SP

Ce calcul suppose toutefois qu'en faisant croître x de dx nous ne dépassons pas le point d'application d'une force concentrée, car dans ce cas, M serait bien continu, mais — par I

contre, éprouverait une discontinuité : cette dérivée passerait ^

brusquement d'une certaine valeur à cette valeur diminuée de /

rintensité de la force agissant au point considéré. Si la charge agissant sur la pièce est répartie d'une façon continue sur

toute la longueur de celle-ci, — est, elle aussi, une fonction

continue de x.

On voit donc, en comparant les formules précédentes que :

la dérivée du moment fléchissant^ prise par rapport à V abaisse dune section transversale quelconque^ est égale à l'effort tran^ chant agissant dans cette section. Celte propriété esl absolument générale, car V, lui aussi, présente des discontinuités lorsque la section transversale considérée passe par une charge concentrée. Il est encore possible d'établir la relation (73) de la façon suivante : M et V étant le moment fléchissant et l'effort

FLEXION DES PRISMES À AXÉ REGTILIGNE ll8

tranchant pour une section donnée, si nous passons à la section voisine distante de dx^ le déplacement de Y au centre de gravité de la nouvelle section fait naître un couple 4e moment Vrfar, qui représente l'accroissement rfM de M. D'où :

(M = Wdx.

Revenons maintenant aux conditions d'équilibre de l'élément de prisme indiqué dans la Bgure (26). Formons la somme des composantes selon Taxe longitudinal des forces agissant sur ce corps et égalons-la à o. Nous avons d^abord les actions moléculaires normales agissant dans les deux sections transversales. Dans la section x, leur intensité R est (form. 49) :

R=Yy dans la section d'abscisse x + dx^ elle sera

ces actions normales agissent en sens contraire; leur résul*

tante est donc

I rfR.rfF = dxj j

dyF

l'intégrale s'étendant naturellement à la partie hachée de la section transversale. Dans la face parallèle à l'axe du prisme, agissent des actions tagentielles d'intensité Sux, Taire de cette face est bdx^ et la résultante de ces actions est

Sux bdx par suite, nous avons

Sux bdx

d'où nous tirons la valeur de Sux et par suite celle de Sxu, c'est-à-dire la valeur de l'intensité des actions tangentielles agissant dans la section à une distance u del*axe neutre.

^ux = r. ff yrfF (74)

L'intégrale n'est autre chose que le moment statique relatif à l'axe neutre de la partie de la section transversale située au-dessus de la droite y = w. Pour une section rectangulaire :

et par suite

en général, désignons ce moment statique par la lettre T: (74) s'écrit alors

Sx«=-^ (75)

En effet, cette formule n'est pas seulement valable pour une section rectangulaire, mais encore pour toute section qui, à l'endroit où nous déterminons l'intensité des actions tangentielles, est limitée par deux droites parallèles au plan de flexion, par exemple pour une section double té.

L'équation (75) montre que l'intensité Sxu des actions tangentielles est nulle dans la couche de fibres la plus éloignée de l'axe neutre, c'est-à-dire à l'endroit où l'intensité des actions normales est maximum. Inversement, S«u atteint sa plus grande valeur le long de Taxe neutre, soit là où les actions normales sont nulles. Si la section est rectangulaire, on voit que Sxti est une fonction du second degré eu u, en portant en chaque

FLEXION DES PRISMES A ÂXE REGTIU6NE 117

''rh.

l point de la section sur un vecteur perpendiculaire à celle-ci f

1 une longueur proportionnelle à la valeur correspondante de

! Sxuy le lieu des extrémités de ces vecteurs serait un cylindre

parabolique.

Les actions moléculaires tangentielles no sont donc pas \ réparties linéairement sur la section comme les actions nor-

^ maies.

^v^nX '^ 49. RéiMiriilloii des aetioas nioléealaires tann^en* tiellen pour d'autres formes de seetlon transver* sale. — Nous exposerons la méthode en l'appliquant à une section circulaire. Celle-ci a, en efiel, une importance toute ' .. spéciale, à cause du calcul des rivets qui travaillent toujours V au glissement. Il n'est plus possible ici de supposer Sx« égal à o comme dans le cas de la section rectangulaire ; en effet, sur le contour de la section, l'action^ moléculaire tangentielle est dirigée selon la tangente à ce contour, elle possède donc '' une composante dirigée suivant Taxe des z. Cela résulte de la

considération d'un parai lélipipëde iufiniment petit dont une arête coïncide avec un élément du contour de la section, à condition toutefois d'admettre que la surface du prisme n'est soumise à Faction d'aucune force parallèle à Taxe longitudinal. Si l'action moléculaire tangentielle à la périphérie avait une composante normale au contour,^ il faudrait, pour qu'il y eûl équilibre, que des forces extérieures parallèles à l'axe longitudinal agissent à la surface du prisme, et cela pour la mémo raison que celle dont nous avons tiré la relation :

