THÉORIE DBS POUTRES PRISMATIQUES. RÉACTIONS DES APPUIS

vcrsale ou le profil. Dans les diflérenlos positions quVUe occu|>(; elle porte aussi le nom de section normale de la pièce.

On appelieytè/'C de la pièce le volume engendré par un élément superficiel infiniment petit rf S de la section normale.

On appelle />/75me élémentaire le volume compris entre une section normale telle que G et une section normale infiniment voisine. On appelle de même fibre élémentairelsi portion d'une mènu' fibre comprise dans les limites d'un prisme élémentaire.

Cette définition, très * générale, implique ([uelques restrielions :

I® Au point de vue purement géométrique, pour que le prisme entier puisse être considéré comme la réunion de tous les prismes élémentaires, il faut que les plans de deux sections normales successives se coupent suivant une droite extérieure à Taire de la section. Cela écarte la possibilité de points anguleux pour la courbe Go(j|. Cela conduit même à supposer que les dimensions de la section transversale sont petites par rapport aux rayons de courbure de GoG|.

:>/* Pour que nous puissions faire abstraction de la loi de répartition des forces extérieures, dans le cas où ces forces Isont isolées

Vm bien réparties par groupes intéressant. des régions isolées ^e la pièce, il est nécessaire que la longueur dé cette pièce, ou la longueur de GqGi, soit grande relativement aux régions d'action des forces, c'est-à-dire qu'elle soit grande relativement aux dimensions de la section transversale.

3" Pour que la pièce ne soit pas défigurée parla déformation et pour qu'on puisse appliquer aux forces extérieures les équations de la statique sans tenir compte de cette déformation, il faut que la pièce ne soit pas trop grêle, et, par suite, que sa section transversale ne soit pas trop petite par rapport à sa longueur. Cette restriction est en sens inverse de la précédente. L'ensemble de ces restrictions montre que la section transversale doit être maintenue dans des limites convenables de grandeur relative par rapport à sa longueur et par rapport aux rayons de courbure de son axe longitudinal. Quand ces conditions ne sont pas remplies, les déductions tirées de la théorie de la Résistance des matériaux peuvent èli'e suspectées d'inexactitude.

PlOEAl'D j

On n'a \nis s(Mi\ent, ilaiis la prali(j!U\ à consith'n'r des pièces prismatiques itrflnifs d'une manière aussi j»;énéi'ale.

Souvent Taxe longitudinal de la pièce est un<* li«;nt* droite. On a alors affaire à \nu* pièce droite ou à une po ut rr droite,

Presfjue toujours Taxe longitudinal est tout au moins une lij*^ne piano. Ou a alors all'aire à une poutre courbe. I.e plan qui eonlieni l'axe longitudinal s'appelle le plan moyen de la poutre. La plupart du temps ce plan est un plan de symétrie de la poutre. Celle-ci est alors enj;endré<» par un profil ayant un axe de symétrie et cet axe demeure dans le |)Ian moyen lorsque le profil se déplace.

En revanclu* les poutres'ne remplissent pas toujours <*n praticpu^ les conditions qui \iennent d'être supposées dans la détînili(m des pièces prismali(pies.

La plupart du temps la section transversale ne i-este jms constante d'un bout à l'autre, elle varie progressivement. On a alors ce (fu'on appelle une poutre à section variable. Si (m»s variations sont sufilsaniment lentes et au total peu considérables, on. conçoit qu(» les procédés d<» cal(!ul a|>plicables aux poutres parfaites demeurent (»ncore admissibles à titre d approximation. On suppose alors que chaque élément rfS de la section est lui-même \ariable, et Ton appelhî encore fibre le petit volume engendiv par vv\ élément variable.

