Flexion dbs pikcks a foete coDRBUft

Quand nous avons donné la définition des pièces j)rismatiques^ nous avons fait celle reslriclion (jue le rayon de courbure de l'axe longitudinal devait être grand comparativement aux dimensions transversales de la pièce, mais nous ne l'avons alors justifiée que par cette considération que les plans de deux sections normales successives devaient se couper suivant une droite extérieure à la poutre, afin qu'on puisse considérer la poutre entière comme formée de la réunion de tous l(*s prismes élémentaires, el cela impliquait seulement que le rayon de courhure fût plus grand que la plus grande dimension de la pièce.

En étudiant la déformation d'un prisme élémentaire, nous avons été amené, pour établir ou pour justifier les formules simples usuelles.

ou

-9 =ÊÎ^^

o' ~ Kl'

à supposer plus explicitement que le rayon de courbure était relativement grand.

A vrai dire, cela n'a aucunement influé sur riiypothèse d'après laquelle s'est édifiée toute la théorie des efTorts dus à la flexion, et qui consiste à supposer que les actions normales s'exerçant dans uiie section transversale s^>nt proportionnelles en chaque point à la dislance de ce jK)int à un certain axe neutre. Mais cette hypothèse elle-même, comme d'ailleurs toute autre hypothèse de même nature, part de ce principe que la loi de répartition des efll'orts normaux ne dépend pas de la courbure de la pièce au voisinage de la section considérée et demeure la même que si la pièce y était

localemenl remplacée par un élément droit. Ce principe peut être exact quand la courbure est faible et même quand la courbun^ varie dans de largues limites, mais il nV a aucune raison de le considérer comme un principe nécessaire. 11 est assez vraisemblable, au contraire, que la courbure de la pièce joue un rôle plus ou moins important et que, pour des courbures très fortes, la loi de répartition linéaire, comme tout autre d'ailleurs qui ne tiendrait pas compte de la courbure, peut cesser d'être suffisante.

Il est difficile! de s'en remettre à l'expérience du soin de décider à partir de quel moment une hypothèse quelconque cesse d'êtiv exacte. Il est impossible, en eflet, de saisir expérimentalement, avec une précision suffisante, la loi de répartition des efforts moléculaires dans l'intérieur du solide. On en est réduit à l'étude de conséquences plus ou moins indirectes, sur l'interprétation desquelles il faut souvent faire des réserves.

Ainsi, quand on s'est adressé à des expériences de rupture de pièces à forte courbure, telles que des ruptures de crochets d'attelage, on n'a pas toujours trouvé des résultats expérimentaux concordant avec certaines déductions tirées des formules de la Résistance des Matériaux. Mais ces discordances ne prouvent rien, attendu qu'à la base de la Résistance des Matériaux, comme à la base de la théorie de l'Elasticité elle-même, on suppose a /^Wo/'e que l'on ne s'occupe que de phénomènes élastiques. Une fois la limite d'élasticité dépassée, et à plus forte raison lorsque l'on atteint la limite de rupture du métal, on ne peut plus tirer valablement aucune déduction de formules qui toutes supposent l'élasticité parfaite de la matière.

Toutefois certains faits d'expérience, assez mal expliqués encore, s'accommodent mal de l'hypothèse de la répartition linéaire des efforts dans une section transversale.

On sait que, quand une pièce de métal présente un coude brusque, elle se brise sous des efforts qui parfois sont très faibles et qui, d'après les formules ordinaires, ne devraient amener qu'une fatigue locale inférieure à la limite d'élasticité. Ce phénomène est surtout frappant quand la pièce présente un angle rentrant à arêtes vives. Si, pour une cause quelconque, une fissure imperceptible s'est produite le long de cette arèle vive, elle se propage dans toute la pièce sous l'inlluencc d'efforts tout à fait minimes. On est

donc conduit pratiquement à prohiber les angles rentrants à arêtes vives, et même les coudes brusques. Quand une pit»ce doit nécessairement présenter un coude, on raccorde les faces en regard par un congé plus ou moins important.

Au point de vue théorique, il çst assez curieux ^de constater que l'explication ! de ces faits peut être trouvée dans une application rigoureuse et mathématique . 'de V hypothèse de Bernoulli cr après laquelle les sections transversales doivent demeurer planes.

Il n'est pas inutile de s'arrêter un peu, à cette occasion, sur cette hypothèse, qui est souvent prise comme base de la Résistance des Matériaux, et sur sa véritable signification. -

Prise à la lettre, elle est évidemment inexacte, au moins dans le cas général de la flexion dite composée^ c'est-à-dire lorsque le moment fléchissant n'est pas constant et qu'il y a par suite un

eflort tranchant T = —^ . Les sections transversales se déforment

as

par suite des glissements relatifs des diflerentes fibres d'un même prisme élémentaire. On a d'ailleurs pu observer expérimentalement des déformations! du contour Ides sections intermédiaires [ainsi que des déformations dans l'étendue des sections extrêmes de barreaux prismatiques fléchis. Quand nous étudierons les phénomènes de torsion, nous verrons également que les sections transversales doivent subir des déformations.

