POUTRE DROITE REPOSANT SUR DEUX APPUIS SIMPLES

charges et surcharges. ^— Nous allons entrer dans quelques détails en ce qui concerne le parti à tirer des lignes d'influence dans cet exemple simple de la poutre droite. Cela servira de guide dans d'autres cas plus compliqués.

Nous passerons en revue les trois hypothèses de charges et de surcharges que l'on a ordinairement à envisager lorsque la poutre fait partie d'un pont, savoir :

i** Une charge permanente, qui est supposée uniformément répartie à toute la poutre à raison de p kilogrammes (ou tonnes) par mètre courant;

2" Une surcharge uniformément répartie, à raison de p kilogrammes par mètre courant, mais pouvant s'étendre à des zones variables delà poutre;

3® Une surcharge composée d'un convoi type comme ceux qui sont réglementaires en France. Sans entrer dans des détails qui ne seraient pas à leur place ici, ces convois sont de deux sortes.

Pour les ponts-routes,' les convois sont constitués par un petit nombre de charges se répétant périodiquement et indéfiniment. L'effet produit par un pareil convoi a une périodicité régulière et, pourvu que la portée de la poutre corresponde à cinq ou six périodes, tout se passe approximativement comme si l'on ayait affaire à une surcharge variable uniformément répartie. Dans le cas contraire, on aurait quelques essais à faire.

Pour les convois types de chemins de fer, la tête du convoi est composée d'essieux de locomotives notablement plus lourds ou plus rapprochés que les autres essieux. C'est donc le cas type, car c'est à peu près le seul pour lequel les lignes d'influence ne fournissent pas d'une manière immédiate tous les résultats désirables, et notitm- •ment les valeurs extrêmes de l'effort produit par les surcharges données. Les lignes d'influence font connaître, par leurs diflérentes zones, les dispositions approximatives qu'il faut donner au convoi pour obtenir l'efl'et maximum positif ou négatif; niais, pour préciser ces positions, il faut recourir à quelques essais.

Voici quelques remarques générales qui abrègent considérablement les tâtonnements à effectuer sur une zone d'une ligne d'influence, lorsque cette ligne est polygonale.

Soient P4, P2, ..., P« les surcharges et j^,, y^-, ..., yn les.

l6o CHAPITRK VIII.

ordonnées de la ligne d'influence qui leuiw^orrespondent pour une position du Convoi, définie par exemple par l'abscisse a de l'essieu de télé. L'effet produit est

Faisons varier a. Si la ligne d'influence est composée de lignes droites, j'i, y 21 • • • 7 J"// sont des fonctions linéaires de a, et il en est de même de Y, du moins tant que l'une des charges ne franchit pas un des points critiques pouvant faire changer la définition analytique de la fonction y qui lui correspond. Ces points critiques sont les deux extrémités de la poutre et les différents sommets ou points de discontinuité de la ligne d'influence. La ligne d'influence de l'effet total Y, considérée comme fonction de a, est donc elle-même composée de lignes droites. Ses sommets ou points singuliers, parmi lesquels doit nécessairement se trouver le maximum cherché, correspondent donc aux valeurs de a qui placent l'une des charges à l'aplomb d'un des sommets ou points singuliers de la li^ne d'influence de y.

Cela posé, désignons par Vi la charge particulière qui se trouve

Kig 67.

placée à l'aplomb d'un point singulier a/ de la ligne d'influence et supposons d'abord que le point a/ soit un simple point de brisure, sans discontinuité. Pour que la position correspondante du convoi

corresponde à un maximum , il faut que la dérivée — passe du

positif au négatif quand a passe par la valeur a/.

Désignons par [6 le coefficient angulaire du côté de la ligne d'influence qui est au droit de la charge P, par pi et jj^-^., les coefficients angulaires des cotés qui encadrent le point a/. Un peu en deçà de a/, on doit avoir

POUTRE DROITE REPOSANT SUR UBUX APPUIS 8IS1PLKS. iGl

Un peu au delà on doit avoir

Ces deux conditions impliquent que

Cela permet d'exclure presque à vue certains sommets et de ne retenir que ceux pour lesquels la différence ^i — Pt + i «st la j)lus forte, en ayant soin d'ailleurs de prendre pour P/ une des plus fortes charges, autant du moins que cela est possible.

Supposons maintenant que le point a/ soit un point de discontinuité, et désignons par yi et yi+t les deux ordonnées qui lui correspondent. Quand a franchit la valeur a/, la valeur de \ subit la discontinuité finie Pi{yi^i — r/), qui est proportionnelle à P/. On est donc conduit à prendre pour P/ une des plus fortes charges et il est souvent très facile de s'assurer que cette discontinuité est alors supérieure ou égale aux variations que peu! subir \i quand le convoi se déplace ensuite jusqu'à amener une nouvelle charge en a/.

Étude de la réaction d'appui R^. — Dans le cas de la charge permanente, R» est égal au produit de p par Faire de la ligne d'in-

Kig. 68.

ttuence qui est un triangle de base /et de hauteur unité. Le résultat

est donc R© =p-^ comme nous l'avons trouvé précédemment.

