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1 — sinç

c'est rinégalité inverse qui traduira les faits. Ici, en effet, C se tient aujL environs de 4ooo''o à 5ooo^8 par mètre carré, d'après les expériences de M. Frontard (Annales des Ponts et Chaussées, \ , 1914), tandis que R atteint Tordre de grandeur des valeurs que Ton assigne aux mortiers, c'est-à-dire des valeurs dix fois plus fortes environ. D'autre part, cp ne dépasse guère lo** /i,.i5*,

QuelquM objectiont. Gontidération d« lign»« d« discontinuité dans 1m ma«sif« en terre. — Nous croyons devoir revenir encore sur les réserves déjà faites à plusieurs reprises au sujet de Texactitude des hypothèses sur lesquelles repose la soh|tion linéaire envisagée, hypothèses dont il convient toujours d'apprécier a priori le degré de vraisemblance dans les problèmes pratiques que Ton se pose. V^oici notamment deux conséquences qui paraissent diffiiciles à accepter pour les massifs en terre. La première nous a été indiquée par M. l'inspecteur général Galliot.

Supposons un massif symétrique {ni = n) et ne supportant aucune charge extérieure. En se reportant aux formules, on

Il K / • •

trouve que, sur les deux talus, on a ^2= -^' (Cette tension doit

d'ailleurs élre uniforme sur tout plan horizontal, d'après la loi linéaire supposée. ) On en déduit pour la compression maxima sur l'un des talus

Celte valeur irait en croissant avec nu c'est-îVdire au fur el à mesure que le talus va en s'adoucissanl. Elle serait infinie, pour m^=^oc. Cela parait inacceptable.

"D autre part, supposons un massif triangulaire quelconque, constitué avec une matière pulvérulente et sans charge. Sur chacun des talus, toutes les tensions doivent s'annuler à la fois et, coninn* dans l'intérieur du massif elles varient linéairement, elles doivent être nulles partout, ce qui esJ absurde. Jl serait donc impossibb», quels que soient ni et /?, de constituer un massif triangulaire de matière pulvérulente, sans maintenir par une charge au moins Tun

EQUILIBRE DES MASSIFS PB8AN1S EN TEURE OU EN yAÇONNElUË. 737

des talus. Gela semble également en contradiction avec la réalité. On peut lever en partie ces difficultés, tout au moins pour les massifs de profondeur indéfinie, de la nuinière suivante. On peut 'réaliser pour le massif entier de nouveaux états d'équilibre, satisfaisant encore à la condition que les tensions varient proportionnellement à p, distarffcc d'un point au sommet, en supposant que pour certaines droites issues du sommet il y ail des discontinuités

Fi?. 198.

dans les déplacements élastiques. Si, par exemple, OR représente une pareille ligne, le massif entier pourra être décomJ>osé en deux massifs MOR et RON, appuyés Tun contre Taulre et tels que dans cl^acun d'eux la loi des tensions soit linéaire. Pour chacun d'eux on disposera de quatre constantes «i, a^, />|, fr^? soit huit en tout. On pourra les déterminer en partie: i ' par les conditions sur les deux talus ou surfaces libres ; 2" par la condition que sur les éléments plans dirigés suivant OR, les composantes X et Y des tensions soient éiçales. Cela fera en général six conditions et il restera deux arbitraires dont on pourra disposer suivant les conditions du problème, et notamment pour attribuer à la ligne de discontinuité OR une direction vraisemblable. En particulier, on pourra faire en sorte que le long de OR on ait une condition d'équilibre limite.

Dans le cas d'un massif triangulaire pulvérulent à talus libres, il sera loisible de supposer deux lignes de disncontinuité OR et OS. Pour chacun des massifs extérieurs on aura une seule constante, le^ trois autres s'exprimant en fonction de celle-là, puisque sur les surfaces libres les trois composantes des tensions doivent s'annuler à la^fois. Pour le massif intérieur, on en a quatre. Les six constantes satisferont à quatre relations exprimant l'égalilé des tensions

^58 CHilPITRB XXVII.

sur les éléments des lignes de discontinuité, de sorte qu'il en resterait eiicore deux arbitraires. On aurait une solution vraisemblable

en traçant des lignes de discontinuilé OR et OS telles qu'elles correspondent à des lignés de rupture pour les massifs extérieurs et eh admettant d'ailleurs que ceux-ci soient censés appartenir à des massifs indéfinis simplement limités par les plans des talus correspondants. Les tensions le long de ces lignes de rupture étant entièrement déterminées, Tétat d'équilibre du troisième massif compris entre elles sera aussi entièrement déterminé, et il sufiira de reconnaître s'il' est stable, ce qui arrivera en général.

Cette considération de lignes de discontinuité, correspoiidant à ridée de ruptures partieUes pendant la construction et à des tassements inégaux du sol de fondation, peut ainsi être intéressante dans l'étude des digues en terre. Nous la retrouverons dans l'étude des murs de soutènement.

Théorie de la poussée des terres sur les murs de soutènement. — On suppose, dans ce problème, un massif de terre triangulaire limité

Fig- Ï99-

d'un côté par une surface libre OX., faisant avec l'horizontale un angle iy et de l'autre côté par la paroi d'un mur de soutènement OA, faisant avec l'horizontale et en dessous d'elle un angle donhéiy. JLa nature de la terre est censée connue et il s'agit de trouver lés composantes de l'action, ou poussée, exercée par le massif de terre sur un élément P de la paroi du mur de soutènement.

