F = NS

que Ton pourrait se permettre d'atteindre, d'après la surface S de la section, et d'après la limite d'élasticité N de la matière, il faut considérer cette valeur critique comme fournissant une nouvelle limite à substituer à la limite d'élasticité, et déterminer la limile de sécurité en conséquence, au quart ou au cinquième de cette nouvelle limite qui est

F TT'EI ,^r«

La limite ainsi obtenue, que nous appellerons la limite d'Euler, ne dépend que du carré du rapport du rayon de gyration de la section à la longueur de la pièce. On peut la représenter graphiquement de la manière suivante :

Si Ton désigne par X le rapport — et par Y la limite d'Euler,

on a Y = 7:'- EX, si bien que la courbe représentative de Y est une

Fi

•ig. 121.

droite OE partant de l'origine avec un coefficient angulaire r-E. Si l'on trace la droite NA parallèle à OX et telle que son ordonnée ON = N, limite d'élasticité, cette droite coupera OE en un point A, dont l'abscisse sera telle que

N = ir*EX

Pour l'acier, on a environ

N = 24 X io« et E = '^o X lo* ;

35o CHAPITRE XIV,

on trouve pour le point d'intersection environ

X== 0,00012, d'où - = 90 environ.

C'est donc seulement pour les pièces dpnt la longueur dépasse 80 à 90 fois le rayon de ^y ration de la section transversale qu'il y aurait lieu de se préoccuper du flambement et de prendre la limite d'Euler. Pour les autres, on pourrait prendre la limite d'élasticité N.

Il y a un certain nombre d'expériences de M. Considère qui sont d'accord avec cette indication.

La conclusion qui résulterait de ce que nous venons de dire, c'est que la courbe complète qui représenterait la limite admissible

pour ^ serait constituée par la portion OA de la droite OE et par

la portion AB de Thorizontale NAB.

A certains points de vue, il peut paraître gênant d'avoir à se

préoccuper de savoir, pour une valeur de — > si Ton doit prendre

telle ou telle branche de courbe, et c'est là, sans doute, une des raisons à donner de l'adoption par beaucoup d'ingénieurs d'une formule qui porte en France le nom de Rankine, et qu'à l'étranger on appelle aussi formule de Navier. Cette formule fournit pour la limite à substituer à la limite d'élasticité dans les pièces comprimées l'expression suivante :

Ni*

Continuons à poser ^ = X, et construisons la courbe représentative de N'.

On a

\ NX

TÎ^KX TîMi

La courbe représentant ^' est donc une hyperbole ayant pour

asymptote horizontale la droite >' = IN (puisque pour X = oc le

NX

rapport ' . .. tend vers M). Elle passe par l'origine où son coefficient angulaire est 7:-E et où, par suite, elle est tangente à la

QUELQUES* RÈGLES SPECIALES DE CALCUL. 35 f

droite OE. C'est donc une courbe de raccordement des deux portions utiles de la courbe OAB, et qui aie mérite pratique d'être la plus simple de toutes les courbes du raccordement et de fournir toujours des résultats inférieurs aux limites théoriques. C'est une des meilleures justifications qu'on en puisse donner.

Certains ingénieurs font remarquer, il est vrai, que peut-être la

formule de Rankine exagère la prudence. Pour la valeur X = rrï^»

N par exemple, elle fournit la valeur N' = -> tandis que la valeur

critique d'Euler serait égale à ÎN. Diverses expériences de laboratoire sur des pièces comprimées jusqu'à llambement semblent d'ailleurs leur donner raison. Mais on peut répondre qu'une prudence, même excessive, n'est jamais très dommageable.

Quand on fait usage de la formule de Rankine, an lieu de calculer la nouvelle limite N' à substituer à^la limite d'élasticité IN et d'en déduire une nouvelle limite de sécurité R' à comparer à la

fatigue R =r ^ de la pièce, on procède ordinairement d'une manière différente qui revient d'ailleurs absolument au même. On suppose que la fatigue R de la pièce est majorée et devient égale à^ ( '+zrF~î ) ' Cette fatigue majorée est alors comparée à la limite de sécurité ordinaire. C'est là évidemment un pur artifice de calcul, qui ne permet nullement de conclure que dans la réalité la fatigue de la pièce comprimée éoit nécessairement majorée et atteigne la valeur ci-dessus.

Dans toutes les formules que nous avons établies, le rayon de gyration r est celui qui correspond à la direction dans laquelle est compté l'écart initial b. Quand cette direction n'est pas précisée par les données du problème, il faut évidemment la faire coïncider avec celle qui conduit au rayon de gyration minimum.

Pièces courbôs comprimées et fléchies. — La théorie qui précède n'est pas absolument particulière aux pièces de forme rectiligne, ni aux pièces qui supportent exclusivement des compressions F à leurs deux bouts. Elle s'applique même à des pièces courbes, soumises à des efforts transversaux, ou à des couples, indépendamment des compressions F s'exerçant à leurs extrémités. On trouve toujours pour F la même valeur critique donnée par la formule d'Euler.

Supposons que la fibre neutre soit la courbe OB, dont l'ordonnée y est une fonction connue de j?, et soit r le déplacement vertical

Fig. 123.

du point G (^J^), soit aussi [i.(a7) le moment fléchissant au point G, qui serait dû à toutes les forces appliquées autres que F. Le moment total sera, en prenant en compte le petit déplacement c,

D'autre part, on a Féquation différentielle

Posant encore ttt

El

a-, on peut la mettre sous la forme

dx^

Quelle que soit la fonction /(^), Tintégrale complète se composera d'une solution particulière o (j?) de cette équation et de l'intégrale générale de l'équation sans second membre, qui est

On aura donc

A ixïïix -^ B cosaa:.

i> = ç(a?) -h A sinax-h B cosaj: (>).

