I. — Poutre encastrée a ses deux extrémités

Définitiont. -- On dit d'une manière générale qu'une poutre cs^ encastrée à une de ses extrémités, o.u sur un de ses appuis, lorsque la section correspondante est assujettie à conserver une orientation lixe dans tous les états déformés de la poutre. La réaction de l'appui dont il s'agit ne peut plus, en général, passer par le centre de gravité de la section encastrée. Si on la transporte à ce centre de gravité, il faul lui adjoindre un certain couple qui s'appellera moment d' encastrement sur l'appui.

Dans le cas d'une poutre droite uniquement sollicitée par des forces verticales, la réaction de Tappui sera donc constitué à la fois par une réaction verticale et par un moment d'encastrement. 11 y. aura pour définir les réactions d'appui quatre quantités

Fig. 88.

'QoP 1 ' IG,

inconnues, à raison de deux par appui. Les équations de la sta-' tique, au nombre de deux seulement^ ne nous permettront pas de déterminer ces quatre Inconnues. INous sommes donc en présence d'un système hyper statique^ c'est-à-dire d'un système dont la statique seule ne peut déterminer les conditions d'équilibre. Pour lever l'indétermination, il faut recourir aux équations capables d'exprimer analytiquement les conditions auxquelles sont supposées assujetties les extrémités, équations de déformation, ou bien équations du travail de déformation minimum. Nous emploierons de préférence les équations de déformation qui sont sous une forme explicite.

Équations d'équilibre statique. — Réactions complémentaire

d'appui. — Comme nous l'avons expliqué dans la théorie générale des poutres, on simplifiera le problème en étudiant d'abord la poutre de même portée, soumise aux mêmes charges, mais dans l^hypothèse ou elle reposerait à ses deux bouts sur des appuis simples ou statiques. Dans cette hypothèse, on pourra déterminer les réactions d'appui que nous appellerons R'^ etR', , et trouver pour chaque section transversale G le moment fléchissant que nous appellerons

p. et l'efl()rt tranchant -t^- Les réactions RJ, et ( — R',) seront

d'ailleurs respectivement égales aux valeurs de ~ pour x ^= o et

pour X =^l. On pourra aussi supposer déterminés les angles co© et (1)4 que fait avec sa direction primitive l'axe longitudinal déformé à ses deux extrémités G© et G|.

Gela fait, il ne s'agit plus que de déterminer les réactions complémentaires d' appui, lesquelles sont nécessairement deux forces égales et directement opposées. Si l'on désigne par M le moment fléchissant réel en G, on sait que la différence M — fJt est une fonction linéaire de l'abscisse x de G. C'est un cas particulier d'un théorème général précédemment démontré. On peut donc poser pour tout point •

(i) M — |JL = A+Ba7;

A et B sont ce qu'on peut appeler les composantes de la réaction complémentaire de V appui de gauche G«. A est son moment par rapport à l'origine des abscisses, et B sa composante verticale. On a d'ailleurs, pour x= o /jl = o, et par suite A = Mq, ce qui était évident puisque Mq ne peut provenir que du moment de la réaction complémentaire .

Appliquons l'équation précédente à la section transversale qui est infiniment voisine de G| et pour laquelle x = / et désignons par par M| le moment fléchissant en ce point (moment qui sera égal et de signe contraire au moment d'encastrement sur l'appui G|); nous aurons, |jl étant nul,

M,= A-4-B< = Mo-hB/,

Ml- Me ^ = —7

En dérivant par rapport à x l'équation (i) qui: donne les

P0UTRB8 ENCASTREES. 20I

moments M on en obtient une seconde qui donne Teflort tranchant en chaque point et qui est

Appliquons-la aux deux extrémités de la poutre, et d'abord en Gq. On doit avoir T = R^ et (J^) = R'o- Donc

'^O — Rq = R»

ce qui était évident .