On peut se demander si, justement dans le cas d*un rivet

entouré par les t6les qu'il relie, il ne se produira pas des forces

' extérieures de ce genre provenant du frottement ; le calcul que . . .

nous allons entreprendre est donc peu sur, précisément pour

l'une des applications les plus fréquentes. C*est pourquoi

il est préférable, dans les calculs de rivures/de s'en tenir aux résultats expériraenlaux plutôt que d'employer la formule que nous allons établir. Les résultats des essais montrent en général que la résistance des rivets au glissement est plus grande que celle indiquée parle calcul. Cette résistance est a peu près aussi grande que si les actions tangentielles étaient réparties uniformément sur la section transversale.

Admettons donc la pièce absolument libre dans toutes ses dimensions transversales^ au moins dans le voisinage de la section transversale considérée. Les actions moléculaires tangentielles en un point de la périphérie sont alors dirigées selon la tangente au contour ; en un point de Taxe y elles sont évidemment, par raison de symétrie, dirigées selon cet axe. Nous ne commettons par suite pas une très grande erreur en admettant que les actions de glissement en des points situés sur une même corde perpendiculaire à Taxe y passent toutes par le point P (fig, 28), intersection de Taxe y avec les

Fig. 28

tangentes au contour menées aux extrémités de la corde considérée. De plus, nous admettons que la composante S^y de rintensité des sections tangentielles est constante le long d'uae

môme corde, c'est-à*dire indépendante de z. Celte hypothèse est sans doute plus sujette à caution que la première ; c'est toutefois la plus simple que Ton puisse faire, et elle suffit pour un calcul approximatif.

A l'aide de ces hypothèses, le problème est facile à résoudre : on calculera Sxy à Taide de la formule (75), dans laquelle T signifie le moment statique par rapport è Taxe neutre de la portion de la section indiquée par des hachures dans la figure (28), puis on déterminera Sxz en se servant de la condition que la résultante passe par le point P.

50. Coarbes enveloppes des direetions des aetlons moléeulaireii priiieipales. Influence des aetlons mêléeulairea tong^entielles sur le danger de rupture d'un prisme travaillant à la flexion. — Nous venons de voir qu'une section transversale quelconque d'un prisme travaillant à la flexion subit des efforts normaux et des efforts de glissement L'action moléculaire normale n'est donc pas une action jpvincipale. Les directions principales de Tétat élastique sont en général inclinées d'un angle quelconque sur Taxe longitudinal. Dans Jes fibres les plus extérieures, où R est maximum et S nul, et dans les fibres moyennes où R = o et S'est maximum, seules, les actions normales et tangentielles sont respectivement des actions principales. C'est grâce à cette circonstance qu'il suffit, dans la plupart des problèmes, de calculer la valeur maximum de R pour reconnaître à quel travail la matière est soumise.

Ce procédé n'est plus admissible, lorsque les actions tangentielles sont grandes comparativement aux actions normales, c'est-à-dire lorsque V est grand et M petit, cas qui se présente lorsque le prisme possède une grande section et une faible longueur.

Le prisme étant court, les bras de levier des forces sont petits, par suite aussi les moments fléchissants, de sorte qu'un tel solide, en ne tenant compte que des efforts normaux, est

susceptible de supporter des charges relativement grandes. Mais d'autre part V grandit^ les efforts de glissement ne sont plus négligeables, et il peut se faire même que la résistance de la pièce dépende d'eux exclusivement.

Il est donc désirable d'avoir une vue d'ensemble sur les directions des actions moléculaires principales dans les différentes parties du prisme. On construit à cet effet les courbes enveloppes des directions des actions moléculaires principales et les courbes enveloppes des directions selon lesquelles les actions moléculaires de glissement sont maximum. Les premières forment un système de courbes qui se coupent à angle droit) de même les secondes ; de plus, celles-ci coupent les premières sous un angle de 45^. L'équation différentielle de ces courbes est facile à établir ; Tintégralion par contre, même dans des cas simples, est fort compliquée. La figure 29 donne ces courbes pour un prisme encastré à une extrémité

Fig. 29

et soumis à une charge uniformément répartie. Les courbes enveloppes des directions principales coupent les fibres extérieures sous un angle de 90^ et Taxe longitudinal sous un angle de 45^. Les courbes enveloppes des directions des efforts tangentiols maxima coupent les fibres extérieures

SOUS UQ angle de 45^ et Taxe longiludinal, sous un angle de 90^

La délerminalion des actions moléculaires tangenlielles est spécialement importante lorsque la matière dont est formé le prisme est de nature fibreuse et ne possède qu'une faible résistance au glissement dans le sens des fibres. C'est le cas par exemple pour le bois. Il arrive assez souvent qu'une poutre de bois, même lorsque la longueur est relativement grande comparativement aux dimensions de la section transversale, se rompt lorsqu'on la charge au milieu par suite de la faible résistance au glissement. Le danger d'une rupture de ce genre est d'autant plus grand qiiè le rapport de la longueur do la pièce à la hauteur de la section est plus petit.