Les constantes A et B se détermineront encore en écrivant que pour X = o et pour j? = / on a i^ = o, ce qui donne les conditions

9(0) H- B = o, ©(/)-hAsin«/-}-B cosa/ = o.

(*) Cela suppose, il est vrai, que/(x) conserTC la même définition analytique d'un bout à l'autre de la poutre. Mais il serait facile de lever cotte restriciioM, à laquelle nous ne nous arréteions pas.

On aura donc pour A une valeur de la forme

9(o)co!ia/ — ?(0

sinx/ U en résulte que, quand F atteint la valeur qui conduit à a/ = il.

r|{ PI

c*est-à-dire la valeur F = "•> la constante A devient infinie et

qu'il en est de même pour ^.

Indépendamment de toute autre considération sur la fatigue maxima aux différents points de la pièce envisagée, il faut donc que la force de compression F ne dépasse pas cette valeur critique, et même se tienne au-dessous avec un coefficient de sécurité convenable. Une fois les calculs de résistance effectués à la façon ordinaire, il j a donc lieu, pour cet objet, à une. vérification

ri 2 pi p

spéciale. On comparera F à la valeur crilique — jj^> oubien ^ à

n^E'-!, limite d'Euler.

On se placera encore dans des conditions plus sévères an point

de vue de la sécurité si Ton substitue A la limite d'Euler la limite de

Rankine, et si Ton compare ^ à

OU, ce qui revient au même, si l'on compare à la limite d'élasticité N lexpressiong-(^i+jj7^,j.

7 OU X ) qu'on croira devoir s'imposer, la condition précédente reviendra à l'inégalité

D'autre part, en évaluant pour une section quelconque de la pièce la fatigue à la façon ordinaire, on aura déjà été amené à satisfaire à une condition telle que

MA

le terme — r- représentant la fatigue due à la flexicm, au point con-

PlOEAUD. 23

sidéré, du côté de la fibre la plus comprimée, de sorïe qu'il ait une valeur positive.

. Dans ces conditions, il est bien évident qu'on se placera encore dans des conditions plus sévères au point de vue de la sécurité, si 1-on remplace les deux inégalités précédentes, qui sont en réalité indépendantes, par l'inégalité unique

Beaucoup d'ingénieurs acceptent ce résultat au nom de la sécurité. On le traduit d'une façon simple en disant que l'on doit

majorer les efforts s- dus à la compression^ en les multipliant

par le coefficient de Rankine. D'autres ingénieurs trouvent cette règle un peu excessive.

Il est à remarquer que, dans les pièces à la fois comprimées et

fléchips, si le terme -p» fatigue due à la flexion, est prépondérant

par rapport au terme ^, fatigue due à la compression, la majora-

tion due à l'intervention du coefficient de Rankine est peu considérable et devient sans intérêt.

Quand on a affaire à un arc, par exemple, le flambement dans le plan moyen de la poutre est peu à craindre. C'est surtout dans le sens transversal qu'il, y a lieu de s'en préoccuper, et cela d'autant plus que les moments d'inertie des poutres sont faibles dans ce sens transversal.

Poutres encastrées à leurs deux extrémités. — Nous avons supposé jusqu'ici que les poutres n'étaient soumises à leurs extrémités qu'à la condition t^ =: o, autrement dit qu'elles étaient

articulées, le coefficient angulaire J^ pouvant devenir quelconque pour X = o et X = L Nous supposerons ici que ^ demeure nul

aux deux extrémités, autrement dit que celles-ci sont encastrées. Dans ces conditions, on doit supposer que les appuis sont capables de développer des réactions complémentaires. Celles-ci sont des inconnues du problème, et ont pour effet d'introduire dans le moment fléchissant des termes de la forme c-\-dx.

L'équation différentielle du paragraphe précédent devra donc être remplacée par une équation de la forme

^-j 4- T.'^v =/(.r ) -^ c-T-dx,

dont rintégrale sera elle-même de la forme

p = A s\\\%x -f- B C0S2 j^ -hG-f-Da?-f-<p(j*).

Pour déterminer les quatre constantes A, B, C, D, nous aurons à écrire que v z=z o e\ *— = o pour x =^o et pour x = l, ce qui fournit les quatre 'équations

A siiiaZ-hB cosa/ -h C -h n/-+- ç( /) = o,

Aacosa/ — Ba sina/ -f- D -h (-7^) = ".

Le déterminant de ces équations est différent de zéro dans le cas général, mais si l'effort de compression F devient tel que l'on ait à la fois sina/= o et cosa/=: i, on voit facilement que ce déterminant devient nul, car il a deux colonnes identiques, celles de B et de C. Dans ces conditions, les constantes deviennent infinies.Jl V a donc là un cas critique, qui se produit pour a/= 2tc.

ou cc^=-jr'

La valeur correspondante de F est donc

Elle est quatre fois plus grande que celle qui correspondait au cas des poutres articulées aux deux bouts.

A cette différence près, la théorie demeure la même. Indépendamment des vérifications portant sur la fatigue aux différents points de la poutre, il faudra vérifier que

ou que

Comme précédemmenl, on pourra substituer à l'ensemble des deux droites représentant la limite d'élasticité N et la valeur

critique -=z^^—j^ — une courbe continue représentant une limite

d'élasticité fictive:

N'-— Ji