A L'AXE LONGITUDINAL

•44. Oaleul de* aetionii moléeulaire* développée* danii une seetlon transvcmale quelconque. Région

centrale d'une surfaee. — Admettons ques les forces extérieures agissant sur la partie du prisme considérée se réduisent à une résultante unique, parallèle à Taxe longitudinal.

C'est là un cas de résistance composée. En effet, nous pouvons remplacer la résultante des forces extérieures par une force égale et de même signe coïncidant en direction avec l'axe longitudinal et par un couple dont le plan passe par Taxe du prisme. Nous décomposerons ce couple en deux autres agissant dans des plans passant par les axes principaux de la section transversale.

CIIAPIÏHK JIl

Considérons Tellipse centrale de la section transversale (dans la tig. 23 on n'a tracé que cette ellipse, la forme de la section n'intervenant pas autrement dans le calcul).

Soient A le point d'application de la résultante P des forces

Fig. 23

extérieures, ii et v les coordonnées de ce point ; soient encore r/F un élément de surface de la section, xei y ses coordonnées ; l'intensité de l'action moléculaire normale développée en ce point est donnée par la formule :

P Pt; Pm

F ' ly ' I«^

Le premier terme de cette expression représente l'intensité des actions normales développées par l'effort normal, les deux autres termes donnent les intensités des actions développées par les deux couples fléchissants. £n introduisant les demiaxes a et 6 de l'ellipse centrale, on pourra écrire :

Cette expression doit s'annuler pour les points de l'axe neutre de la section transversale ; nous obtenons donc pour équation de cet axe :

X et y étant les coordonnées courantes. C'est là Téquation d'une droite (il ne saurait en être autrement, du reste, l'expression posée pour R le supposant implicitement).

L'équation (68) fait correspondre à chaque point ^/, v du plan une droite déterminée ; étudions la nature de cette rela-

Supposons d'abord le point A situé sur l'ellipse centrale ; r, et \ désignant les coordonnées d'un point de celle-ci, nous avons la relation :

Si l'on fait ii = tj et v = $, Téqûation (68) est satisfaite si Ton prend y= — irjel;s= — Ç; on reconnait qu'elle est identique à Téquation (69). Donc, dans ce cas, Taxe neutre passe par le point de l'ellipse diamétralement opposé au point considéré ; de plus, cet axe est tangent à l'ellipse : en effet, en dérivant les équations (68) et (69), il vient :

a} b^ dy

-4-1^ = a* "*" 6« rfiî ~ ^

Ces deux expressions sont identiques pour // = — r, et 2 = — i, donc :

dr d^ dy d-n

L'axe neutre est, dans ce cas particulier, une tangente àTellipse centrale; sa position est donc complètement déterminée. Admettons maintenant que le point A se déplace le long d'une droite passant par le centre de gravité, u etu varient dans le

ds même rapport, -^ reste par suite constant, et l'axe neutre se

déplace parallèlement à lui-même. Plus le point d'application A de la résultanle se rapproche du centre de gravité, plus l'axe neutre s'en éloigne, et cela de lolle façon que le pro-

duit des distances du pointet de Taxe neutre au centre de gravité demeure constant. Lorsque Taxe neutre coupe Tellipse centrale, le point A est situé à l'extérieur de Tellipse et vice versa. Si le point  s'éloigne à Tinfini, Taxe neutre passe par le centre de gravité, ce qui est naturel car ce cas n'est autre que celui de la flexion simple : une force infiniment petite dont le point d'application est à l'infini produit un moment fléchissant fmi, tandis que l'effort normal, égal en grandeur à la force, est négligeable. Si inversement le point d'application A coïncide avec le centre de gravité, l'axe neutre est situé à l'infini, les actions moléculaires sont réparties uniformément sur la section, et nous retombons sur le travail à l'extension ou à la compression d*un prisme droit.