Dans le cas d'une surcharge uniformément répartie, la lignt: d'influence n'ayant qu'une seule zone positive, on voit que toute surcharge ajoutée donne une valeur positive pour R©. La réac-

. PlOKAUD 1 I

l6a CHAPITRE Ylll.

lion Ro a donc pour minimum zéro et pour maximum la valeur qui correspond à la surcharge complète rou\rant toute la poutre.

c'est-à-dire Rq ^^—'

Enfin, dans le cas d'un con\ol de chemin de fer, Ro varie encore entre le minimum zéro et un certain maximum. Celui-ci

doit a priori correspondre à la position du convoi qui placera le |)lus de charges possibles sur la poutre, les charges les plus lourdes étant dans la région des plus fortes ordonnées. Autrement dit, la lète du convoi doit être placée dans le voisinage de Oo-

Le maximum s'obtient même toujours ({uand le premier essieu est placé en (io? la valeur de la discontinuité étant égale au poids de ce premier essieu. l-.a substitution du second essieu au premier, jy l'aplomb de Go, ne peut conduire qu'à une valeur au plus égale, et encore faut-il pour cela que la longueur de la poutre soir assez faible pour qu'elle soit entièrement couverte par le groupe des locomotives.

On voit donc que la déterminati*)n du maximum ne comporte aucune incertitude. •

' Étude du moment fléchissant dans une section ( j. G plus voisin de (J| que de G©, c'esi-à-dire x> l -

Fig. 69.

Supposons

La ligne d'influence est le triangle Go^lGi, l'ordonnée MG étant

3P ( I —— or \

égale à - — , et les coefficients angulaires des côtés M(i(

et MG| étant respectivement

et Pi = -^

l\)ur la charge permanente, on trouve évidemment

M = pi . ^p

POUTKE DROITE REPOSANT SUR DEUX APPUIS SIMPLKS. l63

c*n faisant Tain* <iii lrianj»le. La ligne représenlati\e (1(* M esl la parabole dont nous a\ons déjà parlé.

l^our la siircliar»^e uniformément répartie, eomme il ny a qu'une ztuie posili\e, loule surcliarj^e ajoutée donne une \aleur posili\(^ pour M. Le minimum est done zéro et le maximum corres|)ond à la sureliarjre complète, de sorte que les écpiations des lignes enveloppes sontj^ -o <rune part v{ y :z^. p' — — J— — d'autre part.

Dans le cas d'un convoi de chemin de fer on a encore comme minimum zén). Quant au maximum, on l'obtiendra en plaçant le plus de charges possibles sur la poutre, les charges les plus lourdes devant être le plus possible conc(»ntrées dans la région dv l'ordonnée maxima (j\L La teHe du convoi devra être tournée \ers la droite.

Pour |)réciser la position du convoi fournissant le maximum^ nous remarquerons que

et est toujours plus grand que ^o <^i^ Pi» l^armi les trois points singuliers Go, M (4 (j, de la ligne d'infîuence, c'est donc le point M (|ui doit jouer le rôle prépondérant, et Ton n'a à essayer que l<»s positions plaçant lin essieu tel que P, à l'aplomb de (i.

Les conditions pour que P,- fournisse le maximum sont les suivantes : Si Ton désigne par ïo- la somme des charges placées à gauche de Vi et par ^a la somme de celles qui sont placées à sa droite sur la poutre, on doit avoir

ou, en remplaçant po ^^ ^^ par leur valeur et en groupant autre ment les termes.

iri4

CHAPITRK VIII.

Dans le cas particulier où x -- l - x, ces conditions se simnlilient et deviennent

La lijj^ne enveloppe correspondant au maximum du moment llécliissant dans chaque section se détermine ainsi par points, et il n'est pas nécessaire d'en avoir un très <j;rand nombre.

En réalité, la ligne enveloppe se compose, au point de \ur analytique, des parties utiles de deux courbes distinctes, svmé- Iriques par rapport au milieu de la poutre. L'une de ces courbe> représenterait par exemple le maximum obtenu quand le con\oi va de gauche à droite (courbe GgA(i| ); l'autre représenterait le maximum obtenu quand le convoi va de droite à gauclu* (courbe (ijjA'Gi ).

Le maximum nuiximorum ne se rencontre donc pas tout à fait au milieu de la poutre, mais pour des sections A ou A' qui s'en écartent un peu à droite ou à gauche.

On peut représenter la courbe (i^AOi d'une manière suflisanimenl approchée pour une élude sommaire au moyen de l'expression

l-rK

ni est la valeur du moment maximum au milieu de la poutre, ain>i qu'on le vérifie en faisant jr z=-.

Quant à K, cVst un coefficient numérique dont la valeur est

Fig. 70.

voi.Nine de 0,80, et qu'on peut déterminer dès que Ton connaît le maximum correspondant' à une seconde section.