IC)|I
o. iiSqo
o,ooo.>7
o, io35i o , 09606 0,08369 0,06987 o 5 o54 1 1 0,08689 0,01869
o , o J 1 1 9 o,o35oo 0,01776
o,o7o3i o , 03963 o . 04669 o,o3ao6 o,oi63i
o,o'io5o 0,03800 o,oi43o
o,oo45i2
A tilre d'exercice nous indiquerons encore comment on [)arviendrail directement dans le cas de I constant à Texpression de v en utilisant Téquation diflerentielle
A gauche de la charge, pour a* <. a on a Mz=i-^ — ^ x. Par suite, on a nécessairement, puisque c rt:: o, pour :c = o,
LIv = Bx H ^ — -, —
B étant une constante à déterminer.
Pa
A droite de la charge, pour x >• a on a M = -j- ( / — x). Par
suite, on doit avoir de ce coté
EIi^ = C(/-.r)-+-P^ ^' ^^^ ,
i] étant une nouvelle constante. On déterminera Bel G en écrivant
que pour x = cl les deux expressions de i^ et de -r- ont même
valeur, ce qui donne les deux conditions
21 il
En multipliant la seconde équat'on par / a et en l'ajoutant à la première on élimine G et il vient
(roù
Finalement, on a, à gauche de la charge, l'expression pn'cédemment trouvée, sa\oir :
POUTRE DROITE REPOSANT SUR DEUX APPUIS SIMPLES. l83
2** Cas d^une charge uniformément répartie p, — On a alors et Ton en déduit facilement
/?/* \X .T* / X\\ pi* X( X\\ X( xW
*-=-élîî[7-7î("-7)J=-r4-ËÏ7('-7Jl'-^7('-7)j-
Au milieu de la poutre, pour-r := -> on a
5 pl^
^ ^ 384 Kl '
On pourrait encore pour trouver v partir de- l'équation différentielle de la ligne élastique, qui peut se mettre dans ce cas sous
la forme
On en déduit
CI D jo/a-» px*
(]omme on doit avoir (^ = o, pour ;r =: /, il en résulte
et par suite
,- pV* f X • ix^ x^ \
même résultat que précédemment.
On pourrait encore partir de l'équation différentielle
qui ne suppose pas connue d'avance Texprcssion du moment fle'»c hissant M. On en déduirait
et l'on déterminerait les quatre constantes en écrivant que pour
l8/| CHAPITRR Vlll.
j7 =r o et |)our X ^^ L on a
- = - et — =
Les conditions relatives à x = o donnent
A = o et G = (),
et les deux autres fournissent
Déformation d'une poutre d'égale résistance. - Lorsque, sous un syslème de charj»es donné, la fatigue niaxima se trouve la même dans toutes les sections, on dit que la poutre est A' r gale résistance . expression qui a un sens tout relatif, car elle ne se rapporte qu'au système de charges considéré. /
Cette hypothèse équivaut à poser
M h MA'
])()ur les fibres extrêmes de chaque section, ou
en désignant par H la hauteur totale de la section, ou enfin
M Rj-R' T^. Il '
Le deuxième membre se réduit à -fr- si R'^:= R.
On peut donc dans tous les calculs de déformation substituer
— ^ ITT' ^-"^ quantité R+R' est supposée une constante,
représentant le double de la fatigue moyenne dans chaque section.
()uant à H, on lui attribuera la forme analytique résultant du tracé
M R -+-' R' de la poutre. Si H est constant, la quantité rrr =^ — rrq — peut
El ~ KH Nous avons vu que le déplacement vertical v est le moment
El
sortir de tous les signes d'intégration.
acement vertic
fléchissant dû à une charge fictive continue T^d\, Dans Thypo-
POUTRE DROITE REPOSANT SIR DEUX APPUIS SIMPLES. l8}
tliôse actuelle, la charge fictive sera iiniforménienl répartie sur
toute la longueur à raison de par unité de longueur.
La ligne représentative d(î v sera alors une parabole dont Tordonnée au sommeiy aura pour valeur
(]ette formule présente un certain intérêt en ce qu'elle permet de calculer approximativement la flèche d'abaissement au milieu de la poutre quand on a simplement une idée de la valeur moyenne de la fatigue élastique. Inversement, si dans un essai de poutre on a mesuré la flèche, on en déduira approximativement la valeur moyenne de la fatigue élastique, mais bien entendu cela suppose que la fatigue élastique est sensiblement la même d'un bout à l'autre sous la surcharge d'épreuve qui a été employée.
