DÉFORMATIONS ÉLÉMENTAIRES
Mi. Déformations élémentaires d'un parallélipipède infiniment petit* — Par déformations élémentaires nous entendrons les 6 quantités qui définissent complètement la déformation d'un parallélipipède soumis à un état élastique donné, savoir : 1® les 3 défortnations longitudinales ou directes, c'est-à-dire les variations de longueur, subies par les arêtes et rapportées à l'unité de longueur. Nous donnerons le signe -f- à ces quantités lorsqu'elles représentent des allongements, le signe — lorsqu'elles sont des raccourcissements ; 2** les 3 déformations tangentielles ou transvei'sales que Ton peut définir à l'aide des variations subies par les angles primitivement droits des faces des cubes. Nous mesurerons ces variations par la tangente trigonométrique de la différence entre
TT
l^angle du parallélogramme et l'angle primitif -, ou, cette dif-
férence étant infiniment petite, par la longueur d'arc de
rayon!, compris entre ses côtés. On appelle distorsion cette
déformation transversale. — Dans le cas d'un état élastique
linéaire^ les angles des faces ne sont pas déformés, les
arêtes seules varient.
^^„ En vertu de la loi de Hooke,
*""! que nous supposons applicable
■ — r*"^ dorénavant,, nous avons les rela-
— -^ tions suivantes, e^, 6y, tz désignant
^^ ^^ les déformations longitudinales.
Fig. 12. I
ff = R du texte. ^dx = (i^xdx=: -Rxdx (28)
en même temps, il se produit une contraction des aréles perpendiculaires à la direction de Rx,
ty = ez= = =—ZT (30)
Ceci suppose toutefois que la matière est isotrope, c'est-àdire que sa structure est la même dans toutes les directions, de sorte que E et m conservent la même valeur en un point donné pour tous les axes que l'on peut mener par ce point. Si, de plus, le corps est parfaitement honiogèney ces quantités sont indépendantes de la position du pointchoisi à l'intérieur du corps. Les deux constantes E et m suffisent alors pour déterminer complètement les relations existant entre les déformations et les actions moléculaires. Si le corps est anisotrope, c'est-à-dire si ses propriétés élastiques varient avec les directions passant par le point donné, mais satisfait cependant à la loi de Hooke, 21 constantes sont nécessaires pour définir complètement les relations entre les actions moléculaires et les déformations corrélatives. La discussion de ces
Ko CHAPITRE II
équations générales indispensables pour le physicien, n*est pas d*un grand intérêt pour l'ingénieur, la plupart des matériaux en ujsage pouvant être considérés comme isotropes. Le bois fait cependant exception ; toutefois, les problèmes à résoudre dans les constructions en bois sont en général fort simples et ne nécessitent pas des recherches aussi approfondies. De plus, les propriétés élastiques du bois sont si fortement influencées par des circonstances accidentelles, nœuds dans le bois, (lirection des fibres, etc., qu'il est parfaitement inutile de youtoir tenir compte des variations des propriétés élastiques dans différentes directions.
Déterminons la variation de volume du parallélipipède. Le volume du parallélipipède déformé est égal à :
dx (1 + e«) dy (1 -f- ty) dz (1 + e^)
ou, en multipliant et en négligeant les produits des e entre eux devant ces quantités elles-mêmes :
dxdy dz{i +eaj+Êy + cz)
La somme tx^^ + ^z représente donc le rapport de l'augmentation de volume au volume primitif. Nous l'appellerons la dilatation cubique^ e^ du parallélipipède.
e«=€aj + 8y4-Cs (31)
Cette formule est générale. Si Tétat élastique est linéaire, on trouve (équation 30) :
e = £a = --^=rR« (32;
Cette dernière relation permet d'assigner une limite inférieure pour la quantité m. Il est, en effet, bien peu probable qu'un effort d'extension produise une diminution de volume et que, par suite, e devienne négatif; m doit donc être au moins égal à 2, un corps pour lequel m aurait cette valeur est dit incompressible^ puisqu^il ne subit aucune altération de
volume. En réalité, m est plus grand, il est généralement compris entre 3 et 4.
En superposant trois états élastiques linéaires dont les directions principales soient perpendiculaires entre elles, on obtient les déformations d'un parallélipipëde soumis à un état élastique triple, il vient :
ea,=:g(Rx--[Ry + Rz])
Il reste à examiner les distorsions produites par les composantes tangentielles des actions moléculaires. Considérons un parallélipipëde soumis au glissement simple, c'est-à-dire sur les faces latérales duquel n'agissent que des actions moléculaires tangepti elles S, fig. (13). En négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on reconnaît que le volume du parallélipipëde ne subit pas de variations.
En vertu de la loi de Hooke, la distorsion y, sera proportionnelle à l'action moléculaire qui la produit, nous pouvons donc écrire :
Fig. 13.
T t=s s du texte.
