cm

l'énergie potentielle interne s'est donc accrue de 0,766 ^•

La source de cette énergie est ici, non pas le travail de forces extérieures, mais la chaleur. On reconnaît que la chaleur spécifique de la pièce doit varier un peu selon que le corps est au repos ou soumis à des efforts élastiques, et qu'il cxisie, par suite, une relation bien définie entre Tétat élastique et Félat calorifique d'un corps.

Ces questions sont du reste du domaine de la théorie mécanique de la chaleur. Elles n'ont pas d'importance au point de vue de la résistance des matériaux. Ajoutons seulement que la température d'un prisme travaillant à la traction, sans qu'il reçoive de chaleur de Textérieur, s'abaisse légèrement. Ce phénomène passe^ du reste, complètement inaperçu dans les essais par suite de sa faible intensité. Ce qui précède n'est valable que tant que la limite d'élasticité n'est pas dépassée ; à partir de là, le travail des forces extérieures n'est plus emmagasiné sous forme d'énergie potentielle, mais se transforme partiellement en chaleur, de sorte qu'au moment de la rupture l'augmentation de température est très notable.

g i. Notion de la flexion (Tun prisme; hypothèse de Navier et de Bemouilli. — 30. Définition des pièces prismatiques. — 31. Composition des forces extérieures. — Flexion, torsion, glissement, résistance composée. — 3:2. Moment fléchissant et moment de torsion, effort normal et effort tranchant. — 33. Flexion simple, hypothèse de Bernouilli. — 34. Nature des actions moléculaires dans le cas de la flexion simple.

§ 2. Conséquences de la répartition linéaire des actions moléculaires normales. — 35. Position de Taxe neutre dans une section transversale.

— 36. Condition de lavalabilité des formules (49 et 51).

I 3. Moments d inertie. — 37. Relations entre les moments d'inertie relatifs à divers axes. — 38. Axes principaux et moments principaux d'inertie.

— 39. Ellipse centrale d'inertie. — 40. Moment d'inertie polaire. — . 41. Evaluation des moments d'inertie à l'aide du planimètre.

§4. Cas généj^al de flexion simple. — 42. Calcul des intensités des actions moléculaires. — 43. Application, calcul des dimensions d'une panne de toiture.

§ 5. Flexion d'un prisme droit sollicité par une force parallèle à Vaxe longitudinal. — 44. Calcul des actions moléculaires développées dans uae section transversale quelconque, région centrale d'une surface. — 45. Applications. — 46. Détermination des actions moléculaires développées dans une section transversale d'un prisme travaillant à )a flexion simple à l'aide de la région centrale de la section .

§ 6. Détermination des actions moléculaires tangentielles agissant dans un prisme tratyaillant à la flexion. — 47. Répartition des actions moléculaires tangentielles dans une section transversale rectangulaire. — 48. Relation entre le moment fléchissant M et l'effort tranchant Y, relatifs aune même section. — 49. Répartition des actions moléculaires tangentiellas pour d'autres formes de section transversale. — 50. Courbes enveloppes des directions des actions moléculaires principales, influence des actions moléculaires tangentielles sur le danger de rupture d'un prisme travaillant à la flexion.

8 7. Ligne élastique d'un prisme travaillant à la flexion. — 51. Equa-

72 CHAPITRE ÎII

tioD différentielle de la ligne élastique. — 5â. Cas. particuliers — 53.

Influence des actions moléculaires tangentielles sur la forme de la ligne

élastique.