Faisons décrire au point A une droite quelconque : à chaque position de A correspond un axe bien neutre déterminé ; recherchons comment cet axe varie lorsque A décrit la droite donnée. Soit :

l'équation de celle-ci, a et ^ désignant deux constantes arbitraires. Soient w,, v^ et w„ v, les coordonnées de deux points quelconques de cette droite et proposons-nous de déterminer l'intersection des axes neutres relatifs à ces points. Les équations de ces axes sont :

d'où résulte pour les coordonnées du point d'intersection cherché :

Les coordonnées t/j, t\ et i^„ v, des deux points arbitrairement choisis ne figurent pas dans ces expressions. Donc lors-*

que le point A décrit une droite^ l'axe neutre correspondant tourne autour d'un point déterminé correspondant à la droite décrite par A. Si le point A coïncide avec ce point dont les coordonnées sont :

on trouve, en substituant dans (68), pour équation de Taxe neutre correspondant :

c'est précisément là Téquation de la droite décrite par A.

Nous avons donc ici des propriétés absolument analogues à celles despAles et polaires dans la géométrie des sections coniques. La seule différence est que dans le cas présent, le point correspondant à une tangente à la conique n'est pas le point de contact, mais le point de Tellipsc diamétralement opposé; de même pour un point ou une droite quelconque. Nous appelons ici les points et droites correspondants^ antipôles et antipolaires.

Les résultats précédents peuvent se formuler ainsi :

i") L'axe neutre correspondant à un point de la section pris comme point d'application de la résultante des forces exté* rieuresest Tantipolaire de ce point par rapport à l'ellipse centrale. De là résulte la propriété corrélative : Le point d'application de la charge correspondant à un axe neutre quelconque est Tantipôle de cel axe par rapport à Tellipse centrale ;

2"") Si le point d'application de la force décrit une droite, Taxe neutre tourne autour de l'antipôle de la droite ; inversement, si Taxe neutre tourne autour d'un point fixe, le point d'application de la force se déplace le long de Tantipolaire du point considéré;

3^) Si le poinl d'application décrit une courbe du second degré, les axes neutres correspondants enveloppent une autre conique.

Dans les applications des théorèmes précédents, ilestindif-

104 CHAPITRE m

férenl que Taxe neutre coupe ou non la surface donnée. S'il ne la coupe pas, les actions moléculaires développées dans la section sont toutes de même signe. Si Ton lient compte de cette remarque, il est facile de résoudre le problème suivant : déterminer le lieu des points d'application de la résultante des forces extérieures pour lesquels les actions moléculaires développées dans la section soient toutes de même signe. Ces points d'application sont situés à l'intérieur d'une certaine région que nous nommerons réffion ce^itrale de la section donnée. Le contour fermé qui limite celte région est le Heu géoniélriqne des antipôles de toutes les tangentes au contour de la section donnée^ et plus généralement de toutes les droites qui ont un point commun avec ce contour et qui ne coupent pas la surface. En effet, Tanlipolaire de tout point situé à l'intérieur de la région limitée ne coupera pas la surface ; les actions moléculaires développées dans la section seront de même signe : ceci est encore vrai à la limite pour un point du contour de la région centrale, puisque aux points de ce contour ne correspondent que des droites qui ne coupent pas la surface.

La considération delà région centrale d'une surface donnée est en particulier utile dans l'étude de la stabilité des maçonneries. L^expérience démontrant que la maçonnerie ne présente qu'une faible résistance à Textension, on pose en général la condition que le point d'application de la charge transmise par une section transversale soit situé àTintérieur de la région centrale de la section considérée, afin que le long de celle-ci la maçonnerie ne travaille qu^à la compression. Ceci suppose, comme fout ce qui précède, une répartition linéaire des actions moléculaires. Or on peut avoir des doutes sur Texactitude de cette hypothèse pour de la maçonnerie, laquelle ne satisfait certainement pas à la loi de Hooke. Jusqu^à présent, cependant, cette règle s'est toujours confirmée ; il n'y a donc pas lieu de se méfier de son application. Il convient toutefois de ne pas perdre de vue la base hypothétique sur laquelle elle repose.

FLEXION DKS PRISMES A AXE REGTIUGNE

afin de ne pas trop présumer des résultats théoriques qui en découlent.

