Flexion •Impie. Hypothèse de Bernouilll

M et V étant supposés connus, il s'agit de déterminer les actions moléculaires développées en chaque point de la section transversale considérée. Résolvons d'abord le problème dans le cas particulier de la flexion simple, c'est-à-dire supposons V=o.

Il sera facile ensuite de passer au cas général de la flexion : il n'y aura qu'à combiner les actions moléculaires trouvées avec celles qui se développent sous Faction V. Le cas de la flexion simple se rencontre dans la pratique. La partie d'un essieu de wagon comprise entre les roues, la portion du prisme (fig. 47) comprise entre les deux forces intérieures travaille à la flexion simple. En effet, pour une section mm quelconque, les forces extérieures agissant sur la partie située à gauche

î In i

de la section se réduiseat à un couple unique de moment P/; et de sens positif, conformément à la convention faite plus haut sur les signes.

La détermination des actions moléculaires développées dans une section transversale n'est pas possible, si Ton ne dispose que des équations universelles d'équilibre. Du reste, si nous n'avions pas à tenir compte des déformations élastiques du prisme, corrélatives des forces extérieures agissant

„ sur lui, nous pourrions admel-

^ • tre une répartition quelconque

^ des actions moléculaires dans la :j section, pourvu que ces actions se réduisissent à un couple de \^ • moment égal à M et de signe

Fig. 17. contraire.

La seule chose que nous puissions afKrmer, au sujet de la déformation élastique qu'éprouve le prisme sous l'inQuence des forces indiquées dans la figure 17, est que les points d'application des forces extérieures se déplaceront les uns par rapport aux autres, dans le sens de ces forces. Supposons ces points d'application situés sur l'axe • longitudinal du prisme ; dans la déformation, cet axe se transforme nécessairement, par suite de la cohésion de la matière, en une courbe à faible courbure, tournant sa convexité vers le haut.

Cette courbe porte le nom de ligne élastique du prisme. Cette remarque sur la nature de la déformation est cependant trop peu précise pour qu'il soit possible d'en rien conclure sur Il répartition des actions moléculaires. On est obligé, pour faire cesser l'indétermination existant à cet égard, d'avoir recours à l'hypothèse. On admet que les sections transversales demeurent planes durant la déformation. Cette hypothèse, introduite d'abord absolument arbitrairement par Bernouilli, sert, depuis les travaux de Navier, de point de départ à la théorie de la flexion des prismes.

L'introduction d'une pareille hypothèse, sans aulre dénnonslration, paraît au premier ahord étonnante. Et cet élonnement est parfaitement juslitié si le postulatum est présenté, ainsi que c*est souvent le cas, comme un véritable axiome ; il est plus admissible, par contre, si Ton présente cette hypothèse comipe une loi naturelle, une proposition qui trouve sa seule jqstification dans le fait que les conséquences que Ton en tire concordent avec les résultats de l'expérience.

L'hypothèse de Bernouilli se trouve confirmée, tout au moins dans le cas de la flexion simple, pour les corps obéissant à la loi de Hooke. Pour les matériaux auxquels cette loi n'est pas applicable, l'expérience seule peut montrer si l'hypothèse de Bernouilli est encore vraie. L'auteur a soumis à des expériences de ce genre des échantillons de pierres de construction. Un prisme de pierre de section rectangulaire de 20 X 30 cm. de côté était placé de champ sur deux appuis distants de 1 m.50. Le long du contour de différentes sections transversales, on cimentait sur les faces du prisme de petites tiges de fer portant chacune un petit miroir. Lorsqu'on chargeait le prisme, les miroirs se mouvaient avec les parties du prisme auxquelles ils étaient fixés et l'on pouvait facilement constater les déviations, au moyen d'une échelle divisée et d'une lunette, selon la méthode si souvent employée en physique. L'auteur a constaté que les miroirs placés le long du contour d'une même section transversale exécutent sensiblement la même rotation, or ceci n'est possible que si les côtés de la section transversale sont restés rectilignes; en effet, s'ils se courbaient d'une façon appréciable, les éléments de cette courbe formeraient des angles divers avec la direction primitive du côté ; les miroirs devraient donc tourner d'angles différents. De plus, si les côtés d'une section transversale restent rectilignes, il y a de fortes raisons de supposer que la section elle-même demeure plane. Nous pouvons donc admettre cette expérience comme preuve que, même pour des matériaux auxquels la loi de Hooke n'est pas applicable, l'hypothèse de Bernouilli est suf-

fisacnment exacte. Par « suffisamment exact » nous entendons un degré d*approximalion assez satisfaisant pour qu^ilne puisse résulter d'erreurs grossières de l'application de Thypothèse de Bernouilli.

