalique^ ces lignes étant par définition telles que leur tangente soit en chaque point orientée suivant une des directions principales. Rappelons que ces lignes sont de deux espèces, suivant que l'on considère Tune ou Tautre des directions principales et qu'elles forment deux systèmes orthogonaux.

De la même façon, on admet généralement que la rupture par cisaillement ne s'effectue pas dans un massif en suivant la courbe lieu des points pour lesquels le cisaillement atteint sa valeur limite G considérée comme dangereuse, mais bien suivant une courbe telle qu'en chaque point sa tangente soit dirigée suivant le plan de cisaillement maximum. Ce sont ces dernières courbes qu'on appelle courbes de glissement.

Si l'on eijvisage le cisaillement pur et simple, on sait que les directions suivant lesquelles ce cisaillement est maximum sont orientées à 45" sur les directions principales. Les lignes de glisse-, ment sont donc, dans ce cas, des lignes coupant à 45** le réseau des lignes isostatiques. Elles sont donc faciles à tracer quand on connaît ces dernières.

Si l'on envisage le cisaillement effectif, comme on le fait pour tous les massifs cohérents, les directions suivant lesquelles ce cisaillement effectif est maximum font, comme on sait,, des angles

égaux à =t: ( T — r)* divec la direction de la plus grande tension

principale. Les lignes de glissement coupent donc dans ce cas,

suivant ces mêmes angles ^ (7 — - j» les lignes Jlsostatlqucs de

première espèce, c'ëst-à-dire celles qui, en chaque point, sont tangentes à la direction de la plus grande tension principale. Il est donc également facile de les tracer quand on connaît les lignes isostatiques.

Tel est donc l'intérêt qui s'attache à la considération de ces dernières lignes, au sujet desquelles, datis le cas de massifs triangulaires, on peut présenter les observations générales qui suivent.

Dans un Mémoire de M. Chlgot, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées (*), on trouvera leur détermination effective dans un

■ - ■-■■■ ■ ■ ■ ■ ■ — I I II ^^■^^ I ■ ■ — ^»^»» I ■ ■ - — — . . I. . .^■ I . , »

( ' ) Tome V du Bulletin de V Hydraulique agricole.

certain nombre de cas. Nous nous bornerons à montrer ici que leur équation différentielle est toujours intégrable.

Si Ton désigne par ^ Tangle que fait avec Ox h normale à Télément sur lequel s'exerce une tension principale, c*est-à-dire Tangle que fait avec Oo: la direction principale elle-même, on a la relation

L'équation différentielle des lignes isostatiques s'obtient donc

en faisant tang^ = ^ dans cette dernière relation.

Dans le cas actuel, les expressions de N< Na N 5 étant linéaires et homogènes en x et y, cette équation rentre dans la catégorie des équations différentielles, homogènes que Ton sait résoudre. On connaît le procédé classique. Quand on a

on pose y = xzj d'où ^ =^^ — 1-5 et l'équation se transforme

dx dz

dont l'intégrale générale est

Dans le cas actuel, l'intégrale qui figure en exponentielle est elle-même calculable, car cp(z) est' une fonction rationnelle du

premier degré par rapport à ^ et au radical V^(N, — N^)^ -f- 4TÎ qui n'est lui-même que du second degré en z.

Sans entrer dans une discussion analytique un peu compliquée, nous dirons simplement que, lorsqu'il s'agit d'un massif à l'abri des éous-pressions, les deux parements sont nécessairement des lignes isostatiques de première espèce, puisque la plus grande compression a est toujours dirigée suivant les parements, soit à vide*, soit en charge. Comme, d'a6tre part, deux courbes de même espèce ne peuvent se rencontrer qu'en un point* singulier pour lequel les compressions sont égales dans toutes les directions, cela

KQL'ILIBRK DES MASSIFS PESANTS EN TERRE OU KN M\Ç0NX15RIE. 753

suffît à montrer que toutes les courbes de eelte espèce doivent se rencontrer au sommet du mur.

Si Ton se rappelle, en outre, que loutes ces courbes sont liomotbétiques à Tune d'elles par rapport au sommet, on en conclut môme qu'elles doivent toutes partir tangentiellement a uneinêmc* droite Oï, qui fait partie de leur famille et qu'il est intéressant de déterminer.

Cette droite est telle qu'en l'un quelconque de ses points, de coordonnées j)' et jd= Ktang(o ^^pv, on ait

OJ,

X^oinme on a, d'au Ire part,

la quantité p = taugco satisfiiit à ré([uation du troisième d<îî;ré

cp ~\- d ^ p

(ai^a2)p -t-f.Oi'-ùt) ~pi—i*

Or on connaît a priori deux des racines de cette équation ; c(^

sont les inclinaisons des talus p rr^ m^ p =^ — n, La troisième

s'obtiendra donc en divisant par — rnn le produit dès racines,

• ^ » ^ • qui est -.

Sa valeur explicite sera

\\( m — n) ( m -h n ) -Jf- K( mn — m^ — i ) Il 2inn ( m -H /i ) -H K ( m — n — 2 m* n)

On a donc de la sorte une idée assez précise des li^^nes isostaliques de première espèce qui peuvent être en ««ros assimilées à l'ensemble des hyperboles tangentes en () h la droite OT et ayant comme directions asymptoliques les deux parements. Cî'ux-ci correspondent à l'hyperbole particulière dont le centre serait au point ().

Les courbes de seconde espèce, qui forment aussi une famille d.? courbes homothétiques, orthogonales aux premières, couperont Pige AU D 4'S

7S4 CHAPITRE HXVU,

donc le mas<>if de pari en part, et seront, bien entendu, normales aux<leiix parements ainsi qu'a la droite OT.

Quant aux lignes de glissement (celles correspondant aux cisaillements effectifs), elles affecteront Tallure représentée par la courbe pointillée GG| sur la figure ci-dessus. Les angles aigus

en G et Gi sont égaux à -^ — -■

Le cas d(\s murs strictement à Pabri des sous-pressions présente une particularité intéressante. -Lorsque le réservoir est plein, les lignes isostatiques d'un même système sont des droites parallèles entre elles, (.cherchons, on effet, sous quelles conditions cela peut avoir lieu. Il faut que ^ soit constant, ou, ce qui revient au même, que

lari" 7 -i = ^^ / y ^ — =s const.

(^ela exige que l'on ait entre les coefficients la relation

flj — dj ©i»— Of

Or, dans le cas considéré, on a sur le parement d*amont

N,=r8Nj=F et T,=ï=o,

ce qui a nécessaireinenl établi entre les coefficients les relations

EQUILIBRE DBS MASSIFS PKSANTS BN TERRE OU EN MAjCOîfMBRIB. jS^