Parfois aussi au lieu de poutiTs homogènes, c'(»sl-à-<lire composées d'un seul matériau ayant partout le même coefficient d'élasticité, on envisage des poutres hétérogènes dont les diiVérentesHbres s<nit formé(»s de matériaux difFércnts. ("est le cas des poutix^s en ciment armé dont hvs apjdications se dévelo|>pent d<* ])lus en plus. On est alors (M)nduit à substituer aux éléments vvv\s dS' de l'aire de la section trans\ersale des éléments fictifs r/S = m dS' obtenus en multipliant Icn aires réelles rfS' par des coefficients c(uivenables, ihéoriquemenl proporlicuinels aux coefficients d'élasticité des différents matériaux. Si les variations de forme et de composition de la section sont std'fisamment lents, on aura une première approximaticni tout au ni(»ins en substituant la piè<-e ficti\e homogène, et de section variable, à la pièce réelle.

H3rpot]iè8es et définitions relatiTes aux forces appliquées et aux réactions d'appui. ^ous ne considérerons dans ce (|ui suit que des

TIIKORIE DES POl'TRKS PRISMATIQUKS. RKACTIONS DES APPUIS. 67

jMïiilrfs à j»1hu nio^\(Mi (i nous supposerons (nie Unîtes les f<)re<»s appliquées >f)iii parallèles à ee plan moyen tM s%mélri(pies par rapport à ee plan (pii sera pris pour plan i)xy. ^ous restrelpioiis ainsi la généralité du problème dans un but (k* sinipliiieati(ni. Mais rela nVntraînt* à aucun in<'on\énienl réel, ear les rirconstaiie<*s eoniraire'» ne s»* reneonlrenl <pi à litre tout à liiit exeeplionnel. (aAh revient «Tailleurs à éliminer les plién<imènes de tiM'siondont Tétudr l'élève de la théorie de FElastieité.

Les fones appliquées à la poutre sont les d<mné(»s primitives <lii problème. Klles sont appliquées soit au\ éléments de \olume, soit à des élénjenls de surface.

Les premières s<mt exclusi\emenl celles qui pro>ienneiit de la pesanteur. Si l'on considère toutes celles qui intéressent un prisme élémentaire, de lon|i(ueur ds^ on peut les remplacer loj^iquemeiit par leur résultante, proportionnelle à ds, contenue dans le plan moyen, et rencontrant la fibre moyenne au milieu de ds, J/(*nsemble de ces i^ésultanles élémentaires é(pii\aiit à une charge continue appli(piéf» an\ différents points de la libre mcnenne, un élément ^5 su[)porluiit une cliarj;e^ ^Z^, i\v direction constantes el dont rintensité /> peut être variable d'un point à l'auti'e, si la section transversale est \ariable.

Quant aux forces applicpiées à di*s éléments de surface, on peut f;rouper d'une façon analogue toutes celles <pii sont appliquées aux |>rismes éléuièntaires successifs. Pour un prisme élémentaire déterminé, cori*espondcUit à rélément ds^ on peut les remplacer : 1** par leur résultante <bMranslation : :-î'* par leur moment résultant pri> |>ar rapport au milieu de ds. Dans l(\s circonstances suppcisèes, la résult4uit«* de translation sera c(mtenue <lans le plan m(»ven et Ten- M'mble <le c<*s résultantes é(pii\audra à une charge «initinue de la Wtrme p ds, d'intensité \ariable et de direction pouvant être également variabh*. Le moment résultant sera perpendiculaire au plan luoyen. 11 pourra être négligé (piaud h's forces appliquées seront perpendiculaires à la fibre movenne, car il est ah»rs <le Tordre d4' grandeur tïv. p ds-. On [leiit encore faire la ré<luction d'une manière un peu «lifférente, en obs(»rvanl qu'on peut d'alnuMl grou|M*r deux à eleux les eliarg<*s s\ mélricpies par rapp<irt au plan nnvyen, ce (|ui conduit à un ensemble de charges contenues dan* ce plan. On peut al<»rs les réduire à une fi>rce unique (jue Ton <onser\era rattachée

au prisme élénientalre, ou bien à rélément ds^ el on lui allribuera «•omme point d'application le point (a^) où elle rencontre la normale à la fibre moyenne menée par le milieu àcds. L'ensemble des points (j/.^) peut former une courbe distincte de la fibre moyenne, mais elle peut, la plupart du temps, être confondue avec elle. Nous supposerons toujours qu'il en est ainsi.