46. itpplieations. — Région centrale (Tun rectangle. Soient a et 6 les côtés du rectangle ; le moment d'inertie principal relatif à Taxe parallèle au côté a est, comme nous l'avons vu

le rayon de gyration correspondant est donc égal à :

Les quantités relatives à Tautre axe principal s'obtiennent en permutant a et b. Les axes de l'ellipse centrale sont ainsi

déterminés, il est possible de construire celle-ci. L'ensemble des tangentes qui ne coupent pas la surface est formé ici des 4 côtés du rectangle et de toutes les droites passant par les

angles du rectangle sans le couper. On passe donc d^un côté au suivant en faisant tourner la tangente autour du sommet commun ; or on sait que, dans ce cas, Pantipôle décrit une droite, savoir Tantipôle du sommet considéré ; la région centrale d'un rectangle est par suite un quadrilatère. Par raison de symétrie, on voit immédiatement que ce quadrilatère est un losange. Il suffit d'en déterminer les sommets, situés sur les axes principaux. L'antipôle du côté aa est le point A. On sait que le produit des distances de l'axe et de son antipôle au centre de gravité de la figure est constant et égal au carré du demi-diamètre de Tellipse conjugué à la direction considérée. On a donc ici :

Chaque diagonale du losange est donc égale au tiers du côté du rectangle, qui lui est parallèle. De là la règle que dans les piles en maçonnerie, le point d'application de la charge soit situé à rintérieurdu tiers moyen du joint, supposé, naturellement, que le point d'application soit contenu dans un des plans de symétrie de la pile.

La région centrale d'un cercle est elle-même un cercle. Calculons d'abord le moment d'inertie polaire du cercle par rapport au centre. Soit a le rayon du cercle ; nous décomposons l'aire en anneaux de largeur infiniment petite ; tous les points d'un tel anneau étant équidistants du centre^ nous pouvons le prendre comme élément superficiel du cercle, et par suite écrire :

I« = 2it

/ r^dr=^—

Les moments d'inertie relatifs aux axes issus du centre sont évidemment égaux entre eux ; donc, en vertu de la formule (64), on trouve pour ces moments la valeur ;

et pour le rayon de gyralion :

de là nous tirons, comme plus haut, pour le rayonz de la région centrale :

Région centrale cTuneaire elliptique. Le plus simple est de considérer l'ellipse comme projection d^une circonférence. Soionl a le demi*grand axe, b le demi-petit axe ; posons b =a cos a, a étant donc l'angle formé par le plan du cercle avec le plan de projection. Soit la le moment principal relatif au grand axe, nous aurons :

la = fz'dF = cos' a fzi'

dFj

Zi et dFi étant les quantités dont les projections sont z el clF\ donc :

la = COS a I z'rfr = cos' a — = -—

de même :

h = jy'dF = cos a fyi'dFi

nous avons ici simplement cos a et non cos' a comme plus haut, parcejue y et t/i sont parallèles

15 = cos a — - = — —

les rayons de gyrations principaux sorîl par suile :

L'ellipse centrale esl donc semblable à rellipselirailant Taire donnée. La région centrale est, elle aussi, limitée par une ellipse semblable et semblablement placée. On trouverait, exactement comme dans le cas du cercle, que les axes de celte ellipse sont égaux au quart des axes de Tellipse donnée.

45. Caleul des actions inoléeulaires développées dans une seetion transversale d'an prisme travaillant à la flexion simple, à l'aide de la régrion centrale de la seetion. — Nous avons déjà remarqué précédemment que le travail d'un prisme à la flexion simple n'est, après tout, qu'un cas particulier du travail d'un prisme soumis à Tinfluence d'une force dirigée parallèlement à l'axe longitudinal. Nous pouvons donc utiliser les résultats des articles précédents pour résoudre le problème traité à l'article 42.

