A LA FLEXION
&f . Equation différentielle de la ligue élastique. —
Nous n'avons jusqu'ici tenu compte des déformations du prisme qu'autant que cela était nécessaire pour la détermination des actions moléculaires. Nous allons maintenant étudier la ligne élastique du prisme, c'est-à-dire la courbe en laquelle Taxe du prisme se transforme par suite de la flexion.
Nous supposons de prime abord que cette flexion est toujours très faible, le cas contraire n'étant d'aucun intérêt pour les applications. Calculons d'abord Tangle do dont tournent, Tune par rapport à Tautre, deux sections transversales distantes de dx Tune de l'autre. Une fibre élémentaire distante de y de Taxe neutre éprouve une variation de longueur égale à ydtf, La relation existant entre dx^ t/d'f et Tintensité de l'action moléculaire normale agissant sur la fibre considérée est donnée par la loi de l'élasticité :
l/df R
dx E
d'où, en remplaçant R par sa valeur (49) :
rfy = dx. - (77;
FLEXION DES PRISMES Â AXE RECTILIGNE i2o
Introduisons le rayon de courbure o de la ligne élastique :
prfç =z= dx par suite :
L'expression analytique du rayon de courbQre est :
y étant ici Tordonnée du point de la ligne élastique dont Tabscisse est x. La courbure de la ligne élastique est très faible par hypothèse, la tangente trigonométrique de l'angle forcaé par une tangente à la courbe avec Taxe des x (que nous supposons coïncidant avec Taxe longitudinal du prisme non
déformé), c'est-à-dire — est très petite ; nous pouvons donc
négliger le carré de cette quantité devant r unité Qi écrire :
dx*
d'où
IE.g=±M (79)
Le signe de p est en effet indéterminé, l'expression analv^ tique de p contenant une racine.
Etant donnée la convention faite précédemment au sujet du signe du moment fléchissant M et en convenant de plus que Taxe des y est dirigé de haut en bas, il est facile de voir qu'il faut introduire M avec le signe — dans l'expression précédente. L'équation (79) est Véquation différentielle de la ligne élastique.
126 GttAPITftE Ifl
Pour obtenir Téquation de cette courbe en termes finis, il suffira d'exprimer, dans chaque cas particulier, M en fonction des forces extérieures données et de x et d'intégrer ensuite l'équation (79) deux fois par rapport à a:. La valeur de y ainsi obtenue contiendra deux constantes d'intégration que Ton déterminera à Taide des conditions à la limite.
59. Cas partieuliers. — 1^ Pihce à section constante sollicitée par un rnoînent fléchissant constant. — M étant indépendant de a:, Téquation (79) intégrée deux fois donne
. IEy = ^ + ca: + c',
c et c\ étant les constantes d'intégration* C'est là Téquation d'une parabole. D'autre part, si nous considérons l'équation (78), nous voyons que le membre de droite est constant; donc p est constant : la ligne élastique est par suite un arc de cercle.
Cette contradiction apparente entre les deux résultats provient
de la valeur approchée de p^"^ que nous avons utilisée dans
l'équation (79). On voit que, dans le cas particulier, cela revient
à substituer à l'arc de cercle un arc de parabole osculateur à
du l'arc de cercle au point où — = o. L'approximation est très
suffisante tant que p est très grand.
2* Prisme à section constante reposant librement aux extrémités sur deux appuis ^ sollicité par une c/iarge uniformément répartie sur toute la longueur l de la pièce. Soit q la charge par unité de longueur. Le moment fléchissant M, pour une section transversale distante de x de l'extrémité de gauche, est :
Le premier terme du membre de droite est le moment de la
FLEXION DES PRISMES A AXE REClTILlGNE \2l
réaction ç- de l'appui de gauche; le second est le moment de
la charge agissant sur la longueur x.
Remarque. Supposons que l'on porte la valeur de M en ordonnée à une échelle quelconque, la courbe ainsi obtenue sera dans le cas particulier une parabole. Généralement, on donne à cette courbe le nom de courbe des moments ; la surface limitée par cette courbe et Taxe des x est la surface des moments.
L'équation (79) devient ici :
gT tf'y ^ (q^^ yjc'N d'où :
les conditions à la limite sont :
pour a; =^0 et x = l y==^o
en introduisant ces valeurs de Téquation il vient :
0 =c\ et :
^/* ql' ,
d'où
l'équation de la ligne élastique est donc :
EIv = ^ — + - — (80)
Déterminons encore la /7ècAe/, c'est-à-dire la valeur maximum
de y qui correspond ici à a; =-.
Nous aurons
' 384 lE 384 lE ^ ^
Q désignant la charge totale du prisme.
3* Prisme de section constante, reposant librement aux deux extrémités et sollicité en son milieu par une force unique P.
Ely = — J5" +^^ + ^'
Les conslanles c et c ne peuvent plus être déterminées ici
Po?