On considère souvent des forces finies appliquées en d<*s points de la surface. C'est le cas limite du précédent, quand on fait tendre vers zéro la rég;îon d'application d'un ensemble de forces. En réalité cette région n'a jamais une étendue nulle et il faut même veiller avec soin dans les constructions à ce que cette étendue demeure toujours suffisante pour que l'intensité des efforts par unité de surface ne dépasse pas certaines limites dépendant de la nature de la matière considérée. Quoi qu'il en soit, lorsqu'on envisage des forces finies appliqiu'»es en certains points de la surface, cm peut, en suivani les mêmes principes, les remplacer par des forces appliquées en (les points de la fibre moyenne el par des moments perpendiculaires au plan moyen, ou bien encore par des forces appliquées en des points ( a^ ) du plan moyen.

La fiction analytique de forces finies appliquées en des points déterminés est avantageuse pour les raisonnements el surtout pour les déterminations graphiques, et nous parlerons souvent de charges à répartition continue, comme si elles étaient réunies en groupes plus ou moins importants, dont on considérera seulement les résultantes appliquées en des points du plan moyen.

Ainsi, en résumé, le système des forces a|)pliquées pourra toujours être ramené à un système de forces contenues dans le plan moyen. Ce système de forces a, en général, une résultante unique et il en est de même de tout groupe partiel de ces forces.

iNous pourrons même supposer généralement que toutes les forces appliquées sont parallèles à une même direction. On peut toujours, en eft'et, supposer chacune d'elles décomposée suivant deux directions arbitraires, une horizontale et une verticale par exemple, puis étudier à part TefiVt des composantes \erlicales et celui des composantes horizontahrs, el enfin faire la somme des résultats, eu vertu du principe général de superposition, ou loi de Hooke.

Les réactions des appuis ne sont pas, comme les charges apjJicpiées, des données du problème. On peut, dans certains cas, comme

TIIÉORIK DKS l>OUTnKS PRiSMATlOt'ES. RÉACTIONS DES APPtlS. Oq

nous le \ errons, cJéteniiiner leurs résultantes, r'est-à-dire les forces et moments équivalents, par les seules équations de la statique. Mais leur répartition réelle demeurera généralement inconnue tant qu*on ne fera pas'intervenir les propriétés élastiques de la matière. On les considérera donc généralement comme des forces finies, pouvant être remplacées, elles ciussi, par des forces appliquées au\ points d(^ la libre moyenne qui correspondent aux appuis et par des couples de moment perpendiculaire au plan moyen, ou bien encore par des forces appliquées dans le plan moyen à des points plus ou moins éloignés des points lhé(»riqiies d'appui.

Ênumération des différents problèmes qui se posent à propos des poutres prismatiques. - Les forces appliquées étant données, ainsi que la forme géométrique de la poutre, et la nature de ses appuis, ou supports, voici un aperçu sommaire des questions à résoudre^ pour servir de i>lan général dans les développements qui \onl suivre.

i**En premier lieu il faut rechercher les \aleurs des réactions des appuis, lescpielles font équilibre aux forces ap|)liquées. Dans certains cas on peut, eomnuî nous l'avons déjà dit, les déterminer immédiat<Muent en faisant intervenir seulement les équations de la statique. Mais* dans beaucoup d'autres cas celle délenuinalion n'est possible qu'en fai>aut intervenir aussi d<\s conditions spéciales tenant compte de la nature des appuis, conditions qui sont généralement liéi'> auv déformations prises par la poutre. T.es réactions des appuis dépend(*nt doue alors des hypothèses qui seront fiiites plus loin au sujet de ces déformations.

