Caleiil des intciiMtési des» aetious moléculairen

Le cas général de la flexion simple se présente lorsque le plan de la flexion ne contient pas r axe principal des sections transversales,

La pièce prismatique est faussée. Si les forces extérieures sont situées dans un même plan, nous les décomposerons chacune en deux composantes respectivement parallèles aux axes principaux des sections transversales, et nous réduirons ensuite chaque système de composantes à un couple fléchissant dont le plan contiendra un axe principal. Si, au contraire,les forces extérieures sont situées dans des plans différents, nous les réduirons à un couple résultant que nous décomposerons ensuite en deux couples dont les plans passent respectivement par Tun et par l'autre des axes principaux. Soit a Tangle formé par le plan du couple fléchissant M avec Tun des axes principaux, les moments des couples composants sont M cos a et M sin a. Nous pouvons calculer l'intensité des actions moléculaires développées par chacun d'eux au moyen des formules (49) ou (51), qui sont applicables ici à chacun des couples composants, puisqu'ils passent chacun par un axe principal. Nous obtiendrons Tintensité des actions moléculaires qui agissent réellement dans la section, en formant la somme algébrique des actions produites par chaque couple.

On a donc :

^ M cosa M sin « , ,„,

Un simple raisonnement indique ensuite en quel point de la section l'intensité R des actions moléculaires est maximum.

Pour démontrer l'exactitude de la formule(65), nous pouvons soit nous baser sur le principe de superposition, soit remarquer que la répartition des actions moléculaires représentée par (60) est linéaire, et que par suite il y a certainement équilibre entre les forces extérieures et les forces intérieures. Cet équilibre n'est en effet possible que pour une répartition linéaire unique et bien déterminée des actions moléculaires : la direction de Taxe neutre détermine sans ambiguité le plan du couple résultant des actions moléculaires, et Tintensité de ces actions à une distance donnée de Taxe neutre détermine à son tour la grandeur du moment de ce couple.

Si la loi de superposition n'est pas applicable à la matière dont est formée la pièce considérée, la première justification n'est plus utilisable ; la seconde du reste ne l'est pas davantage, car dans ce cas la répartition linéaire des actions moléculaires est très problématique. Il ne faut alors plus compter sur l'exactitude de la formule (65), elle peut au contraire fournir des résultats très différents de la réalité.

4S. ApplicMilioo. Calcul des dimensions d'ane panne

de toiture. — Appliquons la formule (65) à un exemple simple, savoir au calcul d'une panne de toiture. Nous avons affaire là, à une poutre placée de telle sorte que les côtés de la section transversale sont parallèles ou perpendiculaires à la pente du toit, tandis que les forces extérieures sont situées dans un plan vertical. Supposons ces forces (y compris le poids propre) uniformément réparties sur la longueur / de la poutre. Le moment fléchissant maximum se produit au milieu de la pièce ; il est égal, comme on trouve facilement, à :

Q désignant la charge totale de la pièce de bois. Le plan

de ce couple est vertical, il forme donc les angles a et -« — a

avec les axes principaux de la section, les moments des couples composants sont indiqués dans la figure. Pour le moment d'inertie d'un rectangle, nous trouvons :

I,=/y«rfF

dy =

et pour le moment de résistance :

les moments relatifs à Taxe s'obtiennent en permutant 6 et A

dans les formules. Les axesy,js partagent la section transversale en 4 rectangles. On reconnaît immédiatement que dans deux de ceux-ci les actions moléculaires développées par chacun des couples fléchissants sont de signes contraires et par suite se compensent en partie, tandis que dans les deux autres, ces actions sont de même signe et s'ajoutent. On voit ainsi que le plus grand travail de compression se produit en A et le plus grand travail d*extension en B, ces deux travaux étant égaux en valeur absolue. On trouve pour ce travail maximum :

Fig. 22.

^ M cos ot M sin a

^ 6 M cos a 6 Msin «

6A« ' b^h la projection horizontale (; de la section est égale à :

c = b cos a + A sin a d'où :

Si nous faisons* = o, nous retombons sur la formule ordinaire de la flexion.