En G, on a T= — R, et (^) = -R;, et Ton en déduit

encore — R| -:l- R', = B, comme cela devait être.

Nous voyons donc de nouveau que le fait d'avoir exprimé M et T par les équations (i) et (2) assure toutes les conditions d'équilibre statique tant de la poutre entière que de chacun de ses tronçons. Cela dispense d'écrire les équations d'équilibre statique.

Le problème revient par suite à déterminer les deux constantes A et B, en fonction desquelles les quatre quantités M©, Mi, Rq, R^ peuvent facilement s'exprimer. Il est du reste loisible de leur substituer Mo et M,, ce qui donne plus de symétrie dans la plupart des calculs.

C'est ce que nous ferons dans le cas actuel et les équations (i) et (2) s'écriront :

(1) M— fi = MoH —. — -op = Mo— 2 H M, y,

. T ^I^ M| — Mo

Application des équations de déformation à la recherche de Mq et M,. — Les équations générales de déformation des poutres droites sont

= Wo -H /

'MrfJ

Et '

(0 V = OioX-h I g| cfp.

Si on les applique à l'extrémité G« dans le cas actuel où (Oq== o et où l'on suppose aussi a>j = o et (^1 = o, on obtient les deux équa-

a02 ^ CHAPITRE

lions de condition

rfî = o.

El En tenant compte de la première, la seconde peut s'écrire

et cette nouvelle équation peut remplacer la première.

Substituons dans les deux équations de condition rexpreséion générale de M, nous obtiendrons

Les intégrales, coefficients de M© et M,, sont ce que nous avons appelé précédemment abc. Quant aux intégrales qui contiennent a, ce sont les produits par l des valeurs que Ton obtiendrait pour les angles de rotation — coq et Wi des extrémités de la poutre, dans riijpothèse où celle-ci serait posée sur deux appuis simples. Avec ces notations, les équations s'écrivent

On en déduit

6 Mo -h a Mi = /*coo, aMo-i- c Mi = — /*wi.

{bc — t«*)Mo= ^'(c Wo-+- aa)|), {bc — a*)Mt = — /*(6<D|-|- awo).

Nous n'avons fait jusqu'ici aucune hypothèse particulière sur les charges. Si nous supposons qu'il s'agit du cas d'une charge isolée P d'abscisse a, on voit que le problème sera résolu dès que l'on aura construit les lignes d'influence de /w^ et Za>| ainsi que nous avons appris à le faire. Il suffira de relever les ordonnées relatives à l'abscisse a et d'en introduire les valeurs multipliées par P dans les deux équations qui précèdent.

Pour le cas de charges simultanées, on ferait leurs produits par

POUTRES BNGASTRER8. 2o3

les ordonnées correspondant à leurs difi'érentes abscisses et ensuite les totaux.

Pour une charge continue p dd^ on ferait la surface des lignes

d'influence et on la multiplierait par/>.

Détermination directe des lignes d'inflnence de Mo et M| et plus g^éralement de M — [jl pour une section quelconque G. — Pour une section G d'abscisse x, on a

M — fx = Mo — T h Ml j •

Si Ton élimine Mo et M, entre cette équation et les deux équations qui donnent Mo et M|, on obtient

(4) (M — fji)^ = (l — x)[coiQ-h au»i) — x(a(tiQ-h bîùi)

= (i*o[c(/ — -ar)— ax] -h(i>i[a(/ — x) — bx].

On voit déjà sur cette expression qu'il y a un point pour lequel M — [X ne dépend pas de a>i et est simplement proportionnel àcoo. C'est le point pour lequel on a

(^est le fojer de gauche F de la travée, son abscisse y* satisfaisant précisément à cette relation, d'où l'on tire

/=/-^ et /-/=/ ^

Kn ce point on a

<roii simplement

M — [Jl = — ^«•>oa

De même il y a un point pour lequel M - - [jl ne dépend pas de a)|. (^est le foyer de droite F' dont l'abscisse/' satisfait aux relations

— £ = — ou / =* ou encore / — / = * •

'204 CHAPITRB \.

