THÉORIE DKS POUTRES PRISMATIQUES.. RÉACTIONS DES APPUIS

re ré-suitat ne (lépencianl pas rvidemiiienl de la situation du

point G. Mais pour é\aluer ^j, et ^ -— ---» il faut distinj^urr deux ras :

I** Si P est à <^ar»eiie de G, e'est-à-dlre si a < x, ou a

Y = Ro— P = r ^^ — P = ~ |> ^ ,

|JL=.Ro^-P(a:-a)=P'^^-^— ;

:V' Si P est à droite <!<• G, c'est-à-dire si a>> x, ou a

{1 = Roa: = P — j — X,

Dans le <'a.s général, en dési«;nant par ^ une sommation s'étenfiant aux eiiarges agissant, à gauehe de G, et par ^ une sommai icui

"^'étendant aux ehar<;es ajçissanl à droite, on obtiendra

riï renii

Si 1 Ou a afVaîre à une (•liarj;e à ré|)arlition eonliniie et tcdle cpie, sur un iiilc»r\alle intiniment petit ^/a, compris entre les abscisses a cl a-f-rfa, la résultante des cliarj;es soit /> r/a, <ui aura de même,

[plaçant ^ et ^ parles intéf»rales / «M / (Torifi^ine des <-oordonnées étant supposée sur la verticale de Go )•

u= — ^ — / poidoL-^ j I p(l — 'x)doL.

8o CHAPITRE IV.

Dans ce cas, on a rvidï^nmcnl

On remarquera en passant que ces dernières formules donneni

encore

d^ ;jL px p( l — x)

V intensitf' d^ une charge p à répartition continue sur l'horizontale est égale et de signe contraire à la dérii^ée seconde du momen t fléchissan t ,

Conservons maintenant Tliypothèse que toutes les forces appliquées sont parallèles, mais .supposons qu<* les appuis deviennent ([uelconques.

A la réaction proinsoire Rq, obtenue dans le cas d\q)puis simples, il faudra substituer une autre réaction, ou autrement dit ajouter une réRcXlon complément aire. Si Ton appelle A le momeni de cette réaction complémentaire par rapport à Torigine des coordonnées, par B et C ses composantes suivant Oy et Ox. on aura évidemment, ])our le moment lléchissant réel au point (i.

Autrement dit ^ M — *x est toujours une fonction linéaire des coordonnées du point G. toul comme la difFérence M — ni considérée plus haut.

On en déduil

\ — f^ — c ~ dy ~~ ^'

dj' djr

Toutes les fonctions linéaires d(î M, \, Y sont donc <l<»s fonclions linéaires de A, B, C.

Détermination graphique de la force extérieure quand les réactions d'appui sont connues. - Considérons le tronçon de poutre GqGi et une section G intermédiaire.

Soient (A), (B), iC), (D), ... les lignes d'aitlion des forces appliquées entre Gq (?l Gj, et ( K„ ) celle de la réaction cpii s'e.vercc

THÉORIE DES POVTRES PRIS.VATIQl'Ke. RÉACTIONS DES APPl'lS. 8l

à travers la section G^ ci qui est, à proprement parler, la forée extérieure relative à la seclion Gq, ou, si Go est un ap|)ui, la force extérieure relative à une section située à une distance infiniment

Fig. 36.

Oi

petite à droite de G©. Les grandeurs de toutes ces forces sont supposées connues.

Composons par un procédé quelconque Rq avec les forcefi A, B, C, ... successivement renconirées quand on pai^court la fibre moyenne de la poutre en allant de Go ^n (j|. Nous obtiendrons évidemment de proche en proclie les lignes d'action et aussi les- grandeurs successives de la force extérieure pour les différentes sections transversales. Par exemple, la force extérieure, relative à la section G comprise entre (C) el (D), sera la résultante de R,, avec A, B, C.

Le procédé de composition le plus simple [)eut se traduire de la façon suivante dans le langage d<* la slatique graphique :

Formons le polygone des forces appliquées, en a, 6, c, rf, e et traçons un vecteur ao) égal à R» changé de signe, de sorte (jue îoa = Rfl. Les différent(*s résultantes que l'on aura successivement à considérer sont évidemment représentées en grandeur et direction par les rayons vecteurs tels que wa, w6, coc, etc.

Cela fournit immédiatement lc»s ellorls normaux et les efforts tranchants aux différents [loints de la poutre. Pour la section G, par exemple, la force extérieure étant (oc, il su Ait de décomposer celte force suivant les directions de la tangente et de la normaU* en G à la fibre moyenne pour avoir l'effort normal et Teffort tranchant relatifs à cette section.

PlOKAUD

Si, en considérant <*> comme un }>ôle, on Irac^e 1<* polygone funiculaire des forces appliquées, en ayanl soin da faire coïncider son premier coté avec la ligne d'action (Ro ^ ^^'^ colés successifs de vv polygone funiculaire seront les lignes d'aclion de la force extérieure dans les intervalles successifs des forces appliquées. On ne fait pas autre chose, en effet, que d'appliquer métliodiquement le procédé ordinaire de composition des forces. Pour la section Ci, comprise entre les forces appliquées ((] ) et ( D ), la ligne d'action de la force extérieure est la droite CI) et le point du passage de cette force extérieure est le point P, sur la normale à la fibre moyenne.

