POUTRES G0URBB8 OU ARCS
N* 3. — Table \u des valburs^de q^, Qo e et k.
, Valeurs de q. pour
/ — .«^ , Valeurs
€. k. m = 0,0. m = 0,2. m = 0,4. m — 0,6. .tin = 0,8. de Qo-
o,Ao.... 10, 56 10,84 0,4680 0,4322 o,3325 0,1970 0,0620 i,oo3
1,00.... 5,28 6,72 0,4591 0,4349 o,3638 0,2524 o,ii5i 1,120
2** Cas particulier d'un arc encastré a fibre moyenwe circu-
laire, a appuis de niveau et a section réduite constante. dûils
les arcs encastrés la section, ou tout au moins le moment d'inertie, a presque toujours une plus grande [valeur aux naissances qu'à la clef. On se rapproche de la réalité, ainsi que Ta fait observer
Maurice Lévy, en faisant Thypothèse -^ = J = const. plutôt que
rhypothèse I = const. On peut supposer en même temps
S -7- = const. = --• dd r*
Dans ces conditions certaines des formules se simplifient, car on peut dans toutes les intégrales remplacer do- par d^.
En premier lieu, pour déterminer l'ordonnée c du centre de gravité de la fibre moyenne rapportée à la corde de l'arc, on a cette fois la condition
cl ii{ = / ïj rf; = p' / (cosa — coso)cosac da. = p*(çp — sinp coscp),
d'où
c = — -. — (cp — sino coscp) = - I -X cos© ).
2 sinç^ ^ *^ 2 \s1n9 '/
Si l'on veut déterminer le point E où l'horizontale du centre de gravité rencontre l'arc, -ou bien l'angle o' tel que
c = p(cos(p' — cosçp),
on trouve
d'où
p(C0S9 — €OS<p) = - ( -T^ cos© I,
^^ ^ ^^ 2\sin<p */
2 COS 9' = -T^ h cos
* 5inç
3lO CHAPITRE XII.
Pour tp très peut, on a encore approximativement c = ^f
Datis le système d'axes passant par le centre de gravité, on «
encore
Tfj = p(cosa — cosç').
a. Cas d^une charge isolée P = i agissant suivant la verticale d'abscisse u = ma = p sin6 :
Calcul de A. - - Le coefficient de A est j d^ = 2a.
Le second membre de Téquation donnant A est — / [xd? et Ton |)rendra [jl sons la forme suivante :
?x = (rt l Çj entr€ { = — a et Ç = u,
On trouve alors facilement
(a — 5) entre 5= Met$=-ha.
et par suite
C'est la même formule que précédemment à cela près que a^ devient constant et égal à Tunité.
Calcul de B. — Le coefficient de B est
Le second membre de Féquation donnant B est
'la J
On en déduit
ia» 4
C'est encore le mém<; résultat que précédemment, la fonction 6, devenant constante et égale à Tunilé.
POUTRES C0URBB8 OU ARCS. 3ll
Calcul de Q. — En appelant encore D et «i respectivement les deux termes de la parenthèse coefficient de Q, et C le second membre de Téquation correspondante, on trouve
-j = I (cosa — cos<p')« cosa doL
l sin<o\ — 2Sin«i I ^ — I —acoscp (y -+- sin<p cosç) -+- 2cos*«p'sino
^ =ycos»arfa = asinon— ^^)- On trouve ensuite ( * )
G sintp — sinO C . .
p» ^ — Tlm^ — j (""?^-s»n«)(cos«-coso')cosarfa
sinon- sinO C^ , .
"" o ai» ^ — / (»»"? — 9«n«) (cosa — cos©') cosa rfa.
(') Voici, à titre d'exemple pour les calculs de ce geare, comment on peu| opérer.
Désignons par U et V respectivement les intégrales suivantes :
U=ysin»(cosflt-cos?')cosarfx= sin? ^* + ÎÎ^Li^ - cos?' sinaV V= AinaCcosa — co8(|>)cosarfa = cos<p'?25!f - £2!l?.
La fonction U est impaire et Ton a
La fonction V est paire et Ton a
V(-ip) = V( Cela posé on a
C sino — sin6,,,,-^ ,,, . ,. ^
7«= àsiny HJ('') + t-'(9) + V(e)-V(y)]
sin® -(- sinO
H ^ [U(«p> — u(e) — v(o)-hV(e)i
2Sin9 «-^< ^/ \T/' \/l
sin CD
On trouve, après quelques réductions faciles,
C sin©.
- = L.(ç Hsin9Cosçp)
sin6^ . ^ ^, cos'® — cos>8 ,sin*© — sin*8
(6 H- sino cosO)H '—-= — coso ^ •
En mettant, comme précédemment, l'expression de Q sous la forme
on constaterait, en développant les expressions précédentes en séries ordonnées par rapport à sin © et sin 6, que pour la limite © = o on a
e = -T- = II ,25.
La Table ci-après donne une série de valeurs de ces fonctions. Pour © = - on trouve directement e = i3, 382.
6. Cas d^une charge p uniformément répartie sur la corde de rare. — Dans ce cas on a B = o.
Calcul de A. — Le second membre de l'équation donnant A est
On trouve donc
Calcul de Q, — On trouve
C = ^-^ I (sin*^ — sin* a) (cosa — coso') cosa doL
sin'9(o -h sinç cos^) — -y -\ '— — -cosç sin^o
En tenant compte de la \aleur de cos ce' on peut simplifier un
POUTRES COURBES OU ARCS. .Il 3
jxui cette expression et lui donner la forme
«p^rsin'o, . sinaocosao ©1 ^|— ^(?-4-sinocos<p)H 5L ^ — IJ-
En conséquence, l'expression de la poussée pourra se mettre sous la forme
D d ^ if r
e étant la fonction de » déjà calculée, et Qo étant une nouvelle
f fonction de ç, ou de -• On peut s'assurer facilement que pour la
limite © = o on a Qo= i et que pour cp = - on a Qo = i,3i43. La Table ci-après en donne quelques valeurs.
c. Cas d'une élévation de température produisant un allongement T par unité de longueur, — On a
A = B = o et
La fonction -=:- a la même limite pour © = o que ~-=- = -:-.
k On peut lui attribuer une expression de la forme -^y de sorte que
Ton ait
Q = EIi:-ï~^— -.
On reconnaît d'ailleurs que Ton a
/ sin*©\
Les valeurs de k et de e sont données par le Tableau ci après :
Tablbau pour le calcul des poussées des arcs encastrés, circulaires
et à section réduite constante.
râleurs
de
Valeurs de q^ pour
riuns de
(».oo
I 1 , iJ