Pour ce point particulier on trouverait

Si dans le second membre de Téqualion (4) on remplace (Oq et (Oi par les intégrales définies qui les représentent respectivement , et si Ton groupe sous le même signe d'intégration Tensemble des

termes, après avoir multiplié les deux membres par r—-- — j, on obtient une relation de la forme

en désignant par y la fonction de Ç et de j? donnée par Téquation

(6) (bc — a^)y = (i^ l)[c{l — x) — ax}-^ i[a(l — x) — bx],

La ligne d'influence de M — [jl s'obtiendra donc, en vertu du théorème du Chapitre VII, en construiseint sur le réseau des droites de rappel ($), avec la distance polaire variable El, tin polygone funiculaire de forces fictives continues, dont l'intensité en chaque point serait égale à y.

Gomme ^ est linéaire en Ç, il peut se représenter par une ligne droite, qui constituera la ligne de charge. A chaque section G, d'abscisse a?, correspondra une ligne de charge particulière. Comme les coefficients de son équation sont eux-mêmes linéaires en a:, toutes ces droites passeront par un point fixe, qu'on appellera centre fixe de la travée.

La démonstration de ce dernier résultat est connue. Si une

droite

y = {ati.-\- 6)a7-i-(ca-4-£i)

a pour coefficients des fonctions linéaires d'un paramètre a, le point d'intersection de deux droites particulières correspondant à deux valeurs ai et %^ du paramètre aura pour abscisse la racine de

l'équation

a(ai — (i\)x -h- c(ai — «j) = o

qui se réduit à

ax -h c s= o

et est indépendante des valeurs particulières ai et a^.

POUTRES ENCASTREES.

Passons rapidement en revue quelques positions particulières de la ligne de charge.

Si Ton fait x = o, c'est-à-dire si G est confondu avec Go, Téqu»lion (6) devient

Fig. «9.

Elle coupe Taxe des x au point pour lequel on a

Ce point est, comme nous Tavons vu, le foyer de droite F'.

Si Ton fait x =/, c'est-à-dire si G est confondu avec le foyer de gauche F, Féquation (6) se réduit à

(ôo-««)j = (Ç-/)[c(/-/)-a/],

car la parenthèse coefficient de Ç s'annule. Cette droite passe par le point G|. Elle coupe d'ailleurs la verticale (G©) au point donl l'ordonnée est donnée par Téquation

{hc - a^)y=^l\c{l- f) a/J = - .^ [bc - a«]

a ' On verrait de même que la ligne de charge correspondant à G|

!2o6 cflAnniB x.

passerait par le foyer de gauche et que celle qui correspond à F' passerait par Go et couperait la verticale (G|) au point dont l'ordonnée est

Quant au centre fixe C, on l'obtiendra par l'intersection des deux lignes de charge afférentes aux foyers. Si l'on désigne par m son abscisse GqY et par n son ordonnée Cy, on aura les deux relations

If l^m 1(1 — /') m^ ~~ a l ~ a l

On en déduit

Le point y est toujours compris entre les foyers, car on a évidemment

On a ensuite-

__(// — m if(i^f')

La ligne de charge qui correspond- au centre fixe est horizontale. En effet, si Ton cherche le point G satisfaisant à cette condition, il faut que son abscisse m annule le coefficient de Ç dans l'équation (6), ce qui donne

c ( / — m ) — am -h a(l — m) — bni = o,

d'où l'on tire

C'est la même condition que plus haut.

Ainsi, en résumé, quand G parcourt la poutre, la ligne de charge pivote autour du point C. Lorsque G est en Go, la ligne de charge passe par F' ; lorsque G arrive en F, la ligne de charge passe par G< ; enfin lorsque G vient en y, à l'aplomb de G, la ligne de charge devient horizontale. Son point d'intersection avec l'axe des X esl reporté à l'infini. Au delà, les mêmes variations se reproduisent en sens inverse, de sorte que la ligne de charge ne coupe jamais l'axe des x entre les deux foyers. Le point où elle coupe

POUTRES- ENCASTREES.

