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POUTRES COURBES OU ARCS. Si 5
3" Cas PARTICULIER d'un .arc encastré a fibre moyenne PARA- BOLIQUE ET A SECTION RÉDUITE CONSTANTE. -^ LeS dcuX COnStailteS
A et B, données par des formules où n'entre pas l'ordonnée y de la fibre moyenne, ont les valeurs simples écrites plus haut pour les arcs circulaires à section réduite constante.
En ce qui concerne la poussée, l'équation de la fibre moyenne rapportée à sa corde et à son arc de symétrie étant
on trouve facilement que l'ordonnée c du centre de gravité est
de sorte que l'équation rapportée à ce centre de gravité est On trouve alors
dis —ro = -sarc tane -^^ f ' f «
On trouve ensuite que dans le cas d'une charge isolée P = i , agissant suivant la verticale d'abscisse u = ma, le second membre C de l'équation relative à la poussée est
La valeur principale de la poussée est
5 = 7^^=7 Sï^'-'^)-
Autrement dit qo ne dépend pas du surbaissement, et a la valeur limite trouvée pour les arcs circulaires.
Dans le cas d'une charge uniformément répartie, la partie principale de la poussée est^-^.
3l6 CHAPITRE XIU
Dans le cas d'un allongement t dû à. la température, on a
Q = EIt -Ti 7 avec k = -— >
quel que soit le surbaissement.
Arcs semi-encastrés. — On appelle ainsi des arcs qui, au moment de leur décintrement, sont posés sur des cales ayant des dimensions très faibles en projection sur le plan moyen et assimilables à des rotules ou à des articulations. Ensuite, soit avant, soit après la construction des tympans et du reste de la superstructure, on complète le calage de manière à obtenir des arcs encastrés. Il est bien évident que dans ce cas toutes les charges qui sont appelées à intervenir avant que le calage soit complet produisent les mêmes effets que si l'on avait affaire à un arc articulé aux naissances. On aura donc à faire des déterminations distinctes pour ces charges-là et pour les charges agissant ultérieurement. Pour les premières on emploiera les formules et méthodes des arcs articulés ; pour les autres seulement on emploiera les formules et méthodes des arcs encastrés.
Cette façon d'opérer procure certains avantages, que M. Résal notamment à mis en évidence. On peut ainsi réduire très souvent, d'une manière appréciable, les fatigues maxima dans les sections les plus fatiguées et économiser ainsi une certaine quantité de matière.
On va même quelquefois plus loin, et au lieu de placef les calages primitifs, ou articulations provisoires, au centre de gravilé (les sections extrêmes de l'arc, on recherche la position optima à donner à ces calages, pour obtenir le maximum d'économie. Les constructeurs des grandes voûtes en maçonnerie ou en béton de ciment arrivent ainsi à modifier dans un sens favorable leurs conditions de résistance, en obligeant la courbe des pressions, relative à une fraction plus ou moins importante de la charge totale, à passer aux naissances en des points déterminés. Il faut alors, dans ces cas, modifier légèrement le calcul de la poussée.
Si la ligne des calages, ou articulations provisoires, se trouve par exemple à une distance d en dessous de la ligne des centres de gravité des sections extrêmes, il est bien évident que l'expression
POUIIIES COUIIBES OU ARCS.
générale du moment fléchissant dans l'arc articulé deviendra
au lieu de
En conséquence, dans la formule fournissant la poussée, le coefficient de Q devra s'écrire
VA
J Es\d^)
Nous nous bornons à cette indication.
Remarque sur le cas particulier d'un arc soumis à une force unique parallèle à la corde. — Une force appliquée à l'arc parallèlement à sa corde peut d'une infinité de manières être remplacée par deux forces de directions arbitraires faisait avec la corde un angle fini, aussi voisin que l'on veut d'un angle droit. Par ce procédé indirect, on rentre donc dans le cas habituel.
Mais on peut trouver avantage à ne pas dédoubler ainsi le problème.
Pour obtenir une solution directe, il suffit d'envisager vn système
Fig. io8.
Roi
d'appuis statiques un peu différent de celui que nous avons constamment envisagé.
Supposons la force P appliquée au point A de l'arc, de coordonnées (ap). Les réactions provisoires des appuis G^ et G^ ne peuvent plus satisfaire aux conditions d'être toutes les deux parallèles à P et de passer par (}„ et G| respectivement. Mais on obtient un autre système simple d'appuis statiques, en supposant que Go ne peut développer qu'une réaction Rq perpendiculaire à la corde, G| développant une réaction oblique, dont la composante parallèle à la corde est P.
Il est facile de calculer Rq. En prenant les moments par rapport
3l8 CHAPITRE XII. — POUTRES COURBES OU ARCS.
à G, on obtient
Ko-— — •
On a d'ailleurs pour [x les expressions suivantes :
Pour o<Ç<a, |i = Ro5,
Pour a<5</, jx=R,ç P(^-p).
On en déduira comme toujours
de sorte que toutes les intégrales contenant M conserveront la même forme, |x ayant simplement une valeur différente.
Pour un arc articulé on aurait encore A = B = o.
Quant aux intégrales dépendant de N, on en calculera les valeurs approchées en supposant qoe de Go à A on a, approximativement, ]N = C, et que deA àG, onaN = C+P.
1^ dr^ ne cessera pas d'être en général négligeable,
du moins pour.les arcs suffisamment surbaissés.
1^ dl elle comprendra, outre le terme habi-
■r^y le terme complémentaire P / t~, qui s'ajoutera aux
termes dépendant de a.
Nous nous bornons à ces indications, le problème dont il s'agit n'étant pas usuel et ne se présentant guère qu'à titre accessoire (arcs principaux supportant la retombée d'arcs secondaires).
ARCS DIVERS. ASSEMRLAGES DIVERS DE POUTRES ET D'ARCS