2® l^es réactions d'appui étant connues, ou supposées connues, il faut rechercher comment peut être assuré l'équilibre, non plus seulement de la poutre entière, mais des diflérents tronçons qu'on peut obtenir en coupant la poutre par une section normale variable* telle que G.

Une semblable section divise la poutre en deux tronçons distincts, le tronçon de gauche compris entre Go et G, et celui de droite compris entre G et G|.

Il faut donc d'abord savoir faire la composition ou la réduction de toutes les forces agissant sur ces tronçons, y compris les réac-

70 CIIAPITIE tV.

lions dos appnis s'il > a lirii. Puisque la pniilrp entière e*»l en équilibre, le sysièine des forées a^issiint sur le Imnçou de gauche esl équivalent el de sipie eonlraire à celui des forces agissant sur le tronçon de droite. Ils onl des résultantes de trsinMlation é|;;ale$ <'l opposées et des moments ivsultants égaux et de sij^ne contraire, fl suffit donc de <'onsidérer Tnn des tr<mçons, celui de j»:auche, par <*\enij)le.

F-e problème consiste alors^ étant donné qu'il s'agit uniquement 4le forces contenues <lans le plan moyen, de Irouxer lafonre uniqiM* équivalente à rensemble des forces agiNsant sur le tronçon de j;au(*lie. Cette force unique sera appelée Ir force exU^rieure agissant sur le tronçon, ou bien la force extérieure relati\e à la seclion (j limitant ce tronçon. KUe sera généralement définie par deux <'omposariles suivant des axes délerminés el par son moment priN par rapport au point (i.

.'^" En général, la force extérieure agissant sur le Ironçon d<* gauche ne sera j)as nulle. L'équilibre du Ironçon ne peut élre assuré que si à travers la seclion (i s'exercent des eftprts élasliques intérieurs, représentant dans leur ensemble les actions exercées sur le Ironçon de gauche par le Ironçon de droite. Les action?» exercées sur le to>nçon de droite par le tronçon de gauche, égale> et opposées aux précédentes, doi\enl donc former un système équivalent à la force extérieure agissant sur le Ironçon de gauche.

La résolu ti(Hi du problème |)récédenl fait donc c<»nnaître la résultante de translation el le moment résultanl. par rajiport aupoint (i, <lei actions exercées par le tronçon de gauche sur le tronçon de droite. Le problème qui se pose alors est (h' savoir comment sont <listribuées ces actions dans toute» rétendue de la section transversale G. C'esl là que de\ra inler\enir une hypothèse appnq)riée, la Mécanique générale ne pouvant rien ens(Mgner au .sujet de celle «listribution, puisqu'elle admet réquivalence de Ions systèmes de forces ayant même résultante et même moment résullanl.

i® Knfin, supposant connus hvs efl'orts qui s'exercent à travers ileux sections infiniment voisines (i el (i', comprenant <'nlre elle> un élément ds de la fibre moyenne', el, par suite, un prisme élémentaire de longueur ds^ la quatrième question consistera à rechercher comment se <léforme ce prisme élémentaire, autrement dit

TIIKORIK DES l>OUTHKS PllISVATlQUKS. RKACTIOXS DKS APPUIS. 7I

romiiKMit sera modifiée la |)osition rolali\(' dvs deux scchims U el ( î- On puiirni m drduiiv la défonuation (r«ni>ïMiil)U* <run tronroii

iiiii de la |)OiUn' et celle» de la poiilre loul entière.

Là 4*iie<>re le nM'ours à l'Iiypollièse paraît indis[)eiisal>le.

