TT

b. Supposons ensuite une charge uniformément répartie. 1-e second membre devient

I pl\f M lit ' et Ton a pour la [)oussée

pi* I

ABCS DIVERS. ASSEMBLAGES DIVERS DE POUTRES ET d'ARCS. 3^7

La poussée est notablement moindre que dans un arc circulaire (ou parabolique ) de même portée et de même flèche. Le coefticienl de réduction est sensiblement

d'autant plus petit que K = ~ est plus grand •

Si les béquilles ont une .faible rigidité (p petit), ou sont très hautes ("^ étant grand ), la poussée pourra devenir 1res faible.

Si elles sont courtes et rigides, K devenant très petit, la poussée ne peut dépasser les ^ de celle qui serait produite dans un arc circulaire (ou parabolique).

c. Examinons enfin reflet produit dans le système par un Couple de moment M© appliqué au point Go et par un couple de moment M| appliqué en G|, dans Thypothèse où les points Go et G| sont astreints à conserver leur niveau et leur écartement.

On posera

tout le long de la fibre moyenne, la quantité [jl étant nulle puisqu'il \\\ a pas de charges. Il s^igit de déterminer les inconnues B et Q. La première se déterminera par la condition slatiqiie, obtenue en appliquant la formule au point G| où j^ = o,

M, = Mo-4-B/, d'où

M| - Mo

de sorte que M peut sV*crire

M=Mo^4-M,y-Q^.

Tout le long de la première béquille, on aura M = M» — Q^; tout le long de la seconde, on aura M = M| — Q^. Enfin, tout le long de la poutre horizontale, on aura la formule corapléle, mais avec y =^. En introduisant cette valeur dans l'équation générale

M El

Hi8 CHAPITRK XIII.

applicable aux arcs articulés quand on néglige refforl normal, on aura une équation déterminant la poussée cherchée.

Cela permettra ensuite d'obtenir la valeur du moment fléchissant en tout point du système.

in. — Poutres droites ou courbes rkumks a leurs abouts

t*AR DKS ASSEMBLAGES RIGIDES.

Soient les deux poutres GoCJGi et GoG'Gi, de même portée. Nous les supposons réunies en G© cl (j| par des assemblages

Fig. ii6.

rigides,, tels, que leurs .fibres nioyemies en Go et-Gc conservent leurs angles mutuels, quelles que soient les déformations subies par les deux poutres.

Bien entendu, les déplacements relatifs de G^ et G| dans les deux poutres sont les mêmes. ;.

Supposons que la poutre G soit seule surchargée, et soit jjl le moment fléchi.ssant qui s'y produirait si elle reposait sur appuis statiques. En un point quelconque G, on aura pour le moment fléchissant réel M une expression de la forme

Au point correspondant G', sur la verticale de G on aura d<»

même pour le moment fléchissant réel M' une expression de la

forme

M'=A'4-B'j- — Qy.

Or, si Ton suppose que pour l'ensemble du système les a|»pui.s

Go et G| sont des appuis simples, les réactions complémentaires

pour chacune des poutres sont égales et directement opposé<*s aux

réactions complémentaires afl^érentes à l'autre poutre. Cela donne

les conditions

A' = -A, B' = — B, Q' = -Q, et, par suite,

-M'= A-+- Bx-qy.

ARCS DIVERS. ASSEMBLAGES DIVERS DE POUTRES ET d'ARCS. 3^9

D'autre part, si Ton suppose négligeables les lermes dépendant de Teffort normal N, les équations générales de déformation donnent

M, — Uo -+- CD,^, — wo^o = / kT ^^ = / TT" •

On en déduit trois équations de condition permettant de déterminer les inconnues A, B et Q, en remplaçant dans les seconds et troisièmes membres de ces égalités M et M' par leurs valeurs respectives.

La première de ces équations, mise sous forme explicite, est

ci les deux autres équations sont analogues. Elles sont de même forme que celles rencontrées dans la théorie des arcs encastrés. Bien entendu, si I et V sont constants, et si les deux poutres ont des fibres moyennes symétriques par rapport à la verticale de leurs milieux, on aura diverses simplifications. Il suffît notamment de prendre l'axe de symétrie comme axe des y pour que les intégrales suivantes soient nulles :

J E\ "J El' ""J El -J

Si, en oulre, on s'arrange pour que

J -ËrV-ËT^"'

ce qui revient à prendre pour origine des coordonnées le centre de gravité de tout le système^ les inconnues seront séparées et seront données chacune par une équation distincte.

