MOMENTS D'INERTIE

89. Relations entre les moments d'inertie relatifs à divers axes. — On appelle, comme nous Tavons vu.

FLEXION DliS PaiSMKS A AXE RECTILIGNE S5

moment (Tinerlie d'une surface rcIaliE à un axe, la sommo (les produits de cliacun des éléments do surface par le carié de la distance de cet élément à l'axe donné. Soîl donnée ip (fig. 18) une surface F et soit

AA l'axe relativement auquel on veut calculer le moment d'inertie. Menons une parallèle à AA par le centre degra- ' vite S do la surface et soit y la distance d'un élémentsuperficiel rfF à cette parallèle. On (Fig. 18) aura, par définition ;

Iaa =J[y -I- a)' (IF =y*ï/' rfF + 2 afydF + â'fdF

fydF est XamomeiU stafiqiie àe la figure. Cette quantité est iiutle, puisque l'axe auquel elle se rapporte passe par le centre de gravité, fdf n'est autre chose que l'aire cntiëre. Donc, en désignant par I le moment relatif & la parallèle passant par S, on a :

Iaa = I + a" F (54)

Il est par suite facile de calculer le moment d'inertie d'une surface pour n'importe quel axe, si l'on connaît les moments d'inertie relatifs à loasies axes passant parle centre de gravité. La formule (53) est en outre d'une grande utilité pour calculer le moment d'inertie d'une surface pouvant se décomposer en un certain nombre de surfaces plus simples; par exemple, en rectangles, comme dans le cas d'une section en forme de double té.

Comparons maintenant entre eux, les moments d'inertie de la surface relatifs à des axes de direction quelconque, passant par le centre de gravité S. Soit AA un de cesascs, a l'angle qu'il forme avecl'axe des y (Kg.lît), Soient y elz les coordonnées de l'élément <IF par rapport aux axes ySz, u et v les distances de cet élément à l'axe AA et à une droite perpendiculaire à AA, passant par S. (non tracée dans la figure).

s CHAPITBE m

Ona:

u = y cos a + 2 8in et V = — y sin ot + a cos a Soit la le moment d'inertie relatif à AA, il vient :

la î= jv*dF=f(zcosix — ysina')

rfF

Fig. 19.

ou, en développant:

Ia = cos'a rz'rfF4- sia'njy'dF — 2 sinacosa jyzdF

fz' dF = ly, moment d'inertie relatif à l'axe des y

f y* dF^ ïi, moment d'inertie relatif k l'axe des z

I yzdF= ^ty, moment d'inertie composée relatif kySz

donc :

Ia = Iy cos' a + Iî sin'a — *jjrsin2a (S5)

CalcuIoQS encore le momenl d'inertie composée ^a, par définition nons avons :

*a = / Mt;rfF= /(ycosa+^sina) ( — y sina+;jcosa) rfF

d'où^ toutes réductions faites :

ly — I^f ^a = — - — sin 2 a + ^^z cos 2 a (56)

Les formules (55) et(56) permettent de calculer les moments d'inertie pour n'importe quel axe, sitôt que l'on connaît les moments d'inertie relatifs à deux axes perpendiculaires quelconques.

9H. Axes principaux, et moment* prineipaax d'Iner-

tie. — Cherchons maintenant les valeurs de a pour lesquelles la devient un maximum ou un minimum. Si Ton dérive la par rapport à a, il vient :

— 7^= — 2 L costtsina + 2 h sin a cos a — 2 ^«7C0s2 a aoi.

== (L — ly) sin 2 a — 2 ^yz cos 2 a

Cette expression doit s'annuler lorsque la est maximum ou minimum. On a par suite :

(U — ly) sin 2 a — 2 cos 2 a 9yz = o d'où:

Il existe toujours deux augles compris entre o et tt et différant entre eux d'un angle droit qui satisfont à cette relation. En

4. On peut donc formuler le théorème : La dérivée du moment dlnertie relatif à un axe, prise par rapport à l'angle que forme cet axe avec Taxe des y, est égale à — 2 fois le moment d*inertie composée relatif à Taxe considéré et à la perpendiculaire passant par Torigine.Ce théorème permet d'établir facilement plusieurs propriétés des moments d'inertie.

