DEUX EXTRÉMITÉS

ftA. Poalres eontlnues. On appello ainsi un prisme reposant sur des appuis dont le nombre est plus grand que 2. Sup<

posons que les réactions des appuis soient connues, il est alors possible de calculer, pour une section transversale quelconque, la valeur du moment fléchissant M et de TefiFort tranchant Y et par suite de déterminer les actions moléculaires agissant dans cette section. Le problème revient donc à déterminer les réactions des appuis.

On voit immédiatement que les équations générales de Téquilibre ne suffisent pas à le résoudre, elles sont dans ce cas en effet au nombre de deux, or nous avons précisément plus de deux inconnues. Le problème est hyperstatique (voir art. 61). Nous sommes obligés, pour obtenir de nouvelles équations, de tenir compte de la déformation du prisme.

Considérons le cas d*une poutre rectiligne à deux travées d'égale portée /, sollicitée par une charge uniformément répartie. Soit q la charge par unité de longueur.

Si Tappui médian était supprimé, la pièce s*infléchirait d'une quantité que nous pouvons calculer au moyen de la formule (81) dans laquelle nous remplacerions / par 2/. Généralement, il n*est pas nécessaire de tenir compte de la déformation due aux actions moléculaires tangentielles ; si toutefois cela était désirable, il suffirait d'employer la méthode décrite à l'article pré-^ cèdent.

Appliquons maintenant au milieu de la poutre une charge isolée P agissant de bas en haut^ elle produira en ce point une inflexion de la poutre donnée par la formule (83). Si nous choisissons P de telle sorte que la déformation première se trouve exactement compensée, cette force P sera égale à la réaction de l'appui médian, car pour cette valeur de la réac* tion seulement, la ligne élastique du prisme passera par le point prescrit. En égalant donc les deux valeurs de /, précé* demment considérées, nous obtenons

Q étant la charge totale de la poutre.

On voit que Tappui médian supporte une plus grande charge que si Ton avait deux poutres séparées de longueur / reposant librement par leurs extrémités. Dans ce cas en effet l'appui médian supporterait une charge égale à Q/2.

La réaction des appuis extérieurs est dans le cas présent

Nous avons supposé dans le raisonnement précédent que les trois appuis étaient situés à la même hauteur, et qu'ils ne s'af'^ faissaient pas sous Tinfluence des charges. Si l'appui médian s'affaisse d'une quantité S ou s'il était primitivement de S audessous du niveau des deux autres, P serait donné par Téquation

384 lE "^ 48 lE

Si au contraire l'appui du milieu est de S plus haut que les autres, il faut faire entrer cette quantité avec le signe — dans la formule.

On se rend compte facilement que la méthode est générale, et qu'elle s'applique encore lorsque les travées sont inégales et en nombre plus grand que 2 et les charges quelconques. Il suffit de remplacer la quantité /, par la valeur de Tordonnéc de la ligne élastique correspondant au point considéré.

Nous renonçons à entrer dans plus de détails, les problèmes plus compliqués sur les poutres continues se résolvant plus rapidement par les méthodes de la statique graphique.

6&. Prisme eneastré aou deuxeTKtrémités. — La ligne élastique possède deux tangentes horizontales aux extrémités. Il est facile, par suite, de reconnaître, qu'il existe deux points d'inflexion entre lesquels la ligne élastique tourne sa concavité vers le haut tandis que celle-ci est tournée

vers le bas entre les points d'inflexion et les extrémités. Il s'exerce nécessairement un couple dans la section d'encas- Irement, la réaction de Tappui étant impuissante à elle seule à rendre la ligne élastique horizontale en ce point. Soient M| et M, les moments de ces couples^ ils sont inconnus ainsi que les réactions des appuis A et B ; le problème est donc hyperstatique, car les conditions générales d'équilibre ne fournissent que deux équations. Nous sommes obligés d'avoir recours à Tétude des déformations.

Supposons le prisme sollicité par une charge uniformément répartie sur toute sa longueur /; par raison de symétrie nous aurons évidemment :

A = B = |^ et M, =M, =Mo

q désignant la charge par unité de longueur, et Mo la valeur commune de Ml et Mf Le moment fléchissant M agissant dans une section transversale d'abscisse x est

M = Mo + Ax — ^

par suite, Téqualion de la ligne élastique sera : une première intégration donne

rfx 6 2

dy

pourx=o, — =0

donc c = o \

de même, pour x=:zl^ -p^i^o d*où Téquation

ql^ ql l*

^ ^ ' Mo l = 0

de laquelle nous pouvons tirer Mo :

IM CHAnTRE ni

Le momeat fléchissant maximum au milieu du prisme est égala

al

La section dangereuse est donc la section d'encastrement..

Il serait naturellement possible de tenir compte ici des efforts de glissement ; ce n'est cependant pas nécessaire. Les calculs de ce genre sont en effet pratiquement affectés d'une importante cause d'erreur. Il est impossible d'être absolument certain de Tefficacité de l'encastrement. De petites variations de la direction de la tangente de la ligne élastique au point d'encastrement se produisent, qui entraînent parfois des différences notables entre les résultats prévus par le calcul et ceux donnés par l'expérience. Ce serait donc éveiller un faux sentiment de sécurité que de calculer des corrections certainement plus petites que les erreurs pratiques impossibles à prévoir.