Y=PS

P, et son inverse G sont deux nouvelles constantes, dépendant de la nature de la matière, p est le coefficient de souplesse transversale y G le coefficient d'élasticité transversale. On comprend maintenant le nom de glissement donné à la déformation que nous étudions, on voit que deux faces latérales opposées du parallélipipëde se déplacent parallèlement

Ht CHAPITRE lï

Tune àTautre, de sorte que, si l'on en suppose une fixe, Tanlre parait glisser par rapport à la première.

Y étant un nombre, on voit que G est de même dimension que S. Etant donné les unités choisies, 6 est, comme Ë, un

très grand nombre.

t». Relations entre G, E, a, p, et m* — Nous avons vu que les quantités E et m définissent complètement les propriétés élastiques d'un corps isotrope ; il existe donc nécessairement une relation entre G, E et m. Pour la déterminer, nous utiliserons la remarque faite à Tart. 14. Nous avions, dit qu^un parallélipipède travaillant au glissement simple peut être considéré comme se trouvant dans un état élastique double, dont les aclions principales sont inclinées de 45'' sur les faces latérales. Ces deux actions principales sont égales en valeur absolue aux actions tangentielles agissant sur les faces du solide ; Tune est positive, l'autre négative.

Considérons un cube dont les arêtes sont parallèles aux actions principales. La face du cube perpendiculaire à Taxe des z devient un rectangle (fig. 14). Soit Aa la déformation de l'arête a du cube. Dans les plans diagonaux agissent les

actions tangentielles S ; la distorsion Y de l'angle compris entre les diagonales peut s'exprimer sait a-^a en fonction de S (équation 34), soit en fonction des déformations des arêtes du cube. En égalant ces

„ ,. deux valeurs de y, nous oblien-

Fig. 14 * .

drons la relation cherchée. Faisant dans les formules (33) Rx = — Ry = S, R« = o, nous trouvons :

De la figure nous tirons :

a-|- Aa

- d'où, en développant et en posant

2 a+ la

et par suite

Aa 2(m+i) e ' a mE

d'autre part on a (équation 34) :

donc

G = r7^TTx E (35)

pour m=4 .... G = 0,4 E, pour m = 3 .... G = -E.

Il n est pas possible de déterminer G directement. On peut le calculer en se basant comme nous le verrons sur des essais à la torsion. Les valeurs trouvées ainsi ne satisfont souvent pas à Téquation (35), qui cependant est strictement exacte pour tout corps obéissant à la loi de Hooke. Les différences qui se produisent proviennent donc nécessairement de fautes d'observations ou surtout de l'emploi d'une formule inexacte pour le calcul des efforts de torsion.

98. Ellipsoïde des déformations. — Délimitons à Fintérieur du corps une sphère infiniment petite et supposons qu'au centre de la sphère règne un état élastique triple; soient x^ y, z les coordonnées d*un point de la sphère, les axes étant

dirigés parallèlement aux actions principales : ces quantités augmentent ou diminuent dans les rapports donnés par les formules (33). Si Ton exprime les valeurs primitives x, y,z en fonction des valeurs nouvelles et si l'on substitue dans Téquation de la sphère, on obtiendra évidemment Téqualion d'un ellipsoïde, dit des déformations élémentaires. Les déformations dans le sens des axes de Tellipsoïde sont les déformations élémentaires principales,