Vaxe des x détermine dans chaque cas le point dHnfiexion de la ligne dUnJluence de M — (jl, lorsque I est constant et un point qui en est au moins très voisin dans tous les cas de la pratique.

Détermination des lignes d'influence de M — [jl au moyen de deux quelconques d'entre elles, échelles fonctionnelles équlTalentes. — Supposons qu'on ait déterminé les lignes d'influence de M — [jl pour deux sections particulières, d'ailleurs quelconques G' et G''.

Fig. 90.

Pour une position quelconque de la charge on sera en mesure de connaître les valeurs de M — jjl en ces deux points. Portons sur les verticales (G') et ((/) deux segments G'M' et G'M" égaux aux valeurs ainsi trouvées et traçons la droite M'M^. Cette droite sera la ligne représentative de (M — jx) aux différents points de la iravée et le segment GM sera, en particulier, la valeur de M — p. au point G pour la position de la charge qui 'a été considérée.

Supposons maintenant que, pour une série de positions de la charge, on ait fait la même opération', ce qui revient à porter sur les verticales (G') et (G") les échelles fonctionnelles de (M — pi), éc belles fonQtionnelles qui: sont une traduction des deux lignes d'influence supposées construites. L'ensemble des droites analogues à M' M" déterminera sur la verticale (G) l'échelle fonctionnelle de la fonction M — [jl afférente à la section correspondante G.

De cette échelle fonctionnelle, on pourra inversement déduire la ligne d'influence dont elle est la. traduction.

Parmi les groupes de sections G' et G^ que Ton peut envisager, il y en a deux particuliers dont le choix s'impose. C'est d'abord celui des deux sections d'appui Go et G| . Ensuite celui des sections

des fojers. On a en effet, pour ces dernières, les relations simples

écrites plus haut :

f Au foyer de gauche M — fji= ^/coo;

Au foyer de droite M — |i = ^ /to>|.

Leurs lignes d'influence sont, à des facteurs près, les mêmes que celles de /wo et de liù\ dont le tracé est en tout cas nécessaire pour déterminer les lignes en croix, les coefficients ahc et la position des foyers.

Détermination et forme de la ligne d'influence de M , dans une section donnée. — On a évidemment

M = M — [i-h jji = ( M — [jl) — (— ji).

Cela signifie que les ordonnées de la ligne d'influence de M sont les différences des ordonnées des deux lignes d'influence de M — (JL el de ( — jjl). Cette dernière est, comme on sait, facile à tracer. Elle se compose de deux segments de droite GqJx et [jlG|, se coupant sur la verticale du point G au point u d'ordonnée

Il suffit donc de prendre comme ligne de. référence l'ensemble de ces deux segments de droite (tq jx et [jlG| pour que la ligne d'influence de M — jjL se tranjsforme en la ligne d'influence de M.

La ligne d'influence de M — ui a d'ailleurs en Go et (i, ses tangentes confondues respecti\ement avec les deux droites Gou et aG|.

En effet, si l'on se reporte à l'expression général^ de M - «x, on a

(6c — a«)(M — ijl) = [c(^ — j?) — aa?j/a)o-h [«(/ — j:) — 6j:]/wi. Or, pour a = o, on a

d(lti>i ) Cl

IVL l

POUTRES ENCASTREES.

d'après la définition même des lignes en croix et des coefficients abc. On a donc pour a =: o

oc H- a»)

C'est précisément le coefficient angulaire de la droite (io[^- De même, pour a = /, on aurait

d'où

d(ltOo) dOL

d(lia^)

ou enfin

if%

{bc — cl*) — ^ — -r ^ — = {hc — a') ;

aa /

r/r JM — ]j. \ X

C'est précisément le coefficient angulaire de [xCii.

