II. — l'OUTKKS-CONSOLKS
l.'ne poutre-console est une poutre droite reposant sur deux appuis simples G^et G| qui ne correspondent pas à ses extrémités et qui divisent sa longueur en trois parties distinctes : une partie centrale comprise entre les appuis et deux consoles en porte à faux G' Go et Gi G", dont nous désignerons les longueurs respeclives par /, /' et /".
Réactiont des appuis. — Ces réactions se déterminent par les seules équations de la statique^ tout comme si les appuis corres-
CONSOLES. POi'TRBS-CONSOLES. PONTS-GRUBS.
pondaient aux extrémités de la poutre. En prenant G<, comme origine des coordonnées et en désignant par a Tabscisse, positive ou négative de la charge P, le moment de celte charge par rappiirl
Fig. 8'i.
à Go sera toujours Pa. L'équation des momenls appliquée à (i, donne donc toujours
Ro=P
on aurait de même
Pa
La ligne d'influence de R| sera donc toujours la droite Go R|, avec la condition G,Ri r= i, mais cette droite devra être prolongée dans l'étendue des travées-consoles. Dans Tétendue de la iravéeconsole de gauche, R| est négatif, de sorte qu'il pourra y avoir à considérer un maximum négatif en même lemps qu'un maximum positif. Il pourra se faire que Ton ait besoin de prendre des dispositions pour empêcher le soulèvement de la poutre sur cet appui, dans certains cas de surcharges.
Il en est évidemment de même pour R^,.
Dans le cas de charges simultanées on n'a évidemment qu'à faire les sommations relatives aux différentes charges après avoir multiplié chacune d'elles par l'ordonnée correspondante de la ligne d'in- / fluence, soit qu'on relève celle-ci sur l'épure, soit qu'on la calcidc directement,
Dans le cas d'une surcharge uniformément répartie, on trouverait R, en faisant la surface totale de la ligne d'influence et en la multipliant par p. Le résultat est
On Irouverait de mémo
Moments fléchissants. — Il y a deux cas à distinguer suivant la situation de la section (i, d'abscisse a.
1** Si G est sur la partie centrale, le moment fléchissant y est produit à la fois par la réaction d'appui Rq et par l'ensemble des charges appliquées à sa gauche. On a donc, comme dans le cas de la poutre simple,
M = Rç.7 Vp(a:- a).
Toutes les conséquences que nous en avons tirés précédemment subsist«*nt. L'orsque l'on a une charge isolée, on a
iNl = V X SI a ;> x,
el cela quelle que soit la valeur positive ou négative de a, puisque la formule donnant Rq est absolument générale.
La ligne d'influence de M sera donc* composée toujours des [>ortions G© M et M G, des deux droites Gq ^ïi ^^ G|Mo qui se croisent sur la verticale de G, au point M dont l'ordonnée est
CONSOLES. POUTHBS-CONSOLES. PONTS-GRUES. igS
Mais ces deux droites doivent être prolongées suivant G© M' et Gi M" dans l'étendue des travées-consoles. Les moments fléchissants sont donc négatifs dans Tétendue de ces consoles, c'est-à-dire pour toute charge placée sur elles. Il y aura lieu de considérer sous Teffet des surchargés un maximum négatif pour le moment fléchissant aussi bien qu'un maximum positif. Pour obtenir le maximum positif, on chargera autant qu'on le pourra la travée centrale comme si elle existait seule. Pour obtenir le maximum négatif, on chargera autant qu'il sera possible soit les deux consoles à la fois, soit tout au moins Tune d'elles.
2® Supposons maintenant que la section G soit sur une des consoles, celle de gauche par exemple. '
On n'aura qu'à appliquer les résultats obtenus pour la console simple. Le moment fléchissant en G est indépendant des charges situées à sa droite. La ligne d'influence de ce moment est par suite composée d'une droite telle que G M, l'ordonnée G' M représentant à l'échelle convenue la longueur G' G. A droite de G la ligne d'influence se confond avec l'axe des x.
Efforts tranchants. — Il y a à distinguer deux cas comme pour les moments fléchissants :
I® La section G est dans la partie centrale de la poutre. On a toujours la relation générale
T = Ro-2p
avec toutes les conséquences qui s'en déduisent. S'il s'agit d'une charge isolée, on a donc toujours
T=Ro=p(i-7) si flOx, T= rio— l»=— I»j si %<x.