§ 8. Poutres continues et prisme encastré aux deux extrémités. . —

54. Poutres continues. — 55. Prisme encastré aux deux extrémités. Exercices, no» 11 à 22.

NOTION DE LA. FLEXION D'UN PRISME HYPOTHÈSES DE NAVIER ET DE BERNOUILLI

SO. Définition des pièee« prismatiques. — On appelle prisme ou pièce prismatique y en résistance des matériaux, le corps engendré par un profil fermé plan se déplaçant perpendiculairement à la courbe que son<;entre de gravité est assujetti à décrire. Le profil est appelé section transversale du prisme, la courbe décrite par le centre de gravité des différentes sections est Vaxe longitudinal du prisme. Celui-ci ne doit présenter aucun point singulier et posséder une courbure assez faible pour que le rayon de courbure en un point quelconque soit toujours très grand comparativement aux dimensions de la section transversale. Nous désignerons par prisme élémentaire la portion du corps comprise entre deux sections infiniment voisine, ei fibre élémentaire, le prisme infiniment petit engendré par un élément de surface du profil générateur lorsqu'il passe d'une position à la position infiniment voisine. Un prisme élémentaire est donc formé d'une infinité de fibres élémentaires. De même, le prisme entier peut être envisagé comme formé d'une infinité de fibres. Celle qui suit Taxe longitudinal est Ih fibre moyenne.

Le profil générateur d'un prisme n'est pas nécessairement constant : il peut varier ; toutefois, cette variation doit être lente et continue, au sens mathématique de ce terme, de

FLEXION DES PRISMES A AXE RECTiLIGNE 73

façon que deux seclions transversales infiniment voisines diffèrent infiniment peu Tune de l'autre.

Comme le titre du chapitre l'indique, nous ne nous occuperons d*abord que des prismes dont Taxe longitudinal est rec* tiligne.

31. CJompositioii des forées e^iLiérieures. torsion, i^lissenient, résistauee eomposée- — Considérons une pièce prismatique sollicitée par des forces extérieures consliluant un système en équilibre statique. Coupons ce prisme selon une section transversale. Les actions moléculaires développées dans celte seclion doivent être telles qu'elles fassent équilibre aux forces extérieures agissant sur Tune ou Taulre des deux parties du prisme.

Pour déterminer ces actions, le premier pas à faire est de réduire les forces extérieures, appliquées à la position considérée du prisnic, aune résultante et à un couple résultant ; la répartition des forces extérieures en elle-même ne jôùe aucun rôle, aussi suffirait-il, au besoin^ de ne connaître qu'un système de forces équivalent. Cette réduction exige le choix d'un point arbitraire par lequel passe la résultante; nous prendrons ici pour ce point le centre de gravité de la section transversale suivant laquelle le prisme a été coupé. Les actions transversales développées dans la section devront fournir, pour qu'il y ait équilibre, une résultante et un couple résultant égaux et de signes contraires à la résultante et au couple résultant des forces extérieures.

Les conditions dans lesquelles travaille le prisme dépendent du résultat de la composition des forces extérieures. Il ppurra se présenter les cas suivants :

1° Le couple résultant est nul, la résultante passant par le centre de gravité de la section est dirigée selon Taxe du prisme ; dans ce cas la pièce travaille à Vextension ou à la càmpi*ession simple, suivant le sens de la résultante.

2* Le couple résultant est nul, et la résultante agit perpen-

diculairement à Taxe longitudinal. On dit alors que le prisme travaille au glissement simple. Ce cas ne saurait se produire que pour certaines sections seulement; en effet, si Ton passe d'une de ces sections transversales à la section voisine, il se produit un couple,provëhàntdu déplacement du point d'application de la résultante au cenlre de gravité de la nouvelle section. 3** Inversement, les forces extérieures se réduisent à un couple ; il faut distinguer ici plusieurs cas :

a) Nous dirons que le prisme travaille k\d^ flexion simple y si le plan du couple passe par Taxe longitudinal ou lui est parallèle;

b) Le prisme travaille à lat07*sion lorsque le plan du couple est perpendiculaire à Taxe longitudinal ;

c) Enfin, si le plan du couple esl quelconque, on décomposera le couple en deux couples composants, Tunsilué dans un plan passant par Taxe du prisme, l'autre silué dans un plan perpendiculaire ; le prisme subit une flexion et une toimon simultanées. Conformément à la loi de superposition applicable à la plupart des matériaux (matériaux pierreux et fonte de fer exceptés), il suffira, pour obtenir les actions moléculaires totales développées par Faction de ces deux couples, de déterminer séparément les actions produites par chacun d'eux et de les composer.