Considérations sur la recherche des réactions des appuis. — l ne réaction d appui fait intervenir dans le cas le plus f;énéral trois in- <'onnues distinctes, savoir ses deux composantes et son monu*nt ])ar ra|)])<u*t au point d'appui. D'autre j>art, dans les conditions où nous nous sommes placés, toutes les forces ap|)liquées étant su|)posécs dans le ])lan moyeu de la poutre, les équations d'équilil>re fournies par la statique se réduisent à trois. Par suite, ces équations ne sauraient, en j^^énéral, suffin» à détermijier les réactions «lapimi, des que le nombre des appuis est supérieur à un. Mais, en restreignant le mode d'action de certains appuis on peut encore résoudre le problème quand leur nombre ne dépasse pas deux, ou même trois.

Si Ton admet, par exemple, que la réaction d'un appui, supposé bien entendu réduit à un point, passe par ce |)oinl et a une dinM*ticMi obligée, cette réaction se trouve définie* par une seule quantité, qui est sa grandeur. On peut alors résoudre le problème p<»ur trois appuis d(* cette espèce.

Si Ton suppose un a|)pui tel que la réaction passe simplement par l'appui, sans (pie sa dii*ection soit imposée, la réaction correspondante introduit deux inconnues, saxoir ses deux composantes. Si Von a un appui de cette espèce et un appui de Tespèce précé-, dente, le problème sera encore résoluble.

Le cas de beaucoup le plus intéressant est le suivant : supposons que toutes les forces appliquées P soient [)arallèles entre elles v{ que les appuis de la poutre soient au nombre de deux seulement, <io et G|, et qu'ils soient disposés de telle façon (pie les réactions «•orrespondanles Ro <'t R, passent nécessairement j)ar G© et G, respectivement et aient même* direction (pie les forces appli(piées.

Prenons comme axes coordonnés les deux droites passant parG,^ vl respectivement perpendiculaire et parallèle aux forces appli- (piées. Soit /la proje<*tion de (io^'« ^^^^ ^^^ ^^ ^<>'f« d'une manière générale, a l'abscisse de la ligne d'action de la force P.

Les é({uati(ms d'é([uilibre statique se réduisent à deux, car le*^

(•omposanles do toulos les forces suivant Ox sont nulles. On les écrira en prenant les moments successivement par rapport à G|

Mg. 02.

el Go el en convenant de compter comme positives les charges P dirigées en sens inv(M*se de Oy :

d'où l'on tin»

Ro/ — 1P(/ — «) = 0, R,/- SPa = o,

Ho =2

Ces formules sont tout à fait générales, quellcrs que soient les dispositions respectives des lignes d'action des forces par rajjport au\ vertical(*s des appuis Gq et Gj. En outre, elles sont indépendant(»s de la forme de la fibre mo venue.

Lors([ue nous aurons une poutre ainsi disposée, nous dirons pour abréger qu'elle repose sur deux appuis simples <hi statiques, et bien que et» soient là des circonstanct;s assez particulières, on peut en tirer un parti très utile pour la théorie gjénérale.

Supposons maintenant que l'on ait une poutre quelconque reposant sur un nombnî d'appuis quelconque, les appuis G© et G« étant deux appuis consécutifs limitant ce que l'on appelle l'une des travées de la poutre. Les charges sont supposées toutes parallèles à une direction fixe, qui sera prise pour axe desi'.

On pourra commencer par faire l'étude de la poutre comme si elle reposait sur les deux seuls appuis G© el G«, et comme si ceux-ci étaient des appuis simples donnant lieu à des réactions

THÉOltlE DES POÏTRKS PRISMATIOIES. RÉACTIONS DES APPUIS. 7^

passant par (i^ et G| vl parallèles à Oj'. Ou pourra même ne (-onsidérer (pie les charges appliquées à la travée Ootii eomme si relie Iravée élait séparée du resle de la poutre, el l'ou pourra enfin su[)poser (pie eetle travée se confonde avec la poutre droite ayant eommi» libre moyenne la projection GoG^ de Ci^Gj sur Taxe des ^. Dans (^es conditions, on trouvera deux réacti(»ns Rq (ît R| parfaitement déterminées, cju'on pourra appeler les réactions provisoires des appuis G^ et G|. Elles différeront évidemment des réactions réelles ; .mais elles sont telles cependant que, jointes aux charges appli(piéeN à la travée, elles maintiennent celle-ci en équilibre.