Les théories proposées sont fort nombreuses ; elles s'appuient sur des hypothèses souvent discordantes. Aussi n'essaierons-nous pas

ÉQUILIBRE DES MASSIFS PF8ANT8 EN TERRE OU EN MXÇONNE^IR. -jhij

de les résumer .toutes. Nous nous bornerons à faire connaître les principes de quelques-unes. %

, lîne hypothèse commune à toutes consiste à admettre que loul le long de la paroi OA les composantes de la poussée sont proportionnelles à la distance OP = a; on en déduit que, sur une longueur finie telle que OA, la résultante des poussées passe au tiers inférieur de OA, et est proportionnelle au carré de OA. La difliculté est de trouver le coefficient de proportionnalité qui dépend notamment des angles i et y.

On suppose aussi que le massif de terre est dans. un état d'équilibre élastique et que le long d'une droite quelconque issue du sommet O les tensions varient comme la dislance du point considéré au sommet. H en résulte que la solution est linéaire, sauf à admettre certaines lignes de discontinuité, s'il y a lieu.

Théorie dite de Rankine et de Maurice Les y, — Rankine et Maurice Levy n'envisageaient que des massifs indéfinis en profondeur et constitués par de la terre pulvérulente. Mais leur théorie peut être conservée, en la généralisant, même dans le cas où il s'agit de terre cohérente, et de massifs limités à une profondeur inférieure à la profondeur limite admissible.

Envisageons d'abord un massif de terre, limité supérieurement par le plan 0\ et, s'il y a lieu, infériéurenient par un plan parallèle AA'. Supposons qu'on ait fait l'élude, abstraction faite de la paroi OA du mur de soutènement, c'est-à-dire qu'on ait déterminé les limites inférieure et supérieure que Ton peut altr^ibuerau coefficient A de la composante Ni (qui reste indéterminée et que l'on suppose de la forme jN| = Ay) de manière à assurer partout l'équilibre. Le long do toute droite telle que OA, issue du point O, on pourra déterminer les tensions qui s'exercent sur les éléments plans dirigés suivant OA, et cela pour toute valeur de la constante A, comprise entre ses deux limites.

Supposons maintenant que, à gauche du plan OA, on remplace le massif par une paroi rigide. Rankine et Maurice Levy admettent que la paroi OA lient lieu purement et simplement de la portion du massif qui est supprimée. Cette hypothèse esl rationnelle en ce que l'on obtient bien ainsi un état d'équilibre possible.

Mais quelle \aleur convient-il d'attribuer à la constante A,

'/)0 CIIAI*ÏTRE XXVII.

parmi loulcs les valeurs qirclle prul prendre? Si on lui altribuail la valeur niaxinicv, qui correspond à Trial d'équilibre limite supérieur, ou aurait évidemment loulo sécurité. Mais on serait conduit â des poussées telles qu'il faudrait donner au mur de soutènement, j>our l(* mcUre en mesure d'v résister, des dimensions exagérées, très supérieures à celles que la pratique a montrées suflisantes.

Alors on choisit pour A sa limile inférieure en justifiant ce choix par les considérations sulvanles. Ia\ mur desoutènement,jntroduil après coup, n'est pas absolumenl indéformable, si rigide soit-il. v>i les actions exercées sur lui deviennenl suffisantes pour le déformer MU pour lui faire prendre un pelit mouvement d'ensemble, ces déformalions, ou c(\ mouvemenl, auront pour efl'et de diminuer les réaclions exercées sur lui. D'ailb'urs, si ces réactions diminuaient au point de correspondre à une valeur de A inférieure à sa limite iiiférieure, le massif de terre cesscM-ait lui-même d'être en équilibre. ï)es mouvemenls se |)roduiraient à son intérieur jusqu'à ce que les réaclions sur le mur alteignbnl de nouveau les valeurs correspondant à la limile inférieure de A.

On admet donc comme vraisemblable qu'après une période plus ou moins longue de mouvements successifs, feint du mur de soutènement que du massif de lerre, il finira par s'établir un état d'équilibre réel et définitif tel que le mur de soutènement soit en état d'y résister indéfiniment, sans déplacement nouveau de sa paroi. C(*l état définitif peut dépendi'C évidemment de la résistance du mur lui-même et rester d'autant plus éloigné de l'état d'équibre limile inférieur du massif de terre que le mm' sera plus résistant. Mais la condition nécessaire et strictement suffisante pour qu'un pareil élat définitif puisse se produire, et pour que le mur puisse résister indéfiniiiKMit, c'est qu'il soit au moins en situation de résister à la poussée correspondant â l'état d'équilibre limite inférieur.

11 suffira donc, pour satisfaire aux règles de la prudence, de si donner une marge convenable, e'esl-à-dire un coefficient de sécuï'ité. 11 serait rationnel de faire porter ce coefficient sur la valeur attribuée à A, plutôt que sur le résultat définitif du calcul de la fatigue dans le mur de soulènement.

Bien entendu, il faul admettre que pendant la période de cons- Iruction et pendant la période troublée ultérieure, le mur ne soufl'rira aucun domina *•(• "rave du fait des déformations ou des