III. — Pièces chargées de bout

En résistance des matériaux, on suppose que la déformation subie j)ar le corps est suffisamment faible pour qu*on puisse la négliger lorsqu'on écrit les équations d'équilibre des forces extérieures. Quand il n'en est plus ainsi, les équations d'équilibre contiennent des termes qui dépendent des déformations et ne sont plus linéaires par rapport aux forces extérieures. Le principe de la superposition des forces n^est plus applicable.

Il en est ainsi, par exemple, pour les ressorts, pour les câbles de ponts suspendus, etc. Nous traiterons ici un autre cas qui a beaucoup d'importance, celui des pièces comprimées dans le sens de leur longueur, que Ton appelle pièces chargées de bout^ ou par bout.

Quand nous avons eu à parler de pièces comprimées, nous les avons jusqu'ici assimilées à des pièces tendues, le phénomène de la compression étant considéré comme l'inverse du phénomène de la traction. Il en est bien ainsi quand on a affaire à des prismes relativement courts par rapport à leurs dimensions transversales, et pour lesquels l'axe longitudinal est exactement une ligne droite, suivant laquelle passent exactement les résultantes des forces appliquées aux bases. Mais en pratique ces deux dernières conditions ne peuvent être remplies avec une exactitude absolue et, alors qu'elles sont indiff\'* rentes dans le cas de la traction, elles ont une grande importance dans le cas de la compression, qui peut devenir en quelque sorte un phénomène d'équilibre instable. Pour certaines valeurs de la force de compression, une déformation^ si minime soit-elle, qui commence à se produire dans le sens transversal, peut aller en s'amplifiant indéfiniment sans augmentation de cette force de compression. La pièce compriméeyZa/w6e, suivant Texpression consacrée, ou périt piwjlambement.

Euler a donné jadis l'explication de ce fait, un peu surprenant au premier abord, en montrant qu'il est dû à rinlluence dans les équations d'équilibre de termes dus à la déformation. Soit une pièce dont l'axe AB est supposé rigoureusement rectiligne. Supposons qu'on la comprime en lui appliquant deux forces F agissant suivant une parallèle A'B' à Taxe longitudinal et à une distance b de celui-ci. En chaque section, telle que G, la force extérieure

passera à la dislance b du centre de gravi lé et il y aura^ non pas compression simple, mais flexion et compression à la fois. L'axe de lu poutre va prendre une certaine courbure, de sorte que le point G, d'abscisse x^ Va se déplacer vers le haut d^une certaine

Fig.i-ii.

tF

quantité i\ Dans l;j situation d'équilibre, le moment fléchissant^ qui était primitivement — F6, sera — F (6-+-^').

Si l'on tient compte du terme complémentaire Fc^ du à la déformation, Téquation de déformation élastique qui nous a conduit, pour les |)outres droites, à la relation générale

nous donnera ici

dx^ El

, en posant =r: = a^,

d\v dx^

d^v dx^

tK

-^(i-H-ft)

Cette équation diflerentiellc s'intègre facilement. Une intégrale particulière est

et l'intégrale générale de l'équation sans second menibi^ est

V = Asinair-+- B cosarr,

A et B étant deux constantes.

L'intégrale ^générale de l'équation complète est donc de la

forme '

p = A sinaa? -h B cosao? — b.

Les constantes A et B se détermineront par les conditions aux

extrémités. Pour ^ == o et pour j7 = /, on doit avoir i' = o, d'où

les deux conditions

A sin a / -h B cos a / — 6 = 0:

on en déduit

b(i — cosa/) A = •

s'inxl

L'expression définitive de i^ est donc donnée par Téqualion

if -\- b t — cosa/ .

(i) — 7 — = : ; — sinaa7-f- cosajT.

Quand a est très petit, et par suite aussi F, le rapport — r— demeure

fini en tous les points de la poutre. Il en est de n^me quand a augmente tout en restant inférieur à la valeur correspondant à

a/ = 7:. Mais si a atteint cette valeur j, sina/ devient égal à zéro

et en tous les points pour lesquels x est différent de zéro et de /,

sinax est fini. Il en résulte que le rapport -7 — tend vers l'infini

en'tous les points de la poutre quand a tend vers cette limite y. La

déformation de la poutre ira donc en s'exagérant de plus en plus jusqu'à rupture complète.

La valeur critique de F est donc donnée par la formule

a/ = 11 ou a*/*=Tr', d'où

Tant que F demeure en dessous de cette valeur critique, le phénomène de la compression du prisme, même sous l'action de forces désaxées, demeure un phénomène conduisant à un état d'équilibre stable. Mais quand il atteint la valeur critique, la pièce comprimée se trouve dans un état d'équilibre instable et doit flamber.

Cette valeur critique ne dépend d'ailleurs aucunement de l'écart initial b existant entre Taxe de la poutre et la ligne d'action des forces. Elle serait la même, si minime que soit Terreur d'implantation ou bien l'erreur de construction qui aurait rendu l'axe de la pièce un peu courbe. Or, de telles erreurs sont inévitables en pratique.

Par suite, si la valeur critique F = est inférieure à la

valeur