(N. du T.)

formant la dérivée seconde de lo, on verrait facilement qu'à Tun de ces angles correspond un maximum et à l'autre un minimum. Il suffit du reste de prendre garde que la étant une fonction continue de a, Tune des valeurs correspond nécessairement à un maximum, l'autre à un minimum. Les axes dont les directions sont déterminées parla formule (56) portent le nom d'axes principaux d'inertie, ou simplement d'axes principaux. Les moments d'inertie relatifs à ces axes sont les moments principaux (rinertie,

On voit, d'après la valeur trouvée pour -^, que le moment

d'inertie composée relatif aux axes principaux est nul.

Toute figure possède au moins deux axes principaux. Si ^zy^= Of les axes yOz sont eux-mêmes les axes principaux. Il peut se faire que tout axe passant par S' soit un axe principal, ceci à lieu lorsque :

^yz = 0 et ly = Ij5

En effet, la fraction de la formule (57) prend dans ce cas

la forme indéterminée -. L'équation (56) montre que, <Pa = o

et (55) que la est constant. Ce cas se présente pour le carré, pour le cercle et, en général, pour tous les polygones réguliers d'un nombre pair de côtés.

Remarquons que les formules (55) à (57) ont été établies sans que nous ayons utilisé les propriétés du centre de gravité, elles sont donc applicables, non seulement aux axes passant par ce point, mais aux axes issus d'un point quelconque du plan.

89 Ellipse eeiitrale d'iiierlie. — Nous allons maintenant établir une représentation graphique des résultats précédents. Prenons les axes principaux pour axes de coordonnées rTéquation(55) se simplifie, on a :

FLEXION DES PRIS^MES A ÂXË RËCTILIGNH: 89

la = ly cos' a + I5 sin' a (58)

Il est toujours possible de considérer le quotient d'un moment d^inerlie par Taire de la surface donnée comme le carré une certaine longueur. Nous donnerons à cette longueur le nom de rayon de gyralioriy et nous la désignerons par la lettre t ; ainsi par exemple :

Divisons (58) par F, nous pourrons écrire :

l^ = ly* cos* a + tr' sin' a (60)

Il semble à première vue tout indiqué, pour obtenir une représentation graphique de u en fonction de a, de porter à une certaine échelle une longueur égale à toL dans la direction donnée et de considérer le lieu géométrique des extrémités des vecteurs ainsi déterminés. Ce serait toutefois peu commode, car la courbe obtenue serait du 4' degré. Il est facile d'arriver à une représentation graphique plus simple, en portant sur chaque axe une longueur inversement proportionnelle à ta.

Formons l'expression :

et substituons aux différents/ de l'équation (60), les longueurs -z correspondantes, il vient :

C'est là Téquation d'une ellipse, lieu géométrique des extrémités des vecteurs t.

Soient a et 6 les demi-axes d'une ellipse ((ig. 20). Traçons la tangente TT parallèle à AA ; p étant la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur TT, on démontre en géométrie analytique que

p^ = a' sin' a + />* cos» a (63)

En comparant avec la formule (60), on voit que jo est égal au rayon de gyration relatif à Taxe AA, si on Ta tz=aei ty =b. On reconnaît d'autre part, que ce sont précisément là les valeurs que fournit la formule (61) pour les demi-axes de rellipse('62). L'ellipse ainsi déterminée porte le nom d'ellipse (ftnertie. On remarque que, dans cet article, nous n avons pas fait usage des propriétés du centre de gravité, les ré-

Fig. 20.

sultats sont donc applicables à un point quelconque du plan de la surface considérée. L'ellipse d'inertie relative au centre de gravité porte le nom d'ellipse centrale d'inertie ou simplement d'ellipse centrale.

Nous pouvons arriver aux résultats précédents sans faire usage de la propriété, représentée par la formule (63). Considérons à cet effet Tellipse d'inertie comme projection d'un cercle. Traçons tous les carrés circonscrits au cercle : les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse, qui sont les projections de ces carrés, auront tous la même aire, les carrés circonscrits au cercle étant tous égaux.