84. IVaCure ûen aeCionn moléculaires dans le eau de la fleiiLion «impie. — Dans le cas de la flexion simple (Effort trartchant V = o) il n'y aucune raison d'admettre l'existence d'actions moléculaires tangentielles dans une seclion transversale..

En effet, si elles existaient, elles seraient nécessairement en équilibre entre elles, mais par hypothèse la section transversale demeure plane ; il faut donc que ces actions tangentielles soient nulles, car elles entraîneraient des distorsions y de grandeurs et de signes différents, qui altéreraient les angles droits formés par les éléments plans de la section avec la directioi^ de Taxe longitudinal du prisme : la section transversale ne pourrait pas rester plane.

Ainsi donc, si V = o, les actions moléculaires tangentielles §ont également nulles. Il en résulte immédiatement que la section transversale est, dans le prisme déformé, perpendiculaire à la ligne élastique.

Considérons maintenant un prisme élémentaire, c'est-àdire, l'élément de prisme limilé par deux sections transversales infiniment voisines. Dans le prisme déformé, ces deux sections se coupent suivant une droite qui passe par le centre de courbure de- la ligne élastique. Les Gbres élémentaires avaient, à l'origine, toutes la même longueur; dans la déformation, celles d'entre elles qui sont situées du côté de la convexité de la ligne élastique subissent un allongement, celles sjtuées du côté de la concavité deviennent plus courtes; en général les longueurs nouvelles de ces fibres sont entre elles comme les distances des fibres au centre de courbure de la ligne élastique. D'après la loi de l'élasticité les déformations sont corrélatives des actions moléculaires développées. 11 fau-

dra donc qu'ici il y ait des actions moléculaires normales de signes différents, ce que nous savions déjà, puisque ces actions normales doivent se réduire à un couple. Nous venons de voir que certaines fibres subissent un allongement, d*autres un raccourcissement, nous savons de plus qu'une déformation est toujours continue ; il doit donc y avoir une couche de fibres qui n'ont subi aucune déformation. L'intersection de cette couche de fibres et d'une section transversale s'appelle Vaxe neutre de la section. Les variations de longueur des fibres sont proportionnelles à leur distance de l'axe neutre ; par suite, si la loi de Hooke est applicable, rintensité R des actions inoléculaires nowiales agissant en des points donnés de la section est proportionnelle à la distance de ces points à Paxe neutre.

C'est Navier qui, le premier, a déduit ce résultat de l'hypothèse de Bernouilli.

CONSÉQUENCES DE LA RÉPARTITION LINÉAIRE DES ACTIONS MOLÉCULAIRES NORMALES.

S5. Ponition de l'aiLe neutre dans une «eetion transveraale. — Prenons, dans le plan de la section transversale considérée, un système d'axes rectangulaires oyz, tel que l'axe des 2, coïncide avec l'axe neutre, R est alors indépendant de z, et, puisque R= o pour y=o, le terme constant que contient généralement une fonction linéaire, disparaît. En désignant par Ro l'intensité de l'action moléculaire normale en un point distant de yo de Taxe neutre, nous avons pour un point quel-

FLEXION DKS PRISMIÎS A AXE REGTILIGNE 81

conque, en vertu de larépavHlion linéaire des acltons moléculaires, la relation :

Ro

y yo

Ro

-y yo

Dans le cas de la flexion simple, les actions normales forment un couple, la somme des travaux d'extension doit donc èlrc égale à la somme des travaux de compression. L'équation (46) donne du resle R avec son signe, si Ton convient d'aflfecter y d'un signe difi'érent, selon qu'il est mesuré d'un côté oii de l'autre de l'axe neutre. Nous pouvons donc écrire simplement que la somme algébrique des actions moléculaires normales, étendue à toute la section transversale, est nulle.

Donc :

JRcIF == o en mettant pour R sa valeur (46), nous obtenons :

J yo ^ yo J ^

yo *- yo

d'où

SydY = o (47)

L'intégrale du membre de droite réprésente le mom^n/ 5/atique de la surface relatif à Taxe des z, l'équation (47) exprime donc la condition : Vaxe neutre de la section transversale doit passer par le centre de gravité de cette section.

Pour qu'il y ait équilibre entre les forces extérieures et les actions moléculaires, il faut, non seulement que les moments des couples formés par ces forces soient égaux et de signes contraires, mais encore que les plans de ces deux couples coïncident.