Déterminons à partir de quelle valeur de ce rapport le danger de rupture dépend des efforts normaux seulement. Considérons une poutre de bois de longueur 2/, chargée au milieu d'un poids 2P. Soit h la hauteur de la section que nous admettrons rectangulaire. Nous aurons

V=P Mma* = P/

par suite

et (éq. 74)

p àh^ b\ 26A

Soit n lé rapport entre la résistance du bois à la compression (cette résistance est un peu plus petite que la résistance à Pextension, toutes deux étant comptées dans le sens des fibres) et

in CHAPITRE III

sa résislance au glissemeol dans le sens des fibres ; nous aurons Téquation de condition

6W 3 P^ bh* ~^'lbh

n est environ égal à 10 ; donc, si la portée de la poutre dépasse 5 fois sa hauteur, le danger de rupture ne dépend plus des efforts de glissement. Exceptionnellement (surtout pour le sapin blanc), n peut prendre des valeurs beaucoup plus grandes ; ces valeurs anormales de n sont rares, elles ne se rencontrent jamais pour d'autres matériaux que le bois, pas même pour le fer corroyé qui, de tous les métaux, présente au point de vue de la structure le plus d'analogie avec le bois. Il est donc ainsi démontré que Ton peut sans danger négliger en général les actions moléculaires tangentielles.

Mentionnons cependant encore un cas. Pour un double té, le moment statique T de la formule (75) est presque aussi grand pour la plate-bande seule que pour la moitié de la section. L'intensité des actions tangentielles à la jonction de rânffe et de la plate-bande sera donc relativement grande, tandis que celle des actions normales ne sera pas encore beaucoup plus pelite que sa valeur maximum dans les fibres les plus extérieures. Il peut donc se faire que l'action moléculaire principale soit plus grande que dans la fibre la plus extérieure ; ici encore ce fait se produira d'autant plus facilement que la poutre et plus courte est plus haute. On trouvera dans les exercices à la fin du chapitre un exemple numérique.

Poutres riirée(i. — Un prisme est formé souvent de plusieurs parties, de telle façon que la section transversale soit égale à la somme des sections transversales des parties composantes. Si celles-ci faisaient corps entre elles, il se développerait

dans les surfaces le long desquelles elles se louchent des actions moléculaires tangentielles. Ces actions ne pouvant exister (les frottements dans ces surfaces ne les remplacent pas complètement), il faut, pour que le prisme se comporte comme s'il était d'une seule pièce, que les organes qui relient les différentes parties entre elles soient capables de résister aux forces extérieures.

On emploie surtout fréquemment des poutres formées de tôles rivées ensemble, auxquelles on donne en général une section double té afin d'obtenir, en employant le moins de métal possible, un grand moment dMnertie. Les plates-bandes sont reliées à Tâme au moyen de cornières et de rivets. Ce sont ici les rivets qui ont à résister aux efforts de glissement. Calculons la force qui agit ainsi sur un rivet N reliant les cornières à Tâme. Soit (fig. 30) e la distance de deux rivets consécutifs. Le rivet N doit pouvoir résister à une force correspondant à la différence des actions normales R développées dans les pfates-bandes et dans les cornières, dans deux sections transversales distantes de e Tune de Tautre ; en effet le

rivet joue ici le même rôle que les

T actions tangentielles agissant sur la r^ ^4^ S^ I' face bdx de Télément de prisme con- 1 — £4 J sidéré à l'article 48 (fig. 26), la seule

différence étant qu'ici les deux sections tansversales sont distantes de e et non de dx> Nous aurons donc comme précédemment :

R = -y et AR=Yy = -jy

la force P agissant sur le rivet est donc :

P=f^^.dF=YfydF

i24 CHAPITRE UI

T désignant le moment statique relatif à Taxe neutre des parties de la section transversale reliées à Tâme par le rivet N.

La formule (76) pourrait servir également au calcul des poutres de bois composées de plusieurs parties reliées par tenons et mortaises, telles qu^on les employait anciennement dans les constructions.