I. — Arcs a triple articulation
Les arcs à triple articulation sont en réalité composés de deux poutres courbes Go G' et G|G' articulées Tune en G©, l'autre en G<, et s'appuyant Fune contre l'autre au point G', où elles sont
Fig. 109.
réunies par une troisième articulation permettant k l'une d'elles de prendre un déplacement angulaire fini par rapport à l'autre. Cette articulation équivaut à l'introduction d'une section dont le moment d'inertie serait nul.
Tout ce qui a été dit sur la force extérieure et sur ses composantes à propos des poutres prismatiques est par suite applicable à un pareil système. Seulement, quand il s'agira de la déformation, il faudra prendre en compte le déplacement angulaire relatif des deux parties de la poutre.
Sous cette seule réserve la théorie générale des arcs demeure applicable, et elle devient même particulièrement simple, les réactions d'appui étant toujours déterminables par la statique et étant, dans le cas d'une charge unique, des fonctions linéaires de f abscisse de la charge. Les lignes d'influence des moments fléchissants, effort normal, effort tranchant, ainsi que celles de la
fatigue dans les diflereutes sections, sont uniquement composées de lignes droites.
Nous supposons que les articulations extrêmes G© et Gi ne sont pas de niveau et nous prenons pour axes des x la corde GqGi, et pour axe des^ la perpendiculaire ij^y passant par Gq.
Les charges étant verticales, la poutre reposant sur appuis simples sera néanmoins rapportée à Thorizontale GoX et à la verticale (Go), les réactions d'appui étant dans cette hypothèse dirigées suivant la verticale.
Réactions complémentaires d'appui. Poussée. — Supposons d'abord un système de charges quelconque, et soit [x le moment fléchissant que ce système de charge produirait dans la poutre posée sur appuis simples.
Les réactions complémentaires d'appui sont deux forces égales et directement opposées Q, dont la ligne d'action doit passer par les deux points d'articulation Gq et G|, puisque en ces points, le moment fléchissant total doit être nul, et que d'autre part le moment fléchissant provisoire [jl y est nul déjà.
Dans ces conditions, le moment fléchissant au point G a pour expression générale
Au point G', où nous supposons l'articulation centrale, nous devons avoir M =: o, car les deux sections situées de part et d'autre de l'articulation ne sont pas solidaires. Ou, si l'on veut, on peut dire encore que la courbe des pressions doit passer par l'articulation G'. Si Ton désigne par y' l'ordonnée de G', et par (x' la valeur particulière prise en ce point par la fonction jjl, on doit avoir
Cette condition fournit immédiatement pour la réaction Q la valeur
Ce résultat esl valabli;, quel que soit le système de charges, et il est remarquable par sa simplicité.
Ligne d'influence de la poussée. — Supposons maintenant qu'il
ARCS DIVERS. ASSGMBU^GES DIVEftS DE POUTRES ET d'aRCS. 3^1
s'agisse d'uac charge isolée P, agissant suivant' la verticale située à la distance a de (Go)- Le moment jx', au point G', dont la distance à (Go) est représentée par X', a pour valeur
SI
et
SI
Il en résulte que la ligne d'influence de Q, qui est une simple réduction de celle de |jl', est composée de deux portions de ligne droite. Si Ton prend une ligne de référence quelconque GoGi
V'i'^. MO.
comprise entre les verticales (Go) et (G|), Tune des droites passe en Go, l'autre en G|, et elles se coupent sur la verticale de (i', au point Q qui aurait pour ordonnée
pX'(/-X') I
Ligne d'influence du moment fléchissant au point G. — On
M = ;ji-Q7=fj^-lx'
La ligne d'influence de jjl est donc une combinaison linéaire de
la ligne d'influence de [jl, laquelle se compose de deux droites se coupant au point M sur la verticale de G, et de la ligne d'influence de UL — , » qui, comme celle de Q, se compose de deux droites
analogues se coupant en M' sur la verticale de G'.
C'est, si l'on veut, la ligne brisée GoMGi rapportée à la ligne de référence également brisée (joM'(i,. Rapportée à une horizontale
PiGKAUD 2 1
isa
GHA^ITMB XIII.
telle que A^Af, son allure serait celle de la ligne brisée à trois côtés Aom i^iAf. Pour la définir, il suffit de connaître les deux
Kig. III.
Co
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ordonnées Km et A m qu'on peut obtenir directement en plaçant la charge d'abord en G', puis en (i.
Cette ligne d'iniluenre a une zone négative et une zone positive.
Ligne d'influence de l'eifort normal et de Peifort tranchant. - - Pour une section (J, la force extérieure résulte de la composition de la poussée Q et de la force extérieure qui correspond à Thypollièse (les appuis simples. Cette dernière est du reste verticale, et
se confond avec-r^* Sa ligne d'influence est composée de deux
droites parallèles passant par les points d'appui et présente une discontinuité égale à l'uni té au droit de la section (i.
D'autre pari, Q est une force de direction fixe dont l'intensité a pour ligne d'influence deux droites passant [)ar les ap|)uis et se coupant sur la verticale de l'articulation centrale. Les lignes d'influence de ses composantes horizontal^ et verticale jouissent des mêmes propriétés.
Il en résulte que la c<miposante horizontale de la force extérieure a une ligne d'influence de même forme que celle de Q et que sa composante verticale a une ligne (rinfluence composée uniquement de lignes droites. Elle possède nécessairement un point de brisure sur la verticale de l'articulation centrale et une discontinuiu> sur la verticale de la section (i.
ARCS DIVERS. ASSEMBLAGES DIVERS DE POUTRES ET D ARCS
3'Jl3
II en résulte encore que les lignes d'influence de refibrt normal et de l'efTort tranchant sont composées uniquement de lignes
Fig. 112.
rtC
^Ns^
droites et que, comme la ligne précédente, elles partent de Gq, aboutissent en G|, présentent un point de brisure sur la verticale de Tarliculation centrale et une discontinuité sur la verticale de la section (i.
Pour les définir, il suffit de connaître l'ordonnée G' m' et Tune des ordonnées GN ou G m.
Ligne d'influence de la fatigue dans une section. — En vertu de
la formule
