POUTRES COVRBW OU ARCS

Lorsque l'arc a ses appuis de niveau et est d'ailleurs symétrique, ce qui est le cas usuel, les deux premiers de ces polygones funiculaires sont confondus avec ceux qu'on a supposés tracés pour déterminer le coefficient de B, le réseau des verticales étant dans ce cas confondu avec le réseau des droites (Ç) perpendiculaires à la corde de l'arc. Le nombre total des polygones funiculaires à construire se réduit à cinq, savoir : deux sur le réseau des droites ('/\) [ou (V)]> pour déterminer le centre de gravité delà fibre moyenne et le coefficient de Q, deux sur le réseau des droites (Ç) pour déterminer le coefficient de B et donnant par surcroît les lignes d'influence de A et de B et enfin un cinquième, construit

sur le réseau des droites ($) avec les forces fictives r, -=j , pour

avoir la ligne d'influence de Q. Bien entendu, il faut encore calculer à part le second terme, ou terme corrçq^if du coefficient deQ.

L'allure générale des lignes d'influence est facile à reconnaître à vue, d'après la forme des échelles intégrafes des éléments

Sans entrer dans [de longs développements à ce sujet, nous indi-

Fig. io6.

querons simplement que la ligne d'influence de A a une allure parabolique (Ji^^- io6, n® 1) ci-dessus. Celle de B est une courbe en S

{/iff' 106, 11** 2) a^^anl une zone positive et une zone négative. Sa tangente d'inflexion correspond au point sur Oy, pour lequel on a $ = o. Celle de Q a une forme en chapeau de gendarme, ses tangentes d'inflexion correspondant aux points situés sur Taxe Oxy où Ton a r, == o.

Autres lignes d'influence. — Courbe des intersections et courbes enveloppes des réactions d'appui. — Une fois en possession des lignes d'influence des réactions complémentaires d'appui, on pourra les utiliser pour obtenir les valeurs de A, B, Q correspondant à un système de charges quelconques et pour en déduire la courbe des pressions relatives à ce système de charges. • La réaction de l'appui de gauche Go a pour composante horizontale

Q et pour compo&ante verticale ^ 4- B. Son moment par rapporta Go

estMo = A4-Bj:o — Qyo- Le point où elle rencontre la verti-

ticale (Go) a pour ordgnnée ^»

Gomme nous l'avons expliqué précédemment, il sera avantageux de tracer les courbes des pressions pour un certain nombre de positions attribuées à une charge mobile unité. On parviendra ainsi à la détermination par points de toutes les lignes d'influence que l'on a intérêt à envisager, notamment celles des fatigues dans les fibres extrêmes des sections étudiées. Les courbes de pression sont naturellement toujours composées de deux portions de droites se coupant sur la verticale de la charge.

Pour résumer et conserveries résultats, et aussi pour faciliter les interpolations ultérieures, on pourra, comme dans le cas des arcs articulés, tracer à l'aide des résultats obtenus la courbe lieu des points où la verticale de la charge mobile est rencontrée par les droites constituant la courbe des pressions. C'est la courbe dite des intersections. On pourra aussi, dans le même ordre d'idées, tracer les courbes enveloppes des droites qui constituent les courbes de pressions, droites qui ne sont autres d'ailleurs que les lignes d'action des réactions totales d'appui. Ces courbes valables, l'une pour les réactions de gauche, l'autre pour les réactions de droite, s'appellent lignes enveloppes des réactions d'appui. Quand on a tracé ces trois courbes, à l'aide d'un certain nombre de courbes de pressions, elles fournissent facilement tous

rOUTRES COURBES OC ARCS. 3oi

les résultats intermédiaires désirables. Pour une position intermédiaire de la charge, on obtient la courbe des pressions, ou les lignes d'action des réactions totales des appuis, en prenant sur la verticale de la charge le point de la courbe des intersections et en . menant par ce point des tangentes aux deux courbes enveloppes. La valeur des réactions d'appui s'en déduit ensuite facilement au moyen d'un parallélogramme des forces.

Mais ces constructions font un peu double emploi avec celles des lignes d'influence de A, B et Q, qui a elles seules sont suffisantes.

Effet de la température. — Supposons, pour préciser, qu'il s'agisse d'une élévation de température provoquant dans le métal un allongement t par unité de longueur. Les équations de déformation n**' (2) et (3) devront être complétées par l'addition des termes T(yi — yo) et 'z{x^ — Xo) respectivement.

D'autre part, en appelant A, B, Q les composantes de la réaction d'appui, on doit faire

M=A-^BiF — Q^,

N = Q-T- -hB-f^, cLs as

et l'on parvient évidemment au système d'équations suivant sous la forme simplifiée :

La première équation fournit toujours A = o, ce qui signifie que la réaction d'appui correspondante passe toujours par le centre de gravité de la fibre moyenne de Carc^ pris comme origine des coordonnées.

Dans le cas d'un arc symétrique par rapport à la perpendiculaire élevée sur le milieu de sa corde, et plus généralement toutes les fois que la corde est parallèle à une direction principale de l'ellipse centrale d'inertie dé la fibre moyenne, on a d'autre

OHAPimB XII.

part jK| — ^^ = o, de sorte qu'on a B = o. Quand B n'est pas nul, il est très petit et négligeable la plupart du temps.

Il reste donc à déterminer la poussée Q, par une équation toute semblable de forme à celle rencontrée pour les arcs articulés. 1^ ligne d'action de la poussée est confondue avec Ojr, paratièie à la corde de l'arc passant par le centre de gravité de la fibre moyenne, au lieu d'être confondue avec cette corde comme dans le cas des arcs articulés.