Dans la figure 25, la section transversale est supposée rectangulaire pour fixer les idées : elle pourrait naturellement avoir une forme quelconque. Soit BB la trace du plan de flexion sur le plan de la section transversale, nous pouvons envisager le couple fléchissant comme une force infiniment petite appliquée au point à Tinfini de la droite BB. L*axe neutre correspondant NN est Tantipolaire de ce point ; il coïncide' donc avec le diamètre de l'ellipse centrale, conjugué à la direction BB. Ce diamètre est parallèle à la tangente à l'ellipse menée au point d'intersection de BB avec l'ellipse. L'intensité des actions moléculaires normales atteint son maximum dans Tarète la plus éloignée de l'axe neutre : soit e, le maximum de cette distance; pour calculer l'intensité maximum R^ des actions moléculaires, nous posons que le moment résultant des actions moléculaires est égal au moment du couple fléchissant par rapport à l'axe NN. La condition que les actions moléculaires forment un couple est remplie par le fait même que

lO'J

nous avons déterminé la position exacte de Taxe neutre ; il sufiil donc de nous occuper de la grandeur des moments. Le

Fig. 2S

couple fléchissant n'est pas perpendiculaire à Taxe neutre, il forme avec NN l'angle a; le moment du couple fléchissant pris par rapport à NN ne sera donc pas M mais M sin a.

L'intensité de l'action moléculaire développée en un point distant de y de l'axe neutre est, suivant l'hypothèse de Navicr;

La condition d'équilibre entre les forces extérieures et les forces intérieures est par suite :

Msina=— /î/WF=-j I„

In étant le moment d'inertie de la de la section relatif à Taxe NN. Nous avons d'autre part, par construction :

hn = /*

ou, en considérant au lieu de ces 3 quantités leurs projections sur la direction perpendiculaire à NN :

k sina. e = /*=-^

/ étant, par définition, le rayon de gyration relatif à Taxe NN. En remplaçant dans la condition d^équilibre, Im par sa valeur tirée de la relation précédente et en résolvant par rapport à Bo nous obtenons :

Il est possible de donner à cette formule une forme un peu différente ; en généralisant la notion de moment de résistance introduite d'abord dans la formule 50, nous définirons le moment de résistance le produit de la surface F par la longueur k. Cette définition nouvelle n'est pas en contradition avec la précédente, (formule 50), laquelle n^était valable que si le plan de flexion contient l^un des axes principaux delà section: car on a dans ce dernier cas :

et par suite :

-i-=FA.

yo

En admettant cette généralisation, la formule (71) peut s'écrire :

Ro = ^ (72)

Elle est exactement de même forme que la formule (51).

FLEXION DES PRISMKS A AXE REGTILIGNE 141

Le calcul de Ro , au moyen de celle relalion, est en luimême beaucoup plus simple qu'en ulilisanl la formule de Tarlicle (42), à condition toutefois de connaître la région cen- Irale de la section transversale du prisme. Si les catalogues des profils courants de fers laminés donnaient les dimensions de la région centrale, comme le vœu en a été souvent exprimé, il n'est pas douteux que les formules (71) et (72) ne devinssent d'un emploi fréquent. Par contre, si l'on ne connaît pas la région centrale de la section, il est clair que la méthode de Tarticle 42 est plus rapide.

Il est aisé aussi de déterminer, à l'aide de la méthode précédente, quellecstladirectiondu plan de flexion BB pour laquelle le danger de rupture est maximum, c'est-à-dire de déterminer pour quelle direction de BB, Ro atteint sa plus grande valeur, le moment fléchissant étant supposé donné une fois pour toutes. Ce sera évidemment la direction de BB à laquelle correspond la plus petite valeur de A, donc, si la section est rectangulaire, la direction perpendiculaire à l'une des diagonales. Ce résultat découle aussi delà formule (66), dans laquelle la seule quantité dépendant de la direction du couple fléchissant est c (fig. 22). Cette longueur atteint précisément sa plus grande valeur dans le cas cité, elle est alors égale à la diagonale du rectangle.

DÉTERMINATION DES ACTIONS MOLÉCULAIRES TANGENTIELLES AGISSANT DANS UN PRISME