I. — Déformation du prismic klémkntaire
Considérons un lronçï)n de poutre, ou |)rLsnie élémentaire, eompris enlre deux sections normales correspondant à deux |>olnls infiniment voisins G et G' de la fibre moyenne. Pour simplifier»
Fig. 53.
n<»us supposons cpie celle-ci soit contenue dans un plan moyen el même que ce plan soit un plan de symétrie de la section. INoiis supposons aussi qu'il contient t(uites les forces appliquées.
Les deux sections normales senuit représentées par leurs traces AB el A'B' sur 1(î plan de la figure. Leur intersection () est le centre de courbure de la fibre moyenne.
Soit p le rayon de courbure de celle-ci; Jo- son arc infiniment petit (1(1'; ("t C5 Tangle total de courl)ure GO(j , de sorte que
lift CHAPlXnB VI.
soil Dun' une fihre de la poutre, située à la dislance v de la fibre moyenne, sa longueur ds aura pour valeur
Nous allons examiner sueeessivemenl les déformations du pri.sme élémentaire sous Taclion de l'effort normal, du moment (léchissanL et de Teffort tranchant, et nous les superposerons ensuite en invoquant la loi de Ilooke.
Effort normal. — Nous avons admis que sous l'action de IVffcu't normal chaque fibre supporte un effort dirigé dans le sens de sa longueur et ayant pour valeur par unité de section
S désignant la surface totale de la section.
Il est naturel d'admettre que la dilatation ou le raccourcissement par unité de longueur est proportionnel à /«, de sorte que pour la longueur ds de la |)ortion de libre, le changement de longueui sera
(En général M sera un effort de compression, de sorte que le changement de longueur sera un raccourcissement.)
Si Ton suppose (jikî b section AB demeure plane et fixée dans su position |)rimitive, la section A' B' demeurera plane, les point> tels que m se déplaçant, (huis le mouvement relatif, de quantités j)roportionnelles à ds —• (p-}-c)!p, et proportionnelles, par suite, à leur distance (p + c) au centre i\^ courbure.
Le déplacement (fensemble de la section A'B' sera donc assimilable â une rotation infiniment petite sVffectuant autour de ce centre de courbure, et avant pour valeur
ES '^ ~ hS p '
Quand les dimensions de la section transversale sont petites |>ar rapport au rayon de courbure, ainsi qu'on le suppose généralement, cette rolation inliniment petite est prati(|uement assimilable
RKCIIRRGIIE DES DÉFORMATIONS DES POt'TRES PRISMATIQUES. II7
à une translation infiniment petile, normale à A'B', et ayant pour valeur \=i -prrdi. c'est-à-dire égale au raccmircissemenl de la libre movenne
Moment fléchissant. — IVous avons vu que sous Tact ion du moment fléchissant M, supposé ])Ositif dans le sens qui amènerait ()A vers OA', une fibre telle que mni supporte un effort de compression dirigé encore dans le sens de sa longueur et ayant pour
valeur par unité de section
Mr
t' étant positif au-dessus de GG' et I désignant le moment d'inerti(* de la section par rapport à uu axe passant en (i et normal au plan de la figure.
Il est donc encore naturel d'admettre que le changement de longueur soit proportionnel à n et k ds et ait pour expression
as — -T7T ai X •
lil lit
Si Ton suppose encore que la section AB demeure fixe, cet le expression représentera le déplacement relatif du point m\ On voit que si i' est petit par rapporta p, c'est-à-dire si les dimensions de la section transversale sont [)etites par rapport au rayon de
courbure, le facteur -i— — est sensiblement égal à T unité et par
suite le déplacement relatif de m sera sensiblement
liJ
Le déplacement d'ensemble est donc assimilable à une rotation infiniment petite s'efTectuant autour du centre de gra\ilé G' et ayant pour valeur
tu =
Kl
Le point G', pour lequel (^ = o, ne subit aucun déplacement.
Celte rotation altère le rayon de courbure de la fibre moyenne, qui devient o', l'angle au centre cd devenant »', et l'on a, a\ec les
1 l8 CUAPlTftE VI.
Iijpolhrstfs nd mises,
M fia Kl
Eu reniplaçanl o et cp' par leurs valeurs — et -7- et eu divisaul
par c/t ou ohtienl la relatiou utile
? ?' *iï
S'il s'agit criiue poutre droite pour laquelle ou a [)rliuilivcmenl p = oc, ou eu déduit eetle autre relatiou utile
1 __ Jîl
Effort normal et moment fléchissant combinés. — Ou u*a i[\\h .soper|)()ser les deux effets. Le déplaeenieul d'euseuible de la serliou A'B' par rapport à la seetiou AB, supposée fixe, résultera :
i" D'uue rolatiou iutiuiuieut petite -.TTr — autour du eeutre de <*ourljure, assimilable à uue trauslatiou
(de G' vers G si M est positif);
a" D'uue rotatiou infiuiment [lelite
VA
autour du eeutre de gravité (J , iufiuimeut voisin de (i.
Le déplaeemeut résultant sera une rolatiou uuicpie s'elfeetuant, daus tous les cas, autour du j)oiul analogue à m qui ne subit aueun déplaeemeut relatif, et qui eorrespond à la libre ne supportant aucun effort normal /i, et par suite aucune modification de longueur. Ce point E' est le point qui ('orrespoud à Y axe neutres IcHpu^l est rautij)o]aire par rapport à l'ellipse ceutrale d'inertie du point de ])assage de la force extérieure. •
Effort tranchant. Sous riullueuce des efforts laugeutiels qui s'exercent sur la surface cyliudi'ique normale à la figure et dont la trace est mrn\ la partie supérieure du prisme élémeulaire doit
