PI
poutre et ayant pour a = - un maximum égal à -^.
Mais il faut prendre aussi en considération le maximum négatif de M, qui est donné par Mq, ou par Mj, suivant le cas. Or, d'après la valeur de M© écrite plus haut, on voit que sa courbe représentative est une courbe du troisième degré en a, tangente à l'axe des X à l'extrémité droite de la poutre. Elle a un maximum pour la valeur de a qui annule la dérivée de a (/ — a)*. Cette valeur est donnée par l'équation (/ — a)* — 2a{l — a) = o. En écartant la valeur aL= l qui ne convient pas, il reste
/ — 3 a = o, d*où a = - .
Le maximum de Mq est lui-même
M !>/ > /'A' Di 4 P/ 3a PI ^,
j \3/ -ly 8 27 8
Quand on a affaire à une charge uniformément répartie p.doL^ il faut intégrer les diverses expressions précédentes, ce que l'on peut
21 8 cHAPims X.
faire simplement en partant des valeurs intégrées de Itùo et /a>,, lesquelles sont, comme on sait,
On en déduit
En un point quelconque de la poutre on a
„ pi^ x{l-x) pl^
*^ lî '^. -2 12
Au milieu, pour a7==-> on trouve
En ce qui concerne les déformations, puisque les déformations angulaires sont nulles aux extrémités, on a
Envisageons d^abord une charge isolée. Le premier terme a déjà été calculé dans un Chapitre précédent (Chap. VIII) et a pour valeur
X* si ar < a,
6ÊÏ7<'""^>* si :r>a.
Quant au second, en se reportant à la valeur de M — [x, dans laquelle x doit être remplacé par Ç, on trouve
P œ(/ — a) ËI ~
Si l'on fait dans ces formules rt.zrzx^=-n c'est^-dire si Ton
cherche la flèche produite au milieu de la poutre par une charge' P également placée au milieu, on trouve respectivement pour les
deux lermes de v :
La somme est
El ^96 *^' El ^ 64 '
El 192
Dans le cas d'une poutre sur appuis simples, on avait trouvé
" = -Ër^45-
Le rapport est donc de ^ dans ce cas particulier.
Quand on a affaire à une charge uniformément répartie, on a immédiatement', en se reportajit à la valeur de M écrite plus haut,
EI..-«y"sf(-S)(..-S)dî-£^j"(»-S)rfi
Au milieu de la poutre on trouve
384 El
Cette flèche est cinq fois moindre que celle de la poutre posée sur appuis simples.
Cas où la poutre encastrée ne supporte aucune charge mais subit à son extrémité de gauche une dénivellation Vq. — Dans ee cas, on aura jjl = o et pour un point G de la poutre le moment fléchissant aura pour valeur, d'après (i),
M = Mo — 2 1- ^ly
D'autre pari, la seconde équation générale de déformation devra s'écrire
"^MCa:— 0
El Appliquons encore les deux équations de déformation à toute
2JLO CHAPITRE X.-
la poutre, nous aurons les deux conditions
= Oi
dont la première peut être remplacée par la suivante :
En y remplaçant M par sa valeur, nous obtiendrons des équations analogues aux équations (3), qui seront évidemment
6 Mo + a Ml = — /po»
a Mo -h cMi = lv^\
Mo = —7 rt^o, Ml =-7 r
Si la poutre est à section constante, on a
On en déduit
Par suite,
a -+-6 I 6EI 6c — a'^ ~^ a ~ /•
M Vf ^^^
Ml = — Mo = -yr- l'O"
H. — Poutre encastrée a lxe extrémité
ET simplement APPUYÉE A l'AUTRE.
Supposons que la poutre soit simplement appujée à son extrémité de gauche G© et encastrée à son extrémité Gp On pourra en faire une étude générale au moyen des mêmes principes. Nous nous bornerons ici à quelques indications sommaires, tout en signalant, qu'en pratique, ce type de poutre a une importance plus grande que le type de poutre doublement encastrée.
POUTRES BNGASTRÉES. 221
L'appui Go ne pouvant développer aucun couple de réaction, on aura, pour le moment fléchissant en un point G (x) de la poutre, l'expression
M = |Jl -h B 37 = fJt -H — X.
D'autre pari, on suppose i', = 0,(1)4 = ^9 ^^o := o. . Les équations générales de déformation appliquées à la poutre entière donnent donc
f^al-h f Kl ^^ = »'
On élimine coo en multipliant la première équation par / et en retranchant la seconde ; il restera ainsi la condition
En la développant, on arrivera à une équation qui ne sera pas autre chose que la seconde équation (3) du paragraphe précédent, privée de son terme en Mo, savoir :
ci)| étant ici Tangle de rotation de la poutre en G, lorsqu'elle est supposée sur appuis simples. La ligne d'influence de M, a donc ses ordonnées proportionnelles à celles de la ligne d'influence de /(i)|.
Si la section est constante, on a, pour une charge P d'abscisse a = //;?,
et Ton en déduit
M 1 = mil — m) (i -h m).
Cas où la poutre ne supporte aucune char^e^ mais subit à son extrémité de gauche une dénivellation s^^, — Dans ce cas, la seconde équation de déformation appliquée à la poutre entière
aa2 CHAPlTlUi X.
doit s'écrire, en conservant le terme t^o?
(le sorte qu'après élimination de (i>o il restera la condition
D'autre part, l'expression de M se réduit à M=:: ^j:, de sorlp
que réquation donnant M, est
Dans le cas de la section constante, on a
w 3EI
Cas où la poutre ne supporte aucune charge^ mais subit à son extrémité de gauche une rotation donnée Wq, en même temps qu^ une dénivellation donnée \'q. — Dans ce cas, il n'csi plus permis de supposer M© = o, et Ton a pour M l'expression
M = Mo ^-^^=^^4- M, y.
D'autre part, les équations de déformation appliquées à la poutre entière donnent
la première pouvant être remplacée par la suivante» :
Vo
On obtiendra des équations analogues aux équations (3) m remplaçant M par sa valeur. Ces équations seront :
6 Mo -h a M 1 s= — Iv^ — /' a*o> a Mo --h cMi = ha»
Dans le cas de la section constante, on trouve
6 El 4 El Mo = j^vo J-^o,
Il faut bien remarquer qu'ici iùq est la rotation totale imposée à la section Go et comprend implicitement celle qui proviendrait de la dénivellation Vq considérée seule.
Si Ton voulait revenir à ce dernier cas, il faudrait faire dans ces formules M© = o, et Ton trouverait entre coo et f o la relation
dé sorte que M^ aurait la valeur trouvée précédemment :
Cas où la poutre simplement appuyée à son extrémité de gauche n^est que partiellement encastrée à son extrémité droite^ et y subit une dénis^ellation Pf en même temps quUine rotation (Oj, les charges étant nulles.
On a encore
D'autre part, les équations de déformation donnent
En éliminant coq, il vient
'MJrf? M,
d'où
Mi= -^(/w,— p,), dans le cas de la poutre à section constante.