Le polygone funiculaire particulier, que l'on a ainsi tracé, porte le nom de polygone des pressions. Dans le cas où l'on aurait un système de forces aj)j)liquées, ré[)arties d'unes manière continue sur la fibre moyenne, ce polygone se transformerait en une courbe appelée courbe des pressions.

La connaissance dti point de passage P de la force extérieur* équivaut, comme nous l'avons vu, à celle du moment fléchissant. Celui-ci est égal soit au produit de la force R— -wc* par la dislance GK de (ir à CD, soit encore au produit de reflort normal N, pi'écédemment déterminé, par la distance (il\

Lorsque toutes les forces appliquées sont parallèles, verticales pour fixer les idées, mais sans que (Rq) leur soit parallèle, on peut faire les remarques intéressantes suixantes :

i** Lepolygone des forces appliquées se réduit à une verticale ae et la force extérieure a une composante horizontale X de grandeur constante, qui est représ<»ntée par la dislance ])olaire, distance du pôle (o à la verticale ae.

2" Si l'on détermine le point H où la verticahï de G rencontre le polygone des pressions, on peut en ce ])oint décompo.ser la force extérieure R, en ses deux composantes \ et ^ , de telle sorte que son moment au point (i, ou moment fléchissant, apparaîtra comme le produit de \ par la dislance (ill. Or, \ élant constant, le moment fléchis^anl sera donc en chaque point proportionnel au segment GH, compté sur une ligne de rappel verticale, entre la fibn» moyenne et le polygone des j)reî>sioiis. De là cet énoncé : [^polygone des pressions^ rapporte à la fibre moyenne de la pièce comme ligne de référence, est une ligne représentative du moment fléchissant.

THEORIK DES POUTRKS PBISMATlQtES. REACTIONS DES APIH IS.

Cas particulier d'une poutre sur appuis simples et générali* sation. — Soil une poutre (ifG| soumise h un eustMubh' de 4-liar*;es l^,, P^. ... j)arallèles à Oy^ nyanl pour ligues d'aelioii

Fig. 38.

( 1^1 ), ( P2 K ... res|)eetivemenl, et reposant sur les deux a|)pui> simples Gq et Gi. Les réaelions \\q et Ri de ees appuis senml, par hypothèse, verlicale>, et auront pour lignes d'aelion (Go) <^* (Gi|). Construisons le polygone des eliarges ae^ puis Iraeons av<'e uiw distanee polaire rf, que, |)our simplifier le langage, nous su|>poserons égale à l'unité, le polygone funiculaire des charges, sur \r réseau des verticales (P), rej)résenlant leurs lignes d'action. Afenons la corde ou ligne de fermeture V^/Vj entre les verticales (^(iq) et (G|). Enfin, menons par le pôle o la droite oto parallèle

à \©A|. \ous aurons en toa la valeur de R„ et en etù lu \aleur <le R,. Par suite, le pcdv g()ne des forces, raj^porlé à (O comnu* origine, constituera l'échelle fonctionnelle de

D'un autre eolé, nous avons vu que le polvgone funicidairc.

rapporté à son premier côté, constitue la courbe représentative drs moments des forces situées à gauche d'une verticale quelconque ((i ) d'abscisse x^ à condition de compter ses coordonnées parallèlement à la direction des forces. Autrement dit, le segment j>q mesuré sur la ligne de rappel du point G, d'abscisse x^ représenir le moment

(au facteur d prés, bien entendu).

Quant au moment fléchissant p., on l'obtiendrait évidemment eu introduisant la réaction Rq en tête de la série des forces agissant sur la poutre à partir de sa gauche. Cela revient à prendre pour premier rayon du polygone des forces le rayon oto, et comme premier côté du polygone funiculaire la droite A| A^, ou ligne de fermeture. Le polygone funiculaire, rapporté à sa ligne de fermeture, est donc la courbe représentative du moment [jl.

On peut dire aussi que le polygone funiculaire peut représenter non seulement le moment m, mais toute fonction M, qui n'en diffère que par une fonction linéaire de la forme A-j-Ba;.

En effet, si l'on a

IVI = a;i + A -H Bar,

on n'a qu'à construire la droite XX telle que l'équation du premier côté AqB soit précisément

r = A -h lix

quand on prend XX comme ligue de référence, ou bien, ce (|ui revient au même, telle que son équation rapportée à A^B soit

j' — — A — Ba:.

En prenant XX comme ligne de référence, l'ordonnée oblique sq du polygone funiculaire donne bien la valeur de la fonction M.

Or on sait que jji ne diffère de m que par la fonction linéaire Ro.r, et l'on sait d'avance qu'elle s'annule pour x= <► et x = L La ligne de référence correspondante ne saurait donc dilférer de Aq.Vi.

Plus généralement, le polygone funiculaire pourra représenter le moment fléchissant réel M qui se produirait dans la poutre quand celle-ci, au lieu de reposer sur les deux appuis simples (i^