Nous pouvons donc écrire :

pr= constante = xy 'Zz

FLEXION DES PRISMES A ÂXE REGTILIGNE 91

d'où:

Ty Tz __ ^

L'ellipse centrale étant donnée, on trouve le rayon de gyration relatif à un axe donné, en mesurant la dislance du centre de Tellipse à la tangente à Tellipse parallèle à la direction donnée. On n'a besoin d'aucun calcul, ce qui n'est pas le cas si Ton part du vecteur t, déterminé par l'ellipse sur Taxe considéré.

Indiquons encore comment on obtient^ le plus rapidement possible, l'ellipse centrale. Si la surface possède un axe de symétrie, la direction des axes principaux est connue ; il suffit de calculer les moments d'inertie et les rayons de gyrations relatifs à ces axes. Si les axes principaux ne sont pas connus, on pourra par exemple calculer les moments d'inertie et les rayons de gyrations relatifs à trois axes passant par le centre de gravité. En menant de chaque côté de ces axes des parallèles, à une distance égale au rayon de gyration correspondant, on obtiendra six tangentes à l'ellipse ; au moyen du théorème de Brianchon,on en déterminera ensuite d'autres, en nombre suffisant, pour pouvoir tracer l'ellipse avec Texactitudc désirée. Dans d'autres cas, il sera préférable d'employer la méthode générale, consistant à calculer les moments d'inertie relatif à deux perpendiculaires passant par le centre de gravité et à en déduire la direction des axes principaux et la valeur des moments principaux.

Air. pioments d'inertie polaire. — Nous nenous sommes occupés que des moments d'inertie relatifs à des axes situés dans le plan de la figure considérée. On peut aussi calculer le moment d'inertie d'une surface relatif à un axe qui coupe le plan de la surface sous un angle quelconque ou qui lui est parallèle. Un seul de ces cas jouit d'une certaine importance

dans la résistance des maiériaux : celui dans lequel Ta.'^e est perpendiculaire au plan de la surface donnée.

Le moment d'inertie relatif à un axe ainsi dirigé s'appelle moment d'inertie polaire. Nous le désignerons par I^. Il est défini par la formule :

où ;• désigne la distance de l'élément superficiel rfF à l'axe considéré. Menons dans le plan de la surface et par le point d'intersection de ce plan avec l'axe deux axes de coordonnées, il vient :

d'où :

Ip=Iy+I, (64)

Si nous désignons par Ii et I, les moments d'inertie principaux relatifs au point considéré, et en remarquant que nous n'avons rien supposé de spécial sur la direction des axes de coordonnées^ nous trouvons la relation :

I, +I,=Iy-hI^=Ip

c'est-à-dire : La somme des montants d'inertie relatifs à deux axes perpendiculaires quelconques menés par un point donné est constante et égale au moment d inertie jjolaire relatif à F axe passant par le point considéré,

41. Eiralaattoii des iiioiiieiits d'inertie à l'aide d^un d^un planiniètre. — Il n*existe certainement pas d'autre sujet, en mécanique techniqujB, sur lequel il ait été autant publié de travaux que sur la théorie des moments d'inertie et des régions centrales. Les méthodes d'évaluation des moments d'inertie, en particulier, sont innombrables. Il nous serait impossible de toutes les indiquer ici ; ce n'est du reste pas nécessaire, pas plus qu'il ne l'est de donner dans un traité de géomé-

Irie, loutos les démonstrations du ihéoième dePythagorc. Les méthodes graphiques sont du reste du domaine de lasladque graphique, menlionons en passant celle de Culmann et celle de Mohr, la plus élégante de toutes (voir noie I).

Nous ferons remarquer, qu'en principe, la détermination du moment d'inertie d'une surface ne saurait présenter de difficultés. Il est toujours possible de se tirer d'embarras en décomposant la surface donnée en une série de bandes étroites, au moyen de parallèles à Taxe relativement auquel on veut déterminer le moment et en envisageant ces bandes soit comme des rectangles, soit comme des trapèzes*. En prenant des bandes assez étroites, on obtiendra ioujours une exactitude suffisante pour les calculs pratiques de Résistance des matériaux.

