Sr-S
lj.= Srf,
les moments principaux d'inertie, de sorte que l'équation «le l'ellipse d'inertie pourra s'écrire
l'axe OA étant égal à ly et l'axe OB à r^.
Soient dans ce système d'axes OV la trace du j>lan moyen et OR le moment fléchissant M dont la direction est perpendiculaire àO\.
Fig. 39.
Décomposons M suivant 0-3 et O^}' et désignons' par M- el M^.
ses composantes.
\dmettons maintenant que Teffort moléculaire normal ait pour
expression
/i = a -h by -{- cz
et comptons-le positivement en avant du plan du tableau, dans la direction de (),r, c'est-à-dire quand il représente une compression. T.es conditions à remplir sont les suivantes :
ZndS =0, :ùnydS^-M„ Znz dS = — My.
(Le sijj^ue — devant M^- vient de ce qu'un eflTorl positif appliqué à un élément dS silué du côté des z positifs donnerait un moment dirigé suivant 0>''.)
Introduisons dans ces relations la valeur de n <^t développons
KFPORTS MOLÉCULAIRES. HYPOTHÈSES DK LA RÉSiSTANCK DES MATÉRIAUX. 9I
on tenant compte des relations
qui expriment que O esl le centre de gravité de la section et que Oz et Oy sont les axes principaux de Tellipse centrale d'inertie. Nous lrou\erons d'abord
c«S = o, (1*011 flr = o;
i'nSHile
bi:y*dS^.bl,= M-, d'où b= j^
Mv cE^^cfô =cly= — My, d'où c = f-
Finalement l'expression de n devient
L'axe neutre OL, droite pour laquelle on a /i =^ o, a ]K)ur équation
My M,
\y Iz
(ui bien, en faisant intervenir les rayons de î^iration,
Mv M-
On reconnaît facilement que celte droite est conjuj»uée par ra|)port à l'ellipse centrale d'inertie de la direction dont les cosinus directeurs sont proportionnels à My et - - M- respectivement, c'est-à-dire de la direction ()V perpendiculaire à la direction OR du moment fléchissant. (Ici OV est la trace du plan moyen.)
Si la section est symétrique par rapport au plail moyen, 0\ coïncide avec Oy et l'on a My=:i= o. L'expression de Ji se réduit à
L'axe neutre coïncide avec O;;.
On peut arriver à des résultats équivalents en utilisant la théorie j;énérale des vecteurs d'inertie et la définition de l'axe neutre.
Supposons que l'axe neutre soit la droite OL. L'efïbrt normal n sur im élément dS de la section doit être proportionnel à la dis-
<>a CHAPITRE V.
lance v de dS à OU, de sorle qu'on peut poser
n = Kp,
R étant une constante qu'il s'agit de déterminer. Or les conditions à remplir sont les suivantes :
1® La somme des efforts fi dS doit être égale à zéro. Celle condition est remplie par toute droite telle que OU passant par le centre de gravité ;
2® Que le moment résultant des efforts n dS par rapport au point () soit égal au moment résultant M des forces appliquées au tronçon de gauche de la poutre. Or, puisque par hypothèse on a /i = Rr, le premier moment résultant n'est pas autre chose qu(* le produit de R par le vecteur d'inertie de la surface pris par rapport au point O de la droite OU, servant d'axe de rotation.
Il en résulte immédiatement que OR doit être perpendiculaire à la direction de ()\ conjuguée de OU par rapport à l'ellipse centrale d'inertie. Inversement, connaissant OR et la direction perpendiculaire 0\ \ la direction de OU sera la direction conjuguée de cette dernière.
En outre, si Ton désigne par 1 le moment d'inertie de la surface par rapport à OU, il faut que son produit par R soit égal à la projection sur OU du moment résultant M dirigé suivant OR. Autrement dit, en désignant par 6 l'angle des deux directions OR et OU, dont la première est donnée et dont la seconde se détermine comme nous \enons de le dire, on doit avoir
Kl = M cosO.
On en déduit pour n cette nouvelle expression
,. M cosO M'v
n = Kv = — - — V = — j'en posant W= M cosÔ. Si OR coïncide avec O3, on a
cos6 — o, avec l^lz et v = y^
Si Ton veut simplement retrouver la valeur du coefficient R dans la formule n = Rr, il suffit, connaissant la direction OU de l'axe
EFFORTS MOLÉCULAIRES. HYPOTHÈSES DE LA RESISTANCE DES MATÉRIAUX. qS
neutre, d'écrire l'équation des moments par rapport à 01 . T^a composante de M suivant OU est M cos^. On doit avoir
cose = KVv«rfS = KI.