La ligne d'influence de T. est donc toujours constituée parles deux droites parallèles T© Gi et GoT, qui découpent sur les verticales (Go) et (G|) des segments égaux à l'unité adoptée. Les segments utiles sont le segment TG« prolongé jusqu'en T" et le
Pigeaud. i3
segment G© t prolongé en arrière jusqu'en T'. La surface de la ligne d'influence est la partie hachurée sur la figure.
Fig. 83.
On a deux zones positives et deux zon^s négatives, qu^il faudra envisager séparément pour avoir les maxima positifs et négatifs de r^ffort tranchant, sous Teffet des surcharges. •" •
*-i® La section G est sur l'une des consoles, celle de gauche par exemple. •
On n'a qu'à appliquer les* résultats obtenus pour la console simple. L'effort tranchant en G est indépendant des charges situées à sa droite. La ligne d'influence est par suite composée du segment T'T de l'horizontale menée au-dessous de l'axe des a?, GT étant égal à l'unité adoptée. A droite de G la ligne d'influence se confond avec l'axe des x.
Déterminations graphiques. - Traçons un polygone funiculaire de toutes les forces appliquées, quelles que soient leurs lignes d'action par rapport à la travée centrale ou par rapport aux consoles. Soit AI son premier coté qui coupe en I la verticale ((jo) ^^ soit BJ son dernier côté qui coupe en J la verticale (G^ ).
La ligne de fermeture relative aux deux verticales d'appui est TJ. C'est parallèlement à celte ligne de fermeture qu'il faudra mener [)ar le pôle G la droite Ow qui déterminera' sur le poljgone des
CONSOLES. POUTRES'CONSOLES. PO>rrS-GniEi?. IqS
forces les réactions d'appui
tort = Ro, bts} = Rj.
Dans la partie centrale de la poutre, le polygone funiculaire rapporté à sa ligne de fermeture constituera toujours la ligne repré-
Fig. 84»
sentative des moments fléchissants. En effet, pour trouver le moment fléchissant en G, il faut envisager comme première force Rt>
Fig. 85.
et ensuite toutes les forces situées à gauche. Le premier côté du polygone funiculaire correspondant est JI, le second est lA, parallèle à Oa, et les autres viennent dans leur ordre. Le moment cherché est donc mm' compté sur la verticale (G) entre I J ligne de fermeture et le côté afférent à la dernière charge prise en compte à gauche de G.
Dans l'étendue delà console G' Go, ainsi que nous Favons vu,. la courbe représentative est le polygone funiculaire rapporté à son premier côté Al, car il n'y a nullement ici à prendre en considération la réaction d'appui Ro'.'
196 CHAPITBE tX.
On peut donc dire que la ligne représentative des moments fléchissants est entièrement constituée parle polygone funiculaire des charges appliquées, à la seule condition de compter ses ordonnées à partir delà ligne brisée AIJB, constituée par le premier et le dernier côté du polygone et par la ligne de fermeture IJ relative aux verticales des appuLs.
Rien n'empêche évidemment, si cela est plus commode pour les constructions, de remplacer les portions Ai et y B du polygone funiculaire total, par des polygones différents construits avec la même distance polaire, les- segments Ii et Jy conservant leurs valeurs et pouvant toujours servir à la détermination de la ligne de fermeture IJ.
En ce qui concerne Teffbrt tranchant, son échelle fonctionnelle est donnée par le polygone des forces.
Dans la console de gauche, il faut prendre comme origine de l'échelle l'origine a du polygone des forces. Puis dans la travée centrale, il faut déplacer l'origine et la prendre au point w, afin de prendre en compte la réaction Ro- Enfin, dans la console de droite, il faut prendre comme origine l'extrémité b du polygone des forces, afin de prendre en compte Ri. Cela revient du reste à changer la poutre bout pour bout.
Étude de la déformation. -- Nous n'avons qu*à répéter que la ligne élastique est définie, quant à sa forme, comme étant le polygone funiculaire des force fictives rrr'
Quant à la ligne de référence à adopter, ce sera évidemment la corde de ce polygone comprise entre les verticales (Gq) et (G«), puisqu'on suppose que les appuis G© et Gi sont fixes et qu'en ces points on doit avoir i^ = o.
Pour trouver la ligne d'influence de ç dans une section donnée on appliquerait le théorème de Maxwell et Ton chercherait la ligne élastique correspondant à une charge unité placée dans cette section.
