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Fig. i6
Remarque. La question se rattache à une opinion fort répandue autrefois sur la façon dont la rupture de cubes de
pierre semblables se produit. En général , la désagrégation du solide a lieu de telle façon quli] se forroe-ileux pyramides opposées par les sommets (fig. 46).
Les faces de la pyramide semblent coïncider sensiblement avec les sections du solide dans lesquelles S est maximum.
On en concluait que, dans les essais à la compression, c'était la résistance au glissement qui était d'abord surinontée. Il est toutefois très probable que cette manière de voir est fausse et que Pexplication suivante est la vraie : La compression du cube entraîne une dilatation transversale (celle-ci peut atteindre 60. 10-^ cm. pour le granit, 40. iO-^cm. pour la molasse sans qu'il se produise de désagrégation) qui, lorsqu'elle dépasse une certaine limite, entraine à son tour la désagrégation des faces latérales. Quant à la forme pyramidale elle s'explique facilement par le fait que les faces en contact avec les plaques de la machine d'essai ne peuvent se dilater librement par suite du frottement L'influence de ces plaques se fait sentir de moins en moins lorsqu'on s'en éloigne, il faut donc s'attendre à ce que la rupture commence au milieu, là où cette action est la plus faible. Dès lors la forme pyramidale s'explique d'elle-même.
L'expérience montre de plus, et c'est là une preuve en faveur de ce qui précède, que la résistance à la compression d'un prisme de pierre dépend du rapport de la hauteur aux dimensions de la base. Cette résistance est d'autant plus faible que ce rapport est plus grand, ce qui s'explique sans difficulté si l'on admet ce que nous venons de dire. Les éprouvettes employées généralement dans les essais sont de forme cubique, aussi est-
il bon de tenir compte des remarques précédentes lors de la discussion des résultats obtenus.
Exercice 6- — Une matière plastique (E très petit) est contenue dans une enveloppe cylindrique résistante et comprimée dans le sens de Paxe du cylindre avec une force de 200 kg. par crf?. Quelle est la pression exercée sur les parois de f enveloppe? (Etudier les denx cas m'=4 et m=2).
Solution, On a ici
a = 200 R„ = Ri„ = X
X doit être tel que e„ et e,„ soient nuls (nous admettons que Tenveloppe ne subit pas de déformation). Donc
— - (x + 20oW o
pour
m = 4 x = 66 - kg. par cm*.
Si m = 2, la matière est incompressible, la pression sur les parois de Tenveloppe est la même que si elle contenait un liquide.
Exercice 7. — Déterminer le travail élastique de comparaison dans le cas de l'exercice 3^ en prenant m = 4,
Nous avons, pour m = i
or, ici
Ra. = 300 kg. par cm*. S = 400,
donc
^ z=zz 646 kg. par cm*.
68 CHAPITRIî; 11
Exercice 8. — Un tube cylindrique fermé est soumis à une p7*ession intérieure telle qu^en un poiîit de la paroi V action moléculaire normale dirigée dans le sens de la tangente au contour est de 800 kg. par cm^^ tandis que celle dirigée dans le sens longitudinal est de WO kg. Quel est le travail élasti-
que de comparaison si ?n = 3 ?
Solution. Oq trouve immédiatement (formule 37) : R = 800 — — 400 =680 kg. par cm'.
Exercice 9. — Une tige de longueur /, allant s' amincissant d'une façon continue^ est soumise à un effort d'extension P. Quel est le travail de dé formation ?
Solution. (1) Soient Fj et F, les aires des deux bases ; Taire d'une section normale quelconque, distante de x de la base F, est donnée par la formule
F=[v'F-;+f(v7.-VF-)]'
le travail de déformation du volume élémentaire Vdx est (formule 42) :
le travail total sera
J I - ( i/ïT i/?
on a généralement
dx
(ax + 6)* a {ax + h)
donc :
(d) Une erreur de calcul qui s'était glissée dans l'édition allemande a été corrigée par l'auteur. (N. du T).
Si Fj et F, différent peu l'une de Taulre, on peut remplacer sans commettre d'erreur appréciable, la moyenne géométrique par la moyenne arithmétique et l'on a :
E (F, + F,) C'est le travail de déformation d'une tige de section constante égale à ^^^^'*
Exercice iO, — Une [barre de fer fixée aux deux extrémités est soumise, à fêtât initial, à un effort d'extension de 600 kg. par cm*. On abaisse sa température de 50^» De combien augmente le travail spécifique de déformation, E = 2.10' kg,
par cm*, le coefficient de dilatation du fer étant égal à
pour /• centigrade ?
Solution, Si la tige était libre, le refroidissement produirait un raccourcissement
Il faut qu'il se développe dans la pièce un eff'ort produisant un allongement égal. Cet effort est (équation 18) :
R = Ee = 2.10'^=1.230kg. par cm*
Le travail élastique passe donc, par suite du refroidissement, de 600 à 1.850 kg. par cm*. Cette valeur est déjà supérieure à ta limite d'élasticité de bien des qualités de fer. Supposons que ce ne soit pas le cas ici, car sans cela il ne serait pas possible de calculer exactement le travail de déformation.
Dans l'état initial le travail spécifique de déformation est (équation 41) :
__ R. 600. K, omK^
2E 4.10* cm^ cm^
(remarquons en passant que Jt est bien un travail, cm. Kg. divisé par un volume, cni* comme le prouve l'indication des dimensions). Après le refroidissement ce travail est :