C. EfTort normal et moment fléchissant combinés. - En vertu de la loi de Hooke on n'a qu'à faire la somme des résultats dus séparément à l'efTort normal et à Peffort tranchant et Ton obtient pour TeATort moléculaire normal Texpression générale
ou bien encore l'expression
en se raj)pelant que pour appliquer cette dernière, il faut déterminer d'ahord la direction OL conjuguée de la trace du plan moyen par rapport à l'ellipse centrale d'inertie. M' esl la projection de M sur OU; I est le moment d'inertie de la surface par rapport à OU et V est la distance à cette même droite d'un élément rfS de la surface.
Ces expressions montrent que l'intervention d'un effort normal IN a simplement pour effet de déplacer Taxe neutre parallèlement à lui-même sans changer son orientation.
Désignons par D le point de passage de la force extérieure, qui, dans les conditions supposées, esl contenue dans le plan moyen OV et est normale à la section. Ses coordonnées h et k sont telles qu'on ait
Si d'ailleurs on appelle d la distance OD, on a
M = N d et par suite
en appelant d' la dislance du point D à OU'.
Cela posé, la première expression de n devient, en remplaçant M-, M^ par leurs valeurs en fonction de A et k et eu rempla-
94 CH.4PITRK V,
i;anl d'aiilrc pari K el I^- par S/! H S/J respeclnrmeiit,
iV r kz hv\
L'équalion de Taxe neutre s'écrit alors
kz hy
CVsl réqualion de la droite anlipolaire du |)()int I)(/.A); puiscpu' l'équation de la polaire serait
kz hy
Soit EE cette antipolaire du point D. On sail cpi'e le poini E où elle coupe ()V est tel qu'on ait
OExOD = Oj\
les points E et D élant d'ailleurs de part el d'autre du point O. Cette relation se conserve en projection sur une perpendiculaire à OU. 11 faut remplacer OE par la distance* £ de EE à OU, remplacer OD par d' et OJ par /*, rayon de giralion correspomlant à OU. On obtient ainsi
On retrouverai I cette expression en partant d«* la seconde expression générale de /^, car la distance i- = s (pii correspond à l'axe neutre doil satisfaire à la condition
M's N ,, . NI
j (I ou
r on a
S s.vr
pt
11 en résulte» l)icn s = -;•
En prenant en considération cette distance t de l'axe neutre à la droite Ol , on peut donner une troisième* «expression de reflort moléculaire normal. En vertu d'une des «lernières r<*lations écrites
EFFORTS MOLÉCUIJkIRES. HYPOTUlîSES DE LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. QS
4)11 a, en eflet, -^ — ~. 11 en résulte qu'on a
\ Nt» N/ v\ N
11 est à noter que, au centre de la section, j? = y = o, on a tou-
N jours n =-^} le moment fléchissant n'inter\^enant pas.
Les valeurs de n qui sont principalement à considérer sont les valeurs extrêmes, soit positives (compressions), soit négati>es (tractions) qui se rencontrent dans l'étendue de la section considérée. Ce sont elles qui déterminent 'la /a/«»"w^ maœima de la matière soit à la compression, soit à l'extension, ou, suivant une expression usuelle, le taux de travail Ae la matière. Il est évident, d'après <'e qui précède, que ces valeurs extrêmes correspondent toujours aux points de la section les plus éloignés de Taxe neutre, poinis pour lesquels {? -\- z est le plus grand possible en valeur absolue.
Si l'axe neutre EE coupe la section, ainsi qu'on l'a supposé sur la figure, les deux eflbrts extrêmes sont de signe conti*aire. Plus généralement la section se trouve divisée par l'axe neutre en deux régions dans lesquelles les efforts sont de signes contraires.' U > a compression dans Tune et traction dans l'autre.
Si, au contraire, l'axe neutre ne coupait pas la section, les efforts seraient partout de même signe et varieraient simplement enlrc un minimum et un maximum.
Pour savoir si l'axe neutre coupe ou ne coupe pas la section, on aura à envisager le noyau central de celle-ci. On se rappelle, eu effet, que le noyau central est limité par une courbe, lieu des points dont les antipolaires sont tangentes au contour de la section. Si le point de passage D de la force extérieure tombe à l'extérieur du nojau central, Taxe neutre, qui est son antipolaire, coupera la section. Dans le cas contraire, il ne la coupera pas.
