KtI DE DES EFFORTS
Rappel de résultats précédemment obtenus. — Nous avons déjà fait en grande partie l'étude des poutres droites sur appuis simples, en faisant l'étude plus générale des poutres quelconques sur appuis simples.
La seule particularité essentielle à noter ici, c'est que nous supposons Taxe longitudinal rectiligne et, pour préciser les idées, nous le supposons horizontal. Dans ces conditions, on aura partout N = o et Teffort tranchant T se confondra partout avec la composante verticale Y de la force extérieure.-
Sous l'action d'un système quelconque de charges verticales Pi, p2, ' • • 1 P, • . .? agissant suivant les verticales d'abscisses ai, aj, . . . , a, . . . , on a pour les réactions d'appui les expressions
Le moment fléchissant au point G, d'abscisse x^ est (2) M = Roa^ — y PCj- — a)
L'effort tranchant au même point G a pour expression
,3) t = Ro--2p = - J2^*-^7 2'*^^~''^-
dM
Il convient de rappeler qu'on a T = ^» et de noter que pour
un point situé à une distance infiniment petite de G<, et à sa gauche, on a T = — R, .
Lorsqu'on a affaire à une charge continue, telle que l'éléinent
de longueur doL ait comme charge pdoL, les formules précédentes se transforment dans les suivantes :
Ko= / p—j—dx,
p{x-~'x)dcL=. — - — / p^doL-Jt--. I p{l — a)rfa; T = Ro— / p doL =— j I ptdrL-^^ - 1 p{l — a) d<z.
Enfin, lorsqu'on a affaire à une charge unique, on a évidemment :
Ro=P
R.^Py;
iv'
M = p(±=;^ si
(if
si o <a < ar,
si o < a < ar,
si a" < a < /.
POUTRE DKOITB REPOSANT 8UR DEUX APPUIS SIMPLES. l55
Nous nous référons à ce qui a été dit précédemment en ce qui concerne la détermination graphique des composantes de la force extérieure, moment fléchissant et effort tranchant.
Charrie uniformément répartie, — Lorsque p est constant, d'un bout à Tautre de la poutre, cas qui est fréquemment envisagé, les formules (i)', (2)', (3)' se simplifient, les intégrations pouvant être effectuées.
On trouve d'abord
Ro = Ri = — 9 a
puis
La ligne représentatis^e du moment fléchissant est alors une parabole à axe vertical^ dont le sommet correspond au milieu
de la poutre i abscisse -j et a pour ordonnée ^^
Enfin on a
La ligne représentative de l'effort tranchant est une droite^ coupant sa ligne de référence au milieu de la portée et coupant les verticales (Go) et (G|) aux points d^ ordonnée ±: ~- •
Si la charge constante p n'agit pas sur toute la longueur de la poutre, mais sur une partie seulement de celle-ci, on a évidemment d'autres lignes représentatives pour le moment fléchissant et l'effort tranchant. Sans procéder à des intégrations, qui seraient sans intérêt, on peut observer que la ligne représentative du moment fléchissant sera toujours composée de deux portions de droites, pour les parties ne supportant aucune charge, et d'une parabole du second degré pour la partie chargée.
On en déduit, puisque T = -^ > que la ligne représentative de
l'eflbrt tranchant sera composée de portions d'horizontales dans les parties non chargées et d'une droite inclinée dans la partie chargée.
On reconnaît aussi que les courbes enveloppes du moment fléchissant sont dans ce cas : i" la ligne de référence correspon-
l56 CIIAPITRB VllI.
dant au cas où il n'y a aucune charge ; 2** la parabole M =^p - — ; — '—
correspondant au cas où la surcharge couvre la poutre entière.
Nous préciserons plus loin la forme des lignes enveloppes de Te (Fort tranchant.
Cas (Vi/ne charf^e isolée, teignes iVinjlnence, — Il ne s'agit que de tirer les conséquences des équations ( 1 )", (2)" et (3)", qui correspondent au cas le plus simple.
Si dans ces équations on considère x comme constant et a comme variable, c'est-à-dire si Ton envisage une charge mobile se déplaçant sur la poutre, ces équations seront évidemment celles des lignes d'influence, au facteur de proportionnalité près P, qu'on suppose représenter l'unité de force choisie.
Si, au contraire, on regarde a comme constant et x comme variable, les équations (2)" et (^3)" seront celles des lignes représentatives du moment fléchissant et de Tefforl tranchant, pour la position a assignée à la charge P.
Toutes ceSj équations étant du premier degré, soit en x^ soit en a, les lignes d'influence et les lignes représentatives seront toujours composées de lignes droites.
Les équations (2)" permettent d'ailleurs de vérifier, pour le cas actuel, la loi de réciprocité suivante :
Le moment fléchissant produit dans la section x /for un poids placé dans la section a est égal au moment fléchissant produit dans la section a par un poids égal placé dans lu section x.
Supposons par exemple a <[ ^, il faut prendre dans la première hypothèse la première équation (2)" et dans la seconde hypothèse il faut prendre la sec^onde équation (2)" en intervertissant les lettres a et x.
Il en résulte que la ligne d'influence du moment fléchissant relative à une section x se confond avec la ligne représentative corn^spondant à une charge unité j)lacée dans cette même section, et inversement.
La ligne d'influence de R©, dont l'équation est la première équation (i)", est évidemment une ligne droite. Elle coupe sa ligne
