TRAVAIL SPÉCIFIQUE DE DÉFORMATION

99. BéUeri^i® potentielle interne d^an paralléiipipède inflnlment petit. — Considérons de nouveau un paralléiipipède dont les arêtes sont parallèles aux actions principales. Les actions moléculaires qui agissent sur ses faces sont, relativement à ce solide, des forces extérieures ; lorsqu'il se déforme, les points d'application de ces forces se déplacent, les actions moléculaires fournissent donc un certain travail qui s'emmagasine, comme nous Tavons déjà dit,sous forme (T énergie potentielle interne à l'intérieur du paralléiipipède. Nous emploierons de préférence pour désigner cette énergie le terme : travail de déformation^ lorsque nous le rapporterons à Tunilé de volume, nous parlerons de travail spécifique de déformation.

Nous avons déjà calculé ce travail (équation 17) dans le cas de l'état élastique simple. Si de plus le corps obéit à la loi de Hooke la force P de l'équation (17) est proportionnelle à x^ de sorte que si P' désigne la force qui produit l'allongement maximum A/ nous pouvons écrire

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et (17) devient

pour obtenir le travail spécifique, il suffit de remplacer P' par R et A/ par e, il vient

A,= l Re =iEc« = 5^ (42)

Si deux des actions principales, Ro; et Ry sont différentes de o, nous obtiendrons A de la façon suivante : les déplacements de leurs points d'application ne sont pas autre chose que les déformations élémentaires principales, nous avons ici

il n^est pas nécessaire de considérer tz, puisque Rz est nul. Sur les rectangles dydz agissent deux forces opposées égales à Rxdydz (il n'y a pas lieu ici de tenir comple de la variation des actions moléculaires d'une face à l'autre, le travail de ces variations étant négligeable devant celui des actions moléculaires elles-m6mes),et le point d'application de chacune d'elles

se déplace, selon leur propre direction, de -^^— • Le travail

fourni est donc égal au pbemin multiplié par la valeur moyenne des forces, laquelle est égale comme plus haut à la moitié de la valeur finale. (Nous devons introduire la valeur moyenne puisque nous supposons implicitement que les forces extérieures, et par suite les actions moléculaires, augmentent lentement et progressivement). Nous avons donc pour le travail de ces

deux forces :

2 (gRr dydz. ^^)

On trouverait un terme analogue pour le travail fourni par Ry ; nous avons doue, en divisant par dxdydz^

^ = . (!!1±JV i „. „, ) (")

Si les trois actions principales sont différentes de zéro, on obtiendra par un raisonnement analogue :

Glissement simple. — Il est avantageux, ici aussi, de considérer ce casa part. Supposons donc gu^iLjilagisse à la sur-* face du solide que des actions tangeutielles S (fig. 13). Dans la déformation indiquée sur la figure, il y a lieu de ne considérer que le travail de l'action moléculaire relative à la face supérieure, puisque la face inférieure reste fixe et que les déplacements des points d'application des actions relatives aux faces latérales sont perpendiculaires aux directions de ces forces. Il n^y a pas lieu non plus de considérer les mouvements du prisme produits par d^autres causes, puisque le système des quatre forces S est en équilibre.

La valeur moyenne de la force agissant sur la face supérieure est, pour la même raison que plus haut :

-• Sdxdz

le chemin parcouru mesuré sur la direction de la force :

yrfy

le travail de déformation est donc :

; Sy dxdydz

d'où, en tenant compte de (34) :

jt = isr = iGY' = | (43)

L'expression (43) doit être identique à (43), si Ton fait dans celle-ci Rx = S et Ry = — S, donc

~is.sW£

d'où

soit la relation trouvée précédemment par une autre méthode. Pour être strict, il resterait à démontrer que le travail de déformation d'un élément infiniment petit de forme quelconque esè proportionnel au volume de cet élément, mais indé^ pendant de sa forme. A cet eiïet, on décomposera cet élément en élément, d'ordre supérieur dont les arêtes soient dirigées selon les actions principales. Si Ton fait la somme de tous les travaux fournis par les actions moléculaires agissant à la surface de ces éléments, on reconnaît qu'en vertu du principe d'action et de réaction, les travaux des forces relatives aux surfaces de séparation de ces éléments sont nuls. La somme se réduit à celle des travaux des actions moléculaires relatives à la surface de l'élément considéré. D'où le théorème.