En pratique, toute cette théorie se simplifie notablement quand le plan moyen est en même temps un des plans de symétrie de la section. On a alors
M = M-=M..= Nrf
et l'on n'a qu'un seul moment d'inertie ulileà considérer, celui qui est relatif à l'axe Ow, et qu'on désigne simplement j)ar 1 =r S;'^. On
a, d'ailleurs,
£ = -7 et ^• = r
Dans ces conditions, les formules qui donnent n sont
N My
D. Étude de l'effort tranchant T. — La considération du prisme droit substitué à la poutre ne donnerait rien ici, car il n'est nullement évident ici que les difierentes sections intermédiaires entre les bases auraient leurs efforts tangentiels répartis exactement comme ceux qu'on aurait supposés sur ces bases.
D'autre part, en admettant que les efforts t sont, dans la section G, parallèles à T et en cherchant le mode de répartition le
plus simple possible, on serait conduit à admettre une répartition
uniforme et à supj>oser / = — • C'est effectivement à cette hypothèse qu'on a eu recours longtemps d'une manière générale, et c'est elle qu'on applique encore maintenant lorsqu'on cherche à apprécier les conditions de résistance d'une pièce cisaillée entre deux mâchoires donl les bords sont dans le prolongement l'un de l'autre; ou bien d'un rivet réunissant deux tôles tirées ou comprimées en
sens inverse l'une de l'autre. L'effort langentiel, ou de cisaillement,
a pour intensité moyenne / = -^ et cette valeur moyenne est suffi-
sant(» en pratique pour apprécier la fatigue du métal.
Mais en dehors de ce cas, c'est-à-dire quand à droite de la section (i il existe un tronçon de poutre plus ou moins étendu, soumis à la seule force extérieure T appliquée au point G, on est conduit à envisager une loi d^répartition notablement plus compliquée. On la déduit de considérations empruntées à la théorie de l'Elasticité qu'on peut exposer sommairement comme il suit.
Considérons dans un massif en équilibre un parallélépipède élém(*ntaire rectangle dont les arêtes supposées parallèles aux axes de coordonnées ont pour longueurs respectives dx^ dy^ dz. Si sur les bases [)erpendiculaires à Ox s'exercent des efforts tangentiels d'intensité t, dans une direction parallèle à Ov, sur les bases perpendiculaires à Oy s'exerceront parallèlement à O^ des efforts tangentiels
EFFORTS MOLBCULAIRES. HVPOTIIBSES DE LA RESISTANCE U£S MVTBRIAUX. 97
d^ntensité t':=xzt. En effet, qaels que soient, d'ailleurs, les efforts normaux ou tangentiels différents de / ou de ^ exercés dans les
Kig. 4o.
différentes faces, on se rend compte que leur moment, par rapport à Oz, est toujours nul. Le moment des efforts tangentiels i, par rapport à 0^, est d'ailleurs
t dyd* X cLv,
Celui des efforts tange.ntiels t' est de même
t' dx dz X dy.
Une des conditions nécessaires d'équilibre du parallélépipède élémentaire est donc bien
Considérons maintenant le tronçon de prisme, ou prisme élémentaire GG^ de longueur dx qui, dans la poutre, vient à la suite de la section G, et représentons-le par sa projection sur le plan Oyz^ l'axe Oy étant la trace du plan moyen, dans lequel l'effort tranchant T est supposé contenu. Soient OU la droite conjuguée de Oy par rapport à l'ellipse centrale d'inertie et 0 l'angle qu'elle fait avec Oz,
Cette droite représente Taxe neutre dans la section G^ section dans laquelle s'exerce outre l'effort tranchant T, un moment fléchissant
dM rzTdr.
Cherchons maintenant à évaluer l'effort tangentiel moyen t qui s'exerce le long d'une ligne telle que ab parallèle à OU, ligne dont
PlOBAUD 1
on désignera par u la longueur çt par y la dislance à OU, ou, si Ton \ eut, cherchons à évaluer reffort tangentiel moyen, qui s'exerce sur la surface abab' de hauteur infiniment petite dv et dont l'aire
Kig. 4i.
est adv. Nous supposons que t est parallèle à T, c'est-à-dire au plan moyen. Sa composante t' perpendiculaire à OU sera
i' = ^cos6.
Le plan mené par aô parallèlement à Ox^ et, par suite, perpendiculairement à la section, découpe dans le prisme élémentaire GG' un rectangle dont les dimensions sont respectivement u et dx^ et sur ce rectangle doivent s'exercer des efibrts tangentiels parallèles il Ox et d'intensité ^', en vertu de ce qui a été démontré plus haut» La somme de ces actions tangentielles est
t! u dx. .
Considérons à |)résent le prisme élémentaire ayant pour base aco 6, le pont Cq désignant le point du contour de la section le plus éloigné de OU vers le. haut, sa distance à OU étant v^. Ce prisme ne supporte aucune charge sur sa face extérieure. Sur sa face pro-