Cette dernière condition est remplie d*elle-mêmo dans la

82 CHAPITRE Ili

plupart des cas pratiques, où, en général, la section transversale possède un axe de symétrie et où les forces extérieures sont situées dans le plan de symétrie; car alors Taxe neutre de la section est perpendiculaire à ce plan de symétrie.

Traitons d'abord le cas où Vaxe neutre est perpendiculaire au plan du couple fléchissant y la section transversale étant d'ailleurs quelconque. Ecrivons les conditions d'équilibre : Téquation des moments relatifs à Taxe neutre (axe des z) donne :

R.rfF.y = M ou en remplaçant R par sa valeur (46)

5^/yW=M (48)

L'intégrale /y*rfF, qui s'étend à toute la surface de la section transversale, ne dépend que de la forme de celle-ci. La section étant connue, on pourra toujours former cette expression soit en effectuant directement l'intégrale indiquée, soit au moyen d'une quadrature. Elle porte le nom de moment d'inertie de la section relatif à Taxe des z. Désignons la par I, Téquation (47) s'écrira :

Ro = ^ yo (49)

Le problème : déterminer l'intensité Ro de Faction moléculaire agissant en un point distant de yo de Taxe neutre d'une section transversale donnée, est donc résolu. En tenant compte de la formule (46), on voit que Ton peut supprimer l'indice o dans l'équation (48). En général on désire surtout connaîtrel'intensité maximum R des actions moléculaires développées dans la section. Il suffit, pour obtenir ce maximum, de prendre pouryo laplus grande valcurqu'admette y. Soitym cette valeur, on peut réunir, en une seule les deux quantités qui ne dépendent que des dimensions de la section transversale en posant :

La formule (48) s'écrit alors :

Nous donnerons à W le nom de moment de résistance de la section (').

R désigne donc^ dans l'expression ci-dessus, le maximum de rinlensité des actions moléculaires normales, maximum qui a lieu dans les fibres les plus éloignées de Taxe neutre.

Vérifions Téquation (48) au point de vue des dimensions, si nous exprimons les longueurs en centimètres et les forces en kilogr. il vient :

cm. kg kg : — cm = ■

cm* cm*

ko

or -^' est bien la dimension de l'intensité d'une action molécm%

culaire : un quotient d'une force par une surface.

3«. Condition de valabillté des rorniuleii(40)et(6l).

— Les formules précédentes ne sont applicables que lorsque faxeneutre est perpendiculaire au plan du couple de flexion, que nous appellerons simplement, pour abréger, plan de flexion. Ecrivons Téquatiou exprimant la condition que le plan du couple des actions moléculaires coïncide avec le plan de flexion, pour cela, formons la somme des moments de toutes les forces par rapport à Taxe oy, lequel est, par hypothèse, contenu dans le plan de flexion : cette somme doit être nulle* Le moment des forces extérieures relatif à cet axe est nul. 11 reste donc :

VizdF = o

i. Divers auteurs, entre antres M. Résal, introduisent dans leurs calculs l'inverse de W, sous le nom de module de résistance» Les formules s'écrivent alors un peu plus simplement ; par contre, cette notation est désavantageuse pour les calculs pratiques. Les aides-mémoires et les catalogues des forges donnent en effet les valeurs de I et de W pour les profits courants, et

non celles des modules de résistance.

N. du T.

84 CHAPITRE m

OU, en Icnaat compte de la formule (46)

fzydF = 0 (52)

L'intégrale, du membre de gauche, qui s'élend à toute la section transversale, ne dépend que des dimensions de celle-ci et de la direction du système d'axes zoy. Elle porte le nom de proditit (Tinerlie ou de moment d'inertie composée ; nous la désignerons par la lettre $, affectée de deux indices indiquant les axes relativement auxquels cette expression est formée. L^équation (52) s'écrit :

Hz = o (83)

La condition cherchée peut donc se formuler ainsi :

Les formules (48) et (50) ne sont applicables que si le plan de flexion coupe la surface selon tme droite perpendiculaire à l'axe neutre et telle que le moment d* inertie composée de la section^ relatif à cette droite et à Faxe neutre, soit nul.

Un moment d'inertie ne peut être nul : les éléments de l'intégrale/y VF étant tous essentiellement positifs. Le moment d'inertie composée, par contre, peut être positif, négatif ou nul, les éléments xydF de l'intégrale ayant des signes différents suivant les quadrants.

Avant d'aborder le calcul de l'intensité des actions moléculaires dans le cas ou 9yz est différent de o, examinons les propriétés des moments d'inertie.