Nous avons vu précédemment comment s'opérait cette composition; il suffit donc de rechercher les actions moléculaires développées dans chacun dos cas simples énumérés ci-dessus. Pour les corps auxquels la loi de superposition n'est pas applicable, les problèmes analogues ne sont pas susceptibles d'une solution exacte. Il faut se contenter d'une solution approchée, en appliquant malgré tout cette loi et en tenant compte dans les calculs subséquents de Tincertitude du résultat provenant de ce fait.

4** Enfin lorsquele système des forces extérieures admet un couple résultant et une résultante, on a le cas de la résistance composée. En s'en tenant strictement à cette définition, le cas où le système des forces extérieures se réduit à une résultante

perpendiculaire à Taxe du prisme et à un couple passant par cet axe serait un cas spécial de résistance composée. Il se présente toutefois si souvent dans les applications, qu'il convient de le traiter à part comme cas général de la flexion. On ne parlera donc de résistance composée que lorsque le prisme travaillera simultanément à la flexion, à la compression ou à Textension et à la torsion, c'est-à-dire lorsque la résultante des forces extérieures n'est pas perpendiculaire à Faxe du prisme et que le plan du couple ne passe pas par cet axe.

St. Momeiit fléehissant et moment de torsion ; Eiffort normal et effort tranchant. — Afin de pouvoir écrire les conditions d'équilibre entre les forces extérieures et les actions moléculaires nous devons considérer, non seulement le plan du couple résultat, mais son moment et son sens. On appelle moment fléchissant^ M, le moment d'un couple tendant à produire une flexion, moment de torsion^ T, le moment d'un couple qui occasionne une torsion. Les deux composantes de la résultante des forces extérieures portent ég'alement des noms spéciaux. On désigne par effort nojinal^ N, la composante dirigée suivant Taxe, longitudinal du prisme, et par effort tranchant^ V, la composante perpendiculaire à cet axe.

Dans le cas général de la flexion, tel qu'il a été défini plus haut, on aura donc à déterminer, pour chaque section transversale considérée, le moment fléchissant et l'effort tranchant. Il est évident qu'il est indifl^érent de calculer ces quantités pour Tune ou pour l'autre des parties du prisme séparées par la section considérée. En efl^et, si nous passons de l'une à Tautre de ces parties, le moment fléchissant et l'eff'ort tranchant changent de signe, puisque, par hypothèse, les forces extérieures appliquées au prisme forment un système en équilibre, mais en même temps les actions moléculaires dans la section transversale changent aussi de signe. Rien n*est donc modifié.

Il est d'usage, dans les traités de résistance des matériaux, de considérer la partie du prisme située à gauche de la sec-

tion transversale envisagée, le prisme élant supposé horizontal.

Les forces agissant sur un prisme sont, dans la généralité des problèmes de flexion, situés dans un même plan (le plus souvent dans le plan vertical) ; de plus TefTort tranchant est toujours situé dans le plan du couple fléchissant. Nous nous bornerons dans la suite à étudier ce cas particulier ; du reste, si exceptionnellement ces suppositions n'étaient pas remplies, on pourrait encore résoudre facilement le problème en se basant sur les développements qui suivent.

Convenons enfin d'affecter le momenlfléchissant, M, du signe + lorsque, le prisme étant supposé horizontal, le couple des forces extérieures appliquées à la partie du prisme située à gauche de la section considérée tend à faire tourner cette partie dans le sens des aiguilles d^une montre.

Nous prendrons Tofforl tranchant, V, avec le signe +, lorsque, pour cette même partie du prisme, il sera dirigé de bas en haut.

Ce sont là les conventions que Ton fait généralement en mécanique technique.