III
L'intégrale / dz sera représentée par l'ordonnée extrême G', z
sur la verticale (Gi), pour laquelle ol =^ l^ et l'on aura évidemment
Par smie, pour chaque valeur de a, l intégrale donnée est représentée par V ordonnée nm de la courbe intégrale GomZ, rapportée à sa corde. Cette courbe intégrale rapportée à sa corde est donc la ligne d'influence de l'intégrale.
28a CHAPITRE XII,
Dans le cas actuel, on a donc à construire la courbe intégrale de
, , , d\ di dfj
la quantité jjXj^X^-
Les quantités =^ = rfX étant supposées calculées, on aura à les réduire d'abord dans le rapport ^» comme on Ta fait prccé-
demment, puis à les réduire de nouveau dans le rapport -j- par un
procédé tout semblable.
La ligne d^nfluence de la poutre principale de la poussée pourra alors subir les légères corrections jugées utiles. Elles seront généralement sans importance, le facteur -j- étant positif dans une région de la poutre et négatif dans l'autre.
Autres lignes d'influence. Courbe des intersections. - Une fois en possession de la ligne d'influence de la poussée, on pourra l'utiliser pour trouver la valeur de Q correspondant à un système de charges quelconques, et en déduire la courbe des pressions relatives à ce système de charges.
Comme nous l'avons expliqué précédemment, il sera avantageux de déterminer les valeurs de Q pour un certain nombre de positions d'une charge mobile égale à l'unité, de tracer les courbes de pressions relatives à ces différentes positions et d'en déduire la fatigue dans les différentes sections que l'on désire étudier, ou encore les moments fléchissants, eflbrls normaux, efforts tranchants, etc. On obtiendra ainsi les éléments de toutes les lignes d'influence que l'on voudra, et il convient de remarquera nouveau que les courbes de pression, dans le eas d'une charge isolée, sont toujours composées de deux droites se coupant sur la verticale de la charge et passant par les points d'appui Go et Gi.
On envisage souvent, pour résumer et conserver les résultats, ainsi que pour faciliter les interpolations ultérieures, la courbe lieu des points où la verticale de la charge mobile est rencontrée par les deux droites qui constituent la courbe des pressions. On l'appelle la courbe des intersections. Quand on l'a tracée, par la construction directe d'un certain nombre de ses points, elle fournil tous les points intermédiaires et il est assez commode de s'en servir ensuite pour tracer la courbe des pressions relatives à une position intermédiaire de la charge. Il suffit de joindre aux extré-
• P0UTRE6 COURBES OU ARCS. ^8r
miles Go et Gi le point (jul se trouve sur la verticale de celte charge.
Mais cette construction fait un peu double emploi avec celle de la ligne d'influence de Q, qui à elle seule est suffisante et qui demeure la construction fondamentale.
Effet de la température. — Supposons, pour préciser les idées, (|u'il s'agisse d'une élévation de température provoquant dans le métal de Tare un allongement t par unité de longueur.
La réaction d'appui est encore une force Q agissant suivant la corde GoG|, el Ton a
D'autre part, la troisième équation de déformation doit être c'omplétée par le terme t ( jTi — :r«^,).
Le premier membre de cette équation étant toujours nul, elle donne
Le coefficient de Q est le même que précédemment et il n'y a rien de spécial à dire du second membre, qui est aussi simple que possible.
On remarquera simplement que, dans ce cas, la courbe des pressions, d'où se déduiront le moment fléchissant, l'effort normal, etc., dans les diffiérenles sections transversales, se réduit à la ligne des appuis GoG|.
Effet d'un rapprochement des appuis. — Supposons qu'on impose aux appuis un rapprochement tel que ii| — Uq subisse une variation donnée ( — 8), et qu'on veuille en apprécier Teffet. On opérera e\actemant de même et l'on trouvera la même équation, le second membre étant simplement remplacé par 5.
Déformation. — Il n'y a rien de spécial à ajouter à la théorie générale. La ligne élastique, ou courbe représentative des déplacements verticaux i\ s'obtiendra en construisant sur le réseau des
droites (5) un polygone funiculaire des charges fictives
KJ
El
Remarque générale sur les arcs à appuis de niveau. — Dans ce cas, il n'y a plus de distinction à faire entre les deux systèmes d'axes Oxy et OX.Y, ce qui procure quelques (simplifications évidentes.
Cas particulier d'un arc a fibre moyenne circulaire, a appuis de
NIVEAU KT A SECTION CONSTANTE. [RÉSULTATS DE BrESSE. — On pCUt,
dans ce cas, mettre -ttt en facteur commun dans toutes les inté- ' El
grales qui figurent dans les équations de déformation, sauf à multiplier par r' = — celles de ces intégrales qui renferment S. D'autre part, on peut trouver les expressions analytiques de
toutes ces intégrales. En prenant pour axes coordonnés la corde de Tare et la perpendiculaire élevée en son milieu, et en désignant par p le rayon du cercle, a sa demi-rorde, / sa ilèc'he (ou montée), par 9 le demi-angle au centre, et enfin par a Tangle au centre
BCG, qui définit le point courant G(ÇTiO"), on a les formules sui-
POUTRES C0URBB8 OU ARCS. tt83
vantes :
OGi = a = psinç, a=pa, dtj = p doL,
OB =f = p{\ — cosç), Ç = psina, fl?$ = p cosada,
f T^ = p(cosa — cosf), û?7) = — psinaûTa.
Toutes les quantités, figurant dans les intégrales peuvent donc s'exprimer en fonction de la seule variable a. Bresse a effectué ces iRtégrations pour divers cas de surcharges et dressé des Tables qui ramènent les calculs à effectuer à leur plus simple expression.
Nous résumerons son analyse ainsi qu41 suit :
a) Cas d^une charge Uolêe P= i agissant siià'ant la verticale d^ abscisse u = ma =: p sinO. — En désignant par C et c les deux termes du second membre de l'équation fournissant la poussée, et parD etrfles deux termes du coefticient de la poussée, on obtient pour celle-ci une expression de la forme
Q=DTrf=D^
L'expression tt est ce que Bresse appelle la partie principale
de la poussée. C'est le résultat que Ton obtiendrait si l'on négligeait les deux termes c et rf, introduits par la considération de l'effort normal. Le multiplicateur
a le caractère d'un coefficient de correction toujours plus petit que l'unité.
Effectuons le calcul de ces différents termes. Nous trouvons
d'abord
D= 1 p'(cosa — cos^f)* da.
[sin'/tzsc . I
— -^ 1 2C0SÇ sina -+- acos'o
= P^[f(i H- acos'ç) — 3 sinç cosf], d = /'* I p cos* a é/a = r* p | — h-l = r'p[çH-sinçcosç].
a84 . . CHAPITRE XII.
dit.
Ensuite, en tenant compte de ce que l'on a, pour |jLet^> les
expressions
a — u . ^ sino — sinO . .
jx= (a -HO?) = p ^—. (sino -h sjna)
et
et
du. sinç — sinO ^
-y- = — ^— entre — 9 et 6,
dx -isinç ^
a-^.u. . sinç + sinO . . . .