Cela posé, considérons une section G comprise entre les foyers. La ligne de charge correspondante coupe Taxe des x à drollc de G|. La ligne d'influence de M — [jl a donc son point d'inflexion reporté à droite de G|, de telle sorte que, entre G© et G|, elle a une courbure toujours de même signe. On a donc forcément la disposition de la figure 91. Il en résulte que la ligne d'influence de M, rapportée au contour Go;-«.G|, ne présente qu'une seule zone dans laquelle M est positif.

Considérons au contraire une section G comprise entre G© et le foyer de gauche F.* La ligne de charge correspondante coupe rax(;

PlOBADD.

des X entre P et Gg, et la ligne d'influeiïce de M-- ul a un point d'inflexion dans celte même région. On a donc la disposition de la figure 92. La ligne d'influence de M présente alors deux zones, une zone positive G© p. A et une zone négative AGi-

Fig. 92.

Les cas limites sont intéressants à envisager.

Supposons que G tende vers l'appui de gauche G©. La zoiie positive Go^^A diminuera de plus en plus et tendra vers zéro. Sa surface sera même un infiniment petit du troisième ordre, car Go A sera du premier ordre, et la distance de [jl à la courbe sera du second ordre. Il ne restera alors qu'une seule zone- qui sera négative. Le coefficient angulaire de la lime d'influence de M — a pour X---0, c'est-à-dire de Mq, est égal à — 1 pour ccz=^o^ et à o pour a = L

Supposons ensuite que G tende vers ¥. La courbe aura son point d'inflexion en G, et la zone négative s'annulera. Son aire sera, au voisinage de F, un infiniment petit de troisième ordre.

Utilisation des lignes d'influence. Méthodes abrégées pour la construction des lignes enveloppes. - - La méthode des lignes d'influence est tout à fait générale et complète. Les résultats théoriques obtenus sont, au fond, assez simples et mettent en relief certains points importants. Elle permet de déterminer par points les lignes enveloppes.

En pratique, il importe de remarquer que toutes les lignes d'influence utiles à envisager pour Mo, M,, M — jjl ne sont que des combinaisons linéaires et homogènes de celles de /wo et /(o,. Si donc on a pu s'assurer que ces dernières sont assimilables, avec une approximation suffisante, à des urcs de paraboles eubiques, il en sera de même de toutes les autres, et l'on n'aura alors besoin pour les tracer, quand cela sera utile, que des points et des tangentes à leur extrémité, conformément à ce que nous avons dit au Chapitre Vlif. »

P0UTRB8. ENGASTaÉES. •vftll

En outre, il n'est pas toujours nécessaire, pour parvenir à la détermination des lignes enveloppes des moments fléchissants, Av^ procéder au tracé effectif des lignes d'influence relatives à toutes les sections que Ton a à étudier. Certaines simplifications se présentent d'elle-mêmes dans les principaux cas de charges et de surcharges que Ton envisage dans la pratique.

I® Supposons d'abord qu'on envisage la charge permanente; on la suppose uniformément répartie à raison de p^^ par unité de longueur, et elle s'applique nécessairement à toute la longueur. Si

Fig. 93.

Ton a seulement tracé les deux lignes d'influence de M — [x relatives aux foyers F et F', lignes d'influence qui sont celles de /oj» et de /«,, et qu'on est en tout cas conduit à envisager, on n'a qu'à évaluer leur surface et à la multiplier par /;, pour avoir les ordonnées FM et F' M' de la droite Mo M, qui représente la valeur d<* jx — M dans toute l'étendue de la travée.