Effet d'un rapprochement ou d'une dénivellation des appuia* -*

On opérera de même, à la seule condition de remplacer dans les seconds membres des équations ( 2) et (3 ) les termes en x, par les variations données de v^ — (^4 , ou de ££« - - i^i .

I® Cas particulier d^ujn arc emcastré a fibre moyenne circulaire, A' APPUIS DE niveau ET A SECTION CONSTANTE. — LcS CbIcuIs

à faire sont plus longs que ceux relatifs à Tare articulé aux naissances, car il y a trois inconnues A, B, Q à déterminer, mais Ils restent de même nature que ceux exécutés par Bresse.

Déterminons d'abord l'ordonnée c du centre de gravité de la fibre moyenne, rapportée à la corde de l'arc. Ce centre de gravité

Fig. 107.

est, bien entendu, sur l'axe de symétrie. On a

0 I dtr = I T^d(J = p^ 1 (cosa — cos^)dx = 2p*(siii(p — 9 oos«p),

POUTRES COURBES OU ARCS. 3o3

d'où

— I-cosçJ.

Quand © est petit, la valeur de c tend vers la limite c = x/. En effet en développant son expression par rapport à ©, on trouve c =:= p -^ , tandis que Ton a

f=i p sine lang - = i^%in^-^ =r p i-.

Si l'on veut déterminer le point E où Taxe Ox rencontre Tare, et qui est défini par Tangle ç' = OCE, on trouve la relation

/ / ^ Tsin© *1

c = p(C0»Ç — COSÇ) aa p I L — COS« |,

d'où Ton déduit

ces O =i= i- •

Pour «p très petit, on a approximativement cp' = -j=-. On a évi-

demment 71 = 0 (cosa — cos©').

a. Ca5 d^une charge isolée P agissant suivant la verticalr d'abscisse u= ma= o sin 9 :

Calcul de A. — Le coeflicient de A est fdv 1= 20©. Le second membre est

/ sin<p — sinO f , . • n *

a rfff = — p* *—. / (sin© -4- sina)«a 2Sin® J ^' ^

, sin© -i-sinO r^ , . ,

— p* . I (sinco — sina ) aa.

Il a pour valeur

— ^^[^ sinç + coso — ÔsinO — cosOJ.

On a donc

A = : — r© sin CD -+- ces© — t) sin6 — cosOl.

A s'annule pour A = ±1 © et prend des valeurs égales pour %

et — e.

Si Ton développe la parenthèse en fonctionde sin © et de sinB,

3o/| CHAPITRE XII.

et si Ton met en évidence le rapport m = -: — > on trouve facilement, pour les premiers termes,

. - (I — m*) . . (i — /II*) . , ii — m^) sin* 9 -h sin* 9 h sin» 9 — -h

on peut donc écrire

\ a(i — m*) sin® r . . (i-hm*) . , (iH-m*H-m*) 1

ou encore

- a(i — m«) A = -■ ao,

^0 étant uno fonction de tp et de m qui est égale à Tunité pour ^ z= o et qui est lentement variable avec ces deux quantités. Le

Tableau ci-dessous la définit en fonction de ~ = tang-î- et de m. On

voit que tant que - reste inférieur à o,4o, ce qui est le cas ordi-

naire.pour les arcs de ponts, on ne commettrait qu'une erreur insignifiante en remplaçant «o par l'unité.

Calcul de B. — Le coefficient de B est

/ J*€3f?r = p*[9 — sin^costp].

Le second membre de Téquation qui fournit B est

/* j »sino — sinO C r - • x • /

aP rf<T = — p* !— : / (sin9 + sina)sina €/a 2sin(p J^^ ^

, sin9 + 5inO r^ , . • • .

En effectuant le calcul et après réduction, on trouve

pS — ^ — [sin 8(9 4- sin9cos9) — sinçp(6 -h sin6cos0)].

On a donc facilement

a8incp(9 — 8109005^)*^ VT 4 T/ .V /j

POUTRES COURBES OU ARCS. 3o5

B s'annule pour 6 = dz y et pour 9 = o. 11 prend des valeurs égales et de signe contraire pour 6 et — 0.

sinô sin'cp — sincp sin'O sin(p sin'^« — sin(p sin^^O

ce qu\>n peut écrire, en mettant m( i — m^) en facteur,

— 8in*o — i — r I I— ^sin*<p(i-f- m*) -h. . .].

D'autre part, le dénominateur, développé par rapport à sino, a pour premiers termes

j8in*«p ( i-f-

(,^gsin«9)

de sorte que Ton peut mettre B sous la forme

bo étant une fonction de o et de m qui est égale à l'unité pour

f ci-dessous les définit en fonction de - et de m. On voit que pour

- <; o,4o, on commettrait une erreur peu considérable en remplaçant bo par l'unité.

Calcul de Q, — En appelant respectivement D et rf, les deux termes de la parenthèse coefficient de Q, et c le second membre de l'équation, on a

D = p'[<p(i ■+■ 2 coscp cosç') — sin^(cosç -+- 2 costp' j], é/= /•*p(& -4- sino cosçp),

C = p' I : h CCS 9 (ces 6 -f- 0 sinft — cos^ — cp sino) .

En faisant o' = cp, on retombe sur les formules correspondantes

relati\es aux arcs articulés.

On peut dévelop[>er la partie principale de la poussée, -> en

PlGEAVD 20

3o6 ^ CHAPITRE XII.

* smtp

sino sin*o 17.1

cp 6 36o