comme précédemment. L'expression M = — n*est valable que
pour a: < - ; si a:> j , c'est-à-dire pour la moitié de droite du prisme, nous avons
L'équation précédente trouvée pour la ligne élastique n'est donc valable que pour la moitié de gauche. La ligne élastique se compose ici de deux arcs qui se raccordent au milieu, ces deux arcs sont évidemment identiques par raison de symétrie. La tangente à la ligne élastique en son milieu est donc horizontale. Par suite l'expression
^^ dv Pj?«
doit s'annuler pour x=^'. Nous tirons de là
de plus y =^ 0 pour a: = o, par suite
c = 0 Nous avons donc finalement
EIy=l^-^ (82)
en faisant x = ;: nous trouvons la flèche / :
Si le prisme est sollicité par deux forces P| et P„ distantes respectivement dejOi et je?, deTappui de gauche, la ligne élastique se compose de 3 arcs se raccordant entre eux. Soient A la réaction de Tappui de gauche, x la distance à cet appui d'une section transversale quelconque, nous avons
Mi = kx pour o <, X <C pi
M, = Ax — Pi {X — />,) » Pi < X < p^
M, = Aar — Pi [x — />,) — P, {x — /?,) » Pt < x <i l
En introduisant successivement ces 3 expressions dans Téquation (79) et en intégrant, nous obtiendrons dans les équations des 3 arcs de la ligne élastique. Ces 3 équations contiennent en tout 6 constantes d'intégration ; pour les déterminer nous utiliserons d'abord les deux conditions : pour x =o ei X =1, y = 0. De plus, les arcs de la ligne élastique se raccordent au point de jonction de deux de ces arcs ; leurs équations
doivent donc donner la même valeur de v et de — . Cette remar-
ax
que fournit 4 équations de condition qui, avec les deux pre-* miëres, suffisent pour déterminer les constantes.
Le procédé s'applique sans changement à un nombre quelconque de forces ; lorsque celui-ci est grand, le calcul des cons* tantes devient pénible, et il est alors préférable d'employer les méthodes graphiques pour déterminer la ligne élastique (voir note II). La méthode graphique est également avan^ tageuse lorsque la section du prisme n'est pas constante, mais varie par sauts brusques, comme par exemple dans le cas d'une poutre double té dont les plates-bandes sont renforcées vers le milieu par des semelles, car ici aussi la ligne élastique se compose*d'une série d'arcs se raccordant entre eux. Par contre, si la section transversale varie d'une façon continue, il suffit d'introduire I, en fonction de x dans l'équation différentielle de la ligne élastique.
idO CHAPITRE 111
Ces cas du reste sont de peu d'importance ; en général, il suffit de connaître une valeur approchée de la flèche et non sa valeur exacte : on peut donc s'épargner le calcul exact et déterminer la flèche en prenant une valeur moyenne de I.
Tout ce qui précède suppose implicitement que le plan de flexion coupe les sections transversales du prisme selon un axe principal. Si tel n'est pas le cas, on décomposera comme à l'article 42 les forces extérieures selon les axes principaux, et l'on déterminera la ligne élastique produite par ces composantes dans les deux plans. La déformation totale sera égale à la somme géométrique des déformations produites par chacun des systèmes de composantes.
68. Inflaenee des »eti«ns molécntoire» tanf^enlielle* «ur la Corme de 1* liirne élastique. — Les actions moléculaires tangentielles dont nous n'avons pas tenu compte jusqu'à présent ont pour conséquence d'augmenter un peu la flexion d'un prisme et de modifier la forme de la ligne élastique.
Soit (fig. 31) un prisme élémen- [^ taire. Si l'effort tranchant V se répar-
tissait uniformément sur la section
«x — K7.ur — \ »- transversale, il en résulterait une dis-
torsion v, qui, en désignant par Sm la valeur moyenne de l'intensité des r efforts de glissement,
Fig. 31 V
serait donnée par la formule (34) :
Sm V 1^ ~ G ™ GF
La distorsion y a pour conséquence un glissement relatif des deux sections transversales l'une par rapport à l'autre ; désignons le par du'^ il vient
FLEXION DES PRISMES A AXE REGTlLIGNE iH
Ydœ
du'=ydx ==
GF
En réalité, les choses ne sont pas aussi simples. Les actions tangentielles ne se répartissent pas uniformément sur la section, mais bien selon la loi étudiée dans les articles 48 et 49. Sur Paxe neutre, les efforts de glissemepl sont plus grands que la valeur moyenne Sm, et il vont en diminuant jusqu^à o dans les fibres extérieures. La distorsion y de Tangle droit formé par Taxe du prisme et la section transversale est par conséquent plus grande que celle que nous venons de calcu- 1er, tandis que celle des fibres extérieures est nulle.
On voit donc que Phypothèse de Bernouilli des sections transversales restant plane dans la déformation n'est pas absolument exacte, ainsi que nous l'avions déjà fait prévoir plus
Nous allons essayer de déterminer la différence de hauteur entre des points consécutifs de Taxe longitudinal du prisme, provenant de Faction des actions moléculaires tangentielles. Désignons cette différence de hauteur par du et posons
du =zndu' =x -— (84)
X désignant un coefficient, plus grand que 1 d'après ce qui précède. La valeur exacte de x dépend de la forme de la section transversale, puisque celle-ci exerce une influence sur la répartition des actions tangentielles, et par suite sur le rapport entre la valeur S de l'intensité des efforts de glissement le long de l'axe neutre et Sm* U ne serait toutefois pas exact de poser simplement x égal à ce rapport. Les déplacements des différents points de la section ne peuvent se produire indépendammentles uns des autres, donc en particulier le déplacement des points de Taxe neutre dépend de celui des autres points de la section transversale. Cette dépendance est assez compliquée par suite de la courbure de la section transversale qui se produit nécessairement. Nous déterminerons x en nous
basant sur le principe du travail de déformation, et nous en servirons pour calculer une valeur moyenne de du. C*est là un procédé absoment arbitraire ; le résultat trouvé ne sera donc qu*une évaluation approchée, suffisant ici puisqu'il s'agit du calcul d*une correction très petite en elle-même.
Nous avons trouvé (formule 45), pour le travail spécifique de déformation dans le cas du glissement simple, Texpression
2G' pour un prisme élémentaire nous aurons :
dx f^ d¥
rintégration s*élendant à toute la section transversale.
Le travail de déformation ainsi trouvé est égal au travail de TelTort tranchant (lequel est une force extérieure par rapport au
prisme élémentaire considéré)- V du, nous avons donc
dx\^d¥ = ^\du =i Vxrfw'
J ÎG 3
d'où