I)è> lor>, il s'agit de re('liercher les réactions complémentaires qui proviennent : d\in<* part, des tron(;ons de la poutre supprimés «le chaque c()lé de la travée (considérée: et d'autre part, de la natiin* n'elle des appuis G© et 6,, s'il y a lieu. Quelle que soit la causi» à hujuelle sont dues ces réacti(»ns (u»mpléHientaires, elles doi\ent constituer à elles seules un svstème en é(juilibre. Elles seront donc constituées, dans le «tas" général, j)ar deux forces égales et direclemenl opposées.

La force (|ui représente la réaction (!om|)lémentaire de Tappui de gauche G© sera définie, par exenqile, par ses d(!ux composantes B et i\ sui>ant O^ et Ox. et [)ar son mouKuit A |)ris par rapport à l'origine des coordonnées.

Les irois inconnues A, B et C ainsi introduites dépendent évidemment du système d'axes coordonnés choisi. ()uand on Iransporte les axes parallèlement à eux-mêmes, B et i.\ demeurent le> mêmes et A seul change. Quand on modifie la direction des axes sans changer l'origine, A ne change |)as, uiais U»s ccunposanlês B et C sont naturellement modifiées.

L'utilité de cette transformation ap|)araîlra mieux par la suite. Mais un de ses avantages essentiels est le suivant.

Les réactions complémentaires peuvent être considérées comme des for(x*s appli([uées après coup à la travée, celle-ci étant d'abord en équilibre sur ses deux appuis sim|>les. Elles sont d(uu: indépendantes en quelque sorte des charges appliquées ou correspondent à une modification apportée» ultérieurement à la natun^ des appuis. Dans beaucoup de problèmes, on peut donc et l'on doit même les traiter comme d(*s variables indépendantes, au même titre (jue les charges appli(juées à la travée. Il n'en serait pas de

CHAPITAE IV.

lurme «les rt*a<Mi<uis j>n)vlsoir«»s il'appui, ni de UnUes les romposaules iii*s ri^actioiis ré<^Hes des appuis.

Recherche de la force extérieure relative à une section donnée n. Formules diverses concernant ses composantes. — Pla- <;<)ns-u(>us d'abord dans le ras *;énéral où les forc(*s appliquées soni <!e diiH'etions queleoncpies, mais contenues bien entendu dans le plan moyen.

Soil (f la seclion pour laquelle on elierelit' la force extérieure. <]elle-<'i s(M"a définie par ses deux couiposanl<*s \ et ^ et par son

moment INf^ pris |>ar rapptu't au point G. Au lit>u du moment ]\[r< il est d'usaj;e, en Résistance des matériaux, de considérer le moment M -~. — M- que Tiui appelle le moment Jlrc hissant. Cela re\i<'nl à con>idérer comme positifs les moments cpii tendent à fair(^ tourner dans le sens des ai^uillos d'une montre les points «l'application des forces autour <lu centre des moments.

Soit Ro bt réaction (jui s'exerce sur le tronçcui G,,^'» ^* travers la section origine passant par (io. (]etle réacti<ui sera soil la réaction <le l'appui ( i©, soit celle de la portion, de ptuilre située à gauche de (t^. Vppelons \ s<m moment par rapport à Toripne dos coordonnées, B et C ses (composantes suivant ()y ri Ot.

Soit, d'autre part, V l'une qu<dc(m(pu' des fondes appliquées d<'puis (jq jusqu'à (i. Soient i) et — V ses <'omposant<*s suivant i)x et i)y respectixement, et soit ( a[i ) s(ui point d'afiplication, qui sera situé ou non sur la fibre mo venue.