Si, d'autre part, on a tracé la parabole (jojjlGi à axe vertical, qui représente dans ce cas le moment [x, on aura dans chaque section G le moment cherché en faisant la différence G[JL — Gm := m [JL des ordonnées de la parabole et de la droite, ou autrement dit en rapportant la parabole à la droite de fermeture MoMp

^^ Supposons ensuite qu'on envisage une surcharge uniforme, ou bien une surcharge que Ton soit autorisé à assimiler <i une e-harge uniforme pouvant couvrir indifféremment toutes les zones de la poutre (ponts-routes).

Voici comment on pourra opérer, en supposant toujours tracées les lignes d'influence de M - jx dansr les sections des foyers. On tracera l'épure précédente relative à la surcharge supposée couvrant toute la poutre.

ai2

^ a. Pour toule section G comprise entre les foyers, on sait que le maximum positif s'obtient précisément quand la surcharge couvre toute la travée. La courbe enveloppe des maxima positifs est donc

Fig- 94-

constituée par Tare de parabole [jl pi'. Quant au maximum négatif, il est constamment nul. La courbe qui le représenterait, en adoptant pour ligne^e référence M© M,, serait donc le segment M M'..

h. Quand la section est entre Go et F, on a à la fois un maximum positif et un maximum négatif. A Fégard du premier, on sait qu'il devient nul en Go- Sa courbe doit y être tangente à la ligne de référence, puisque, ainsi que nous Tavons vu, l'aire de la zone positive de la- ligne d'influence par l'appui Go devient un infiniment petit du second ordre au moins. La courbe enveloppe représentant le maximum positif part donc de [jl, tangentiellement à la parabole pour aboutir en Mq, tangentiellement à Mq Mj. Elle afiecU* ainsi, dans son entier, la forme d'un chapeau de gendarme.

A l'égard du maximum négatif, il est nul en F, et sa courbe y est tangente à Mo M,, puisque la surface négative de la ligne d'influence y est 4in infiniment petit du deuxième ordre. Elle doit d'ailleurs aboutir au point Go, puisque pour la section d'appui il n'y a plus de zone positive et que le maximum négatif y est confondu avec le résultat donné par la charge complète. Elle est même tangente en Go à la parabole tracée pour la surcharge complète. Dans son entier, la courbe représentant le maximum négatif est donc GoMM'Gi, rapportée à la droite de référence Mo M,.

Les ordonnées de l'arc Go M, comptées à partir de Mo M,, doivent

IK)UTRBS ENCASTRÉES. 21 3

d'ailleurs être égales nux ordonnées de Mq [X comptées à partir de la parabole, car elles correspondent aux mêmes charges.

Pour tracer approximativement Go M, on pourra chercher à déterminer quelques points intermédiaires par tâtonnement, mais en général il suffira de tracer la parabole du troisième degré, tangente en M à M o M, et tangente en Go à la parabole, ce qui est facile.

3" S'il s'agit d'un convoi type de chemin de fer, dont la tête est notablement plus lourde que le reste, on ne peut plus formuler de règle aussi précise.

Si les lignes d'influence des diflérentes sections étudiées avaient été tracées, on reconnaîtrait cependant que, pour une section située entre les foyers, le maximum positif s'obtiendrait sensiblement, comme pour une poutre droite sur appuis simples, en plaçant une des charges à l'aplomb de la section et en plaçant la tête du train du côté de l'appui le plus rapproché.

11 en sera de même pour le maximum positif d'une section située en dehors des foyers, à cela près qu'il faudra limiter le train à la zone positive de la ligne d'influence. Pour le maximum négatif, il n'y a plus de point anguleux dans la ligne d'influence, et tout ce qu'on peut dire c'est que, dans les essais à faire, il faudra limiter la longueur du train.

En gros, les courbes enveloppes conserveront la même allure que si l'on remplaçait le convoi type par une charge continue uniforme, et il suffira, dans tous les cas, pour les tracer avec une approximation suffisante, d'un très petit nombre de points exacts.