Celte étude trouve une application dans ce que Ton appelle les arcs à tirants^ et dans Texamen des conditions de résistance des pièces de pont, lorscjue celles-ci font partie intégrante d'un

cadre rigide constilué par des montants verticaux et une entretoise de conlrevenlemeiit.

IV. — Anes ET POUxnEs solidarisks par les montants viîrticaux.

Nous supposons celle fois deux poutres de même portée, dont Tune GoG(j| reçoit les charges, et est reliée avec la seconde poutre GjjG'G'i au moyen de montants verticaux. Ceux-ci sont

Fig. 117.

supposés articulés à leurs deux bouts et incapables d'introduire autre chose cpie des réactions verticales. Ils sont supposés indéformables, et enfin ils sont supposés suffisamment rapprochés pour que Ton puisse admettre que deux points G et G', se correspondant sur la même verticale, ont mêmes déplacements verticaux.

Appelons : M le moment fléchissant réel au point G de la première poutre; jjl le momenl fléchissant qui s'y produirait sous l'action des surcharges dans l'hypothèse d'appuis statiques; v le moment fléchissant qui s'y produirait, dans la même hypothèse d'ap|)uis statiques, sous Tacticm des réactions verticales produites par les uiontants G, G'.

On aura au point G

Pour la deuxième poutre, les réactions verticales dues aux montants sont égales et de signe (contraire à celles qui s'exercent sur la première poutre. On aura donc pour M', moment fléchissant réel au point G', l'expression

M' = - V -h A'^ B'.r- Qy.

ARCS DIVERS. ASSEMBLAGES DIVERS DB POUTRES ET D'aRCS. 33 1

On en décliiil

M -f- M' = ji -4- ( A -h A' ) ^ ( R -+- ir ) :r - Q j. — Qy .

D'autre part, puisque les déplacenienls verticaux v en deux points correspondants G, G' sont représentés par deux fonctions identiques, il doit en être de même de leurs dérivées secondes. Or, pour la première poutre, on a

c/x^ ~ KJ '

J étant le moment d'inertie réduit. Pour la seconde, on a de même

fl*v W

On en déduit, pour tout ^oupe de points correspondants,

de sorte que Ton peut exprimer les moments M et M' en fonction de jjL et de quatre constantes seulement (A + A), (B-|-B'), Q etQ'.

Ceci posé, on écrira les équations jçénérales de déformation

applicables aux deux poutres entières; on y remplacera d'abord -j-

et -p par leur expressum en ionclion de . , p-' l uis, dans les

équations de conditions distinctes qui en résulteront, et qui seront au nombre de quatre seulement dans le cas le plus général, on remplacera M -f- M' par son expression générale en fonction de jjl, de A -h A', B -\- B', Q et Q', et l'on parviendra ainsi à la détermination de toutes les inconnues figurant dans les expressions de M, M' et M + M'.

11 est surtout intéressant d'examiner les cas particuliers suivants :

I® Arc articulé aux naissances associé à un longeron recîiligne ^ posé sur appuis simples, — Dans ce cas, on a

On a aussi Q'= o, de sorte qu'il ne reste comme inconnue (jue la poussée Q de l'arc.

Les appuis étant supposés invariables, la froisième équation de déformation appliquée à Tare entier donne

or, on a

et d'autre part

de sorte que l'équation devient, en prenant N ^= Q, à titre de valeur approeliée,

./ i:(j + r) V E(j-hi') V KS "■ -,

Elle est identique à celle que Ton obtiendrait pour calculer la poussée d^ un arc fictif articulé aux naissances de même fibre moyenne que Varc proposé et ayant en char/ue point un moment d'inertie réduit J + l', et enfin soumis aux charges directement appliqués à V ouvrage.

2** Arc encastré aux naissances associé à un longeron rerfiligne encastré. — On a cette fois les irois équations distinctes

j m ^^=y ET ^^==7 ^{JTT] ''' = '*^

D^aulre part, on a cette fois

M 4- M' = ^ H- ( A -^ A' ) -r- (B -h ir )x - iiy.

11 <îst évident qu'en substituant dans les trois é(|uahous précédentes cette valeur à M + M', on obtiendra pour déterminer (A-f-A) (B-^-B') et Q identiquement les mêmes équations qui s'appliqueraient à la détermination des trois constantes d*ùn arc fictifs encastré aux naissances, ayant même fibre moyenne que Varc proposé et ayant en chaque point un moment dUnertie réduit i-\-\\ et enfin soumis aux charges directement appliquées à r ouvrage.

ARCS DIVERS. ASSEMBLAGES DIVERS DE POUTRES ET D ARCS

Les trois quantités (A + A'), (B + B') et Q étant déterminées, le problème est résolu en vertu de ce qui a été dit plus haut.