Mais cela Ine fait nullement obstacle à ce que l'on tire parti ,de r hypothèse Ue Bernoulli^ en ce qui concerne les effets propres, dus' à la flexion, considérée comme si elle élait seule, et en faisant abstraction de ceux qui proviennent de l'efl'ort tranchant et éventuellement de la torsion. Il y a indépendance de ces différentseffets, si l'on admet la loi de Ilooke généralisée, et il serait bien difficile de ne pas l'admettre.

A un autre point de vue, on peut observer que les déformations qui ont été constatées pour des sections primitivement planes denieurenl toujours petites, et assimilables à des infiniment petits j)ar rapport aux dimensions de la section transversale, et cela quelle que soit la longueur des barreaux observés. Il est légitime d'en conclure que les variations de ces déformations sur une longueur ds^ assimilable à un infiniment petit du premier ordre, sont

PlOEAUD 3a

des quantités innniment pelhes du second ordre, c'est-à-dire peuvent être considérées comme négligeables par rapport à ds et par rapport aux dimensions transversales de la section. Dès lors, si l'on ne s'occupe que des déformations relatives de deux sections intiniment voisines, c'est-à-dire si l'on su|)pose ramenés Hans un pian 'les dillerents points de Tune d'elles,! les points de l'autre seront également ramenés dans un plan, en négligeant seulement des infiniment petits du second ordre. Telle paraît être la signification qu'il faut attribuer au principe de Bernoulii, sans s'attacher [aux termes trop absolus dans lesquels on Ténonce.

Lorsque la courbure de la pièce est faible, nous avons vu au Chapitre \I que Thypothèse de la répartition linéaire des tensions dans la section conduit à admettre (tant pour rell'ort normal que •pour le moment fléchissant) que le déplacement relatif de deux sections infiniment voisines peut être assimilé à un mouvement d'ensemble résultant de deux rotations, Tune autour du centre de courbure, l'autre autour du centre de gravité. Dans ce cas, les deux hypothèses se trouvent équivalentes.

Mais nous ne sommes parvenus à ce résultat qu'à condition de-

négliger le facteur '- ( que nous avons supposé voisin de l'unité,

parce que p était supposé grand par rapport à r. Pour trouver des résultats conforme^ à l'hypothèse de Bernoulii lorsque î- s'écarte

de l'unité, il aurait fallu, multiplier par ^ la valeur des efl'orts. Au lieu d'une loi linéaire de la^forme

4i étant la dislance de Taxe neutre au centre de gravité, il' eut fidlu supposer

Ce résultat peut du reste s'établir directement comme conséquence de l'hypothèse de Bernoulii. Considérons en effet le prisme élémentaire ABA'B' projeté sur le. plan moyen. Soit OCi = p le rayon de courbure, et soit A^B', la nouvelle position relative prise par AlV après déformation, de sorte que la fibre EE' à la distance e de la fibre moyenne ne comporte aucun allongement ni raccourcissement.

Le raccourcissement de la iihre M!V^' à la distance r de la libre moyenne sera

et son raccourcissement proportionnel sera

MM' ~~ (p'^v)o ~" ^p-h. (^'

en désijçnant par K un coefficienl convenable. 11 en sera de même

Fig. 119.

de la tension élémentaire n qu'on lui suppose toujours proportionnelle.

La forme ainsi attribuée a priori à n, savoir

montre que Ton aurait /i =• qo si Ton pouvait avoir (^ == — p. Cela pourra arriver précisément pour une pièce présentant un ai^gle rentrant, le point O de la fifçure venant alors se confondre avec le point A. En ce point, n sera inlini, quel que soit d'ailleurs le coefficient K.

On pourrait recommencer la théorie de la flexion en partant de cette nouvelle expression de w. Les deux constantes K et (?, ou bien K et Ke, se détermineraient toujours par les deux conditions

N = 2 n dS,

M = ZnvdS.

Si Ton pose

/= f-l—dS, ir= f-l—çdS, r= f

v^dS,

ces deux conditions s'écriront :

S'A:e-+-H'A-= N, ll'ke-h I'Â- = M.

Tout se passera comme si aux éléments dS de la surface on

substituait des éléments fictifs dS' = dS X — - — • On a évidcm-

ment

On retrouverait des formules de la forme habituelle, à condition de considérer, à la place de la libre moyenne, une fibre movenne fictive lieu des centres de gravité des éléments fictifs dS\

On peut d'ailleurs trouver pour Ke une expression qui ne fait intervenir que les éléments réels de la section. En effet, si Ton prend Téquation des moments, non plus par rapport au centre de gravité de la section, mais par rapport au point qui correspond au centre de courbure, on obtient

ou, en développant,

M-h Np = y:kp(e -hv)dS = ^«pS,

d'où

ke = -7— !-

Dans le cas particulier où IVlTorl normal serait nul, celte formule se réduit à

M Ae = — •

Dans ce même cas, la promit r.» équation de condition écrite plus

liant se rédiill de son côté à

S'e-+-H'=o, d'où

e = — -^ avec A- =

S' pStf

Pour préciser, supposons que la section se réduise à un rectangle de largeur b et de hauteur h et calculons S' et H'. On a <iS = bdv

et les limites d'intégration sont r = zb — •

On en déduit

Prenons un exemple numérique et supposons que p ait la valeur

assez faible p = 3 A. Le calcul donne e= 0,029 h environ. On en

déduit ,

Au point extrême de la section situé du côté convexe, on a