THÉORIE DES POUTRES PRISMATlOt ES. RÉACTIONS DES APPUIS. 7»

Dôsionoiis par \ une soinmatum s'appliqua'iîl à r<'ns<Mnl)le <lc>

g forces F a<rissaiit enlre (i|, el G. En mettant à pail les termes (pii

M = - M;,= \ -t- B^ - Cj^ .2] [Q(S -j^) -4- P(a - jr) |,

en désignant par (j?. y) !<*?> coordonnées du point (î.

Ces relations sont tout à fait j^énérales. \u lieu de considérer «les forces isolées, on peut considérer des forces à répartition continue /e long de la fibre moyenne. Si, à un élément rfo- de <-elle-ct, on suppose attachée une fon-e dont les composantes

soient q dfi et — pd^^ il suffira d'écrire à la place du s\ml)ol(* ^

les intégrales définies prises entre les limites (pii correspcmdent

à Go et à (f. On aura donc les formules

\ = C-h f qd<s, Y = H— f pd:r^

M = AA- Bx—'Cy^ I q i^^—y)d<J -+- l pi :t — x)dn.

IjV.s expressions trouvées pour M peinent évidemment s'écrire en

ahréeé

M = A -h Ba7 — Cy h- m,

en désignant par m le moment j)ar rapport au |)oinl (i des stMiles forces appliquées au tronçon GqG. ï/ensemhie d<'s autres termes, proveaant de la réaction Rq relative au ])oinL arbitraire (io, est iin<* fonction linéaire en x et y, et Ton a cet éiKuicé frécjueinmeiit appliqué : Le moment /lé c hissant en un point quelconque G de la fibre m^oyenne est^ à une fonction linéaire près des coordonnées de ce point^ égal au m,oment des forces directem.ent appliquées à la poutre entre G et un point arbitraire Gq pris à sa gauche.

Dans le cas des charges is<^)lé€S, cas aucjuel s'appliquent ^s for-

iTUiU's II), (»n reconnaîl que, pour tout point (t{xj:) situé dans l'intervalle de deux char<;es successives, les composariies \ et \ de la force extérieure sont des constantes et que le moment fléchissant M est une fonction du premier degré en x et y. Pour un point G qui correspondrait au point d'application d'une charge, de composantes Q et - P, les composantes X et Y subissent des discontinuités égales à Q et — P respeclivemenl. Quant à M, il subit une discontinuité égale à Q(lî — y)'^V{t — x)y ([ui re|)ré>enle le moment de la charge considérée par rapport au point de la fibre moyenne auquel celte charge esl supposée attachée. Ce moment peut être différent de. zéro dans le cas général. Mais, si toutes les charges sont supposées appliquées aux points de la fibre moyenne, on a a = a? et [i -^y-s ^^ dans ce cas M reste (tontinu. Tous ces résultats sont é\idenls.

On véi'ifie également que Ton a les deux relations suivantes :

, , V V dM , . dW

(h» sorte qu'on peut dire que la recherche de la force extérieure se ramène à <M^lle du montent lléchissanl, étant donné que X et ^ s'expriment en fonction des dérivées partielles de M.

Passons maintenant au cas de charges à répartition continu4'. Les trois fonctions X, V et M seront des fonctions continues de x et^, qui dépendront évidemment des relations existant entre pcf et ajî. Le^ r<»lalions (\\) subsistenmt, dans les conditions où nou> nous sommes placés. En efFet, en différenliant par exemplel'expression de M par ra[)port à x^ on trou>e

^l:=h.^ rpd7 = Y,

A la vérité, il faudrait ajoutera l'expression de -^ deux termes

provenant de la différent iat ion des intégrales par rapport à leur

limite supérieure 5, laquelle dépend de x, et multiplier ces termes

ds g-, par -T-. l^es termes seraient

a et 3 représentant le point d'application de la force iniinimciit