II. -< POVTRBS DB HAUTEUR RAPIDRUBIïT VARIABUf

La définition que nous avons donnée des poutres prismatiques supposait que la section transversale de la poutre demeurait constante en se déplaçant normalement à Taxe longitudinal, ou fibre moyenne.

11 arrive bien souvent que la section ne demeure pas constant e, mais varie progressivement d'un bout à Tautre. Si ces variations sont lentes et au total peu- considérables, le mieux que l'on ait à faire est d'appliquer les résultats relatifs aux poutres de section constante sans se dissimuler qu'il s'agit là d'une approximation. Nous avons toujours opéré ainsi en parlant de poutres à section variable. Les efforts intérieurs ont été supposés les mêmes que si la poutre avait eu au droit de la sectioi^ transversale considérée une section S et un moment d'inertie I constants.

Cett(» approximation est-elle suffisante lorsque la section est très rapidement variable? Il est permis d'en douter et conforme 51 la prudence de recliercher un moyen d'effectuer, le cas échéant, une correction conduisant à des efforts intérieurs majorés.

Le problème serait assez complexe et probablement même insoluble si Ton voulait le traiter avec rigueur et dans toute sa généra-

lité. Mais on peut trouver quelques indications assez rationnelles dans certains cas simples.

Bornons-nous au cas d'une poutre dont Taxe longitudinal oG serait rectiligne et où sa section transversable, d'ailleurs symétrique par rapport à un plan moyen, serait telle que chaque fibre élémenlaire y découpe un rectangle rfS de largeur invariable et de hauteur proportionnelle à la distance o G, Chaque fibre a ainsi son axe incliné d'un certain angle i par rapport à Taxe longitudinal de la poutre.

Considérons un prisme élémentaire de longueur GG' = ds et compris entre les deux sections transversales AB et A'B^ Puis envisageons spécialement la fibre élémentaire dont l'axe serait

Fig. lao.

projeté en MM' et qui découperait sur le plan AH un rectangle e/S = udv. La section normale de cette fibre serait rfS X cost.

On peut se proposer de rechercher rintensilé //; de Teffort de traction, ou de compression, auquel se trouve soumise la fibre dont il s'agit dans le sens de sa longueur, et admettre que c'est cette intensité n qui définit en somme la fatigue propre à cette fibre. L'effort total auquel elle se trouve soumise est

n dS cos i et sa composante horizontale est

D'un autre côté, quelle loi de répartition peut-on raisonnablement supposer pour /i, autrement dit comment n varie-t-il avec V = GM ? On peut a priori supposer une loi linéaire de la forme

J4i CHAPITRE XIV.

Cela se trouve, du reste, conforme au principe de Bernoulli sur la conservation des sections planes, interprété comme nous Favons fait précédemment. Si Ton suppose, en effet, que le déplacement relatif de la section A' B' par rapport à la section AB consiste en une rotation o autour d'un axe EE', projeté en E', le raccourcissement d'un élément de fibre MM' = . sera

cost

cos(* — o) ou approximativement

COSl

en considérant <p comme un infiniment petit par rapport à Tangle fini I. Le raccourcissement proportionnel sera donc bien de la forme k(e-{-v) et il est naturel d'attribuer la même forme à l'effort longitudinal n qui lui est proportionnel.

Cela posé, pour déterminer les constantes fc et e, il faut écrire les deux équations qui expriment l'égalité, dans la section transversale AB, de la force extérieure et de la résultante des efforts

intérieurs, savoir :

N = 2ncos«tcfS,

M = 2 /«^ cos' i dS.

Ce sont les équations habituelles, avec cette seule différence que les éléments de surface dS de la section transversale sont affectés d'un coefficient de réduction égal à cos-/.

On aura donc, au fond, à calculer une aire réduite S' et un moment d'inertie réduit 1' par les formules

S'=Scos2/rfS, r= 2:r«cos«et/S,

et Ton trouvera pour n l'expression

Lorsqu'on peut négliger les angles tels que i, on retombe sur les formules ordinaires et, dans le cas contraire, on trouve des résultats majorés, puisque l'on a en définitive réduit l'importance de tous les éléments de la section transversale.

QUELQUES RÈGLES SPÉCIALES DE CALCUL. o^'J

Celte théorie ne donne rien et ne peut rien donner en ce qui concerne la répartition des efforts tangentiels dans la section transversale. Tout ce que Ton sait a priori^ c'est que la résultante de Ces efforts tangentiels doit être nulle si Teffort tranchant est nul, et plus généralement doit être égale- à Teffort tranchant T.

11 nous parait inutile de pousser plus loin des considérations générales de cet ordre. La règle qui se dégage de Texemple simple choisi peut rendre des services, en tant qu'elle constitue une mesure de prudence, et il conviendra d'ailleurs de la modifier en tant que de besoin d'après les circonstances.

Nous nous bornerons à en faire l'application à un exemple simple envisagé par M. Résal. C'est celui d'une section rectangulaire, de largeur constante b et de hauteur variable h.

Soit a l'angle AOG et de la distance OG. On a

— =rttanga et c = atangi,

d'où

cos' i

Calculons S' et 1', nous aurons :

S'= Tcos'trfS ^bd f di =bdX'iOL==bh

I'= I t^i cos* î dS = bd^ Ç tangï*

= •2 6rf*(lanca — a) = —-(lança — a

^ ^ ' 4lang»a^ ^

Telles seront donc les formules qu'il convient d'adopter pour le calcul de la fatigue à la flexion, lorsque l'angle a est un peu grand .

M. Résal a calculé que pour a = 3o° on a

S'=o,9oS et • r=o,83I.

Pour a = 4^** on aurait

S'=o,78S et r= 0,641.

Dans ce dernier cas, on peut donc s'attendre à des majoration de fatigue assez importantes.