Étude de l'effort tranchant. — En vertu de la relation

cùv dx l

l'étude de l'eflbrt tranchant se ramène à celle de -^ qui est l'efi'ort

tranchant dans la poutre sur appui simple et à celle de — —, •

Si l'on cherche la ligne d'influence de T pour une section G, elle s'obtiendra en rapportant à la ligne d'influence de —^ — *, laquelle

ne dépend pas de G, la ligne d'influence de ^^^ que nous avons

appris à tracer au Chapitre VIII, et qui se compose des deux segments Go t et TG| des deux droites fixes Go R| et G, R© parallèles

entre elles et de coefficient angulaire égal à' - -=.

Mo- M, /

= , ^ — j[(«-^c)/coo-h(a-h 6)/a)i].

On pourra tracer sa ligne d'influence dès que l'on aura construit celles de /a>o et de /(0|.

Fig. 90.

Cette ligne d'influence a pour tangentes en G© et G, les droites Go Ri et G, Ro respectivement. En eflel, nous avons déjà vu que, pour a == o, on a

d(ifao) b d{l^i) a

doL

On a donc, en diflerentianl par rapport à a et faisant a =: o,

C'est précisément le coefficient angulaire de Go Ri-

La courbe a donc la forme sinusoïdale indiquée sur la figure- Dans ces conditions, la ligne d'influence de T pour la section Cî

POUTRBS ENCASTRÉES. Il S

se compose des deux porlioiis de droite G© t et TG, rapportées à la courbe Go m G,. Elle présente une zone négative s'étendant de Go à G et une zone positive de G à G,. H y a une discontinuité sur la verticale de G.

Les courbes enveloppes présenteront en gros les mêmes caractères que celles qui sont relatives à une poutre sur appuis simples.

Étude de la déformation. — Cette élude se fera suivant les mêmes principes que dans le cas de la poutre droite sur appuis simples, avec cette simplification toutefois ■ que (Oq et Wi sont toujours nuls. Cela peut se traduire en disant que les charges

fictives - ~pT- se font constamment équilibre sur la poutre, car

c'est là une traduction pure et simple des équations de condition exprimant Tencastrement.

Le polygone funiculaire, qui correspond à une ligne élastique, doit donc toujours être tel que son premier et son dernier côté soient dans le prolongement Tun de Tautre. Cela est du reste bien évident puisque une. ligne élastique n'est que la représentation de Taxe longitudinal déformé, et que dans le cas actuel ses tangentes extrêmes restent en coïncidence avec l'axe longitudinal primitif.

Cas de la poutre à section constante. - Dans ce cas on trouve, comme nous l'avons vu :

A A 6 El

Les foyers s'obtiennent simplement en divisant la poutre en trois parties égales.

D'autre part, on a (voir Chapitre VIII) :

/a>o=— Pg^j m(i — /«)(2 —m), /(o, = -h P ^^ /n(i — m) ( I -h m),

en désignant par ml = x l'abscisse de la charge isolée P.

Au foyer de gauche, l'équation de la ligne d'influence de M — a

2l6 <:iUPITRE X.

est donc

Au foyer de droite, on aurait de même

(l-f')l^x VI . ,,

M — [ji = — ^^ : — - — ' = T-m(i — /?i)(i-h m).

Les équations des lignes d^nfluence de Mo et Mi seraient respectivement

*'»=Â?:r7iif<''- + «<"'5 = 3 5

a»/'/ — a) == p/ ,wi(i m) ==— P I-ll— ^\

expressions qui sont très faciles à calculer ou à construire graphiquement.

Plus généralement, pour une section G d'atscisse ^, on aura

= P'''^'^'''^[(m-'^)(2/-3jr)4-(i-h/ii)(/ — 3x)]

Si l'on envisage le cas particulier où Ton a /?i = j = -> c'est-àdire le cas où la charge est au milieu de la poutre, on obtient les résultats suivants:

Aux extrémités, on a

Au milieu de la poutre, pour y = -, on a également

POUTRES ENCASTREES. ^17