Nous exposerons dans ce qui suit le principe sur lequel repose la construction du planimètre d'Amsler^ appareil destiné à l'évaluation mécanique des moments d'inertie. Soit

Fig. 21.

(fig. 2i) AA l'axe relativement auquel il s'agit de déterminer le moment d'inertie de la surface donnée. Formons d'abord le moment d'inertie de l'élément superficiel indiqué dans la figure au moyen de hachures, nous aurons :

dzjy'dy = dz,j

Supposons maintenant qu'une tige de longueur / se meuve

de lelle sorte que re^^trèmité B décrive le contour de la surface taudis que Tautre G glisse le long de Taxe AA. Nous avons :

M = / sin <p et par suite^ pour le moment d*inertie de la surface entière :

= 3 Jsin*<prf<p

en tenant compte de la formule

. , 3 sin 9? — sin 3 fl> sm' (f = —T -

nous pouvons écrire :

1 = 2 I ^^^ ?^? — 7? I ^^^ S(fdff

La tige BC est pourvue d'une roulette R, qui roule sur le papier, lorsque le point B décrit le contour de la surface donnée. Un vernier permet de lire exactement la quantité dont cette roulette a tourné. La rotation qu'effectue R pendant que B parcourt un élément du contour considéré, peut se décomposer en deux parties: Tune correspondant à la projection horizontale de Télément, Tautre à la projection verticale. Supposons que nous partions d'un des points situés sur Taxe AA, pour parcourir le contour ; la tige BC sera donc à Torigine horizontale, lorsque nous arrivons à l'autre de^ points du contour situé sur AA, la tige reprend la même position ; le chemin décrit dans le sens vertical par B est nul, donc les rotations de la roulette qui correspondent aux projections verticales des éléments de la partie du contour située d'un même côté de AA, se compensent.

Il suffit par suite de considérer les rotations dues aux projections horizontales des éléments au chemin de B. Pour l'élément du contour considéré dans la figure, cette projection horizontale est dz. Il est d'autre part hien évident que la roulette R n'effectue aucune rotation lorsque la tige se déplace

dans sa propre direction ; donc, lorsque B se déplace de dz dans le sens horizontal, la roulette tourne dans une direction perpendiculaire à la tige BC d'un angle proportionnel à dz sin cp. Ainsi, lorsque B aura parcouru la partie du contour située au-dessus de Taxe AA, par exemple^ Tangle dont aura tourné la roulette R sera proportionnel à

sin (fdz

Nous pouvons répéter les mêmes raisonnements à la partie du contour située en dessous de AA, en remarquant toutefois, que les deux facteurs du produits ^/zsincp changentde signe, de sorte que le produit lui-môme conserve le même signe que précédemment. Les rotations de la roulette déterminées par les déplacements horizontaux ne se compensent donc pas comme celles dues aux déplacements verticaux de la pointe B.

L'angle total dont a tourné la roulette R, est par suite une mesure pour l'intégrale / sin ^dz, étendue à tout le contour donné. On voit donc qu'il suffit de décrire une fois avec la pointe B le contour de la surface donnée, pour obtenir, abstraction faite d'un facteur constant dépendant de la construction de l'instrument, le premier terme de l'expression de L Le second terme de cette expression est exactement de la même forme que le premier, seul l'angle <f est remplacé par l'angle 3 <p. Il est facile d'obtenir la valeur de cette intégrale en ajoutant à l'instrument une seconde roulette^ tournant autour d'un axe, dont les coussinets sont reliés à la tige BC par un pignon et une roue dentée tels, que le rapport des vitesses angulaires des deux tiges soit égal & i : 3. L'axe de rotation de cette roulette, qui se meut sur le papier comme la roulette R, forme à chaque instant l'angle 3 cp avec AA ; l'angle dont elle tourne en tout, est par suite proportionnel au second terme de l'expression de L Nous avons donc finalement pouri l'expression :

I = an — pr, où a et p désignent deux constantes de l'instrument, déter-

9C CHAiMTRE) 111

minées expérimentalement et ?\ et r,, les lectures faites aus: roulettes.

Le planimètre d'Amsler est muni encore d'une troisième roulette, qui permet d'évaluer le moment statique d'une surface relatif à un axe ÂA.