THÉORÈME DE MAXWELL
m. Béciprociié des déplacements dc« poiuiM d'appUeatlon des forées extérieures. — Nous avons trouvé (équation 94) :
Prenons la dérivée partielle^ar rapport à une force quelcon-
du que Pjfe. Dans le membre de droite, les quanlilés —seules dé-
pendent de P*, sauf dans le terme où P = P* ; donc nous avons :
^==SP.jf!^+^* (102)
rfPjfc dVi dVk ^ dPi ^ ^
Le principe de superposition étant applicable, puisque nousnous sommes placés dansThypothëse de la loi de Hoocke, les déplacementsy sont des fonctions linéaires des forces P ; y^ est donc de la forme :
yt=ai,Pi + ai, P,4- + a/iPi+ (103)
Lesquantités 0L,\es coefficients diJifluence * des diverses for-
1. Il eslfacilede se rendre compte de la signification de ces coefficients. Supposons toutes les forces extérieures égales à o sauf Tune, Pj^ par exemple,
que nous prendrons égale à Tunité, il vient
y» = Hk Ces coefficientsne sont donc pas autre chose que les déplacements que pro*
ces extérieures sur le déplacement du point considéré dépendent des propriétés élastiques du corps et de la répartition des forces exlérieares.
Les quantités y étant des fonctions linéaires des forces P nous avons :
par suite (102) devient
ou, en tenant compte de (103) :
<f-ik = cf.ki (105)
IJinfltience de la force k sur le déplacement du point d'application de la force i est égale à f influence de la force i sur le déplacement du point d'application de la force k.
Tel est le théorème de Maxwell sur la réciprocité des déplacements des points d'application des forces extérieures.
Nous on donnerons une autre démonstration indépendante de la précédente, en nous bornant au cas très simple d'une poutre reposant librement sur deux appuis. Considérons (fig. 40)
\ji deux sections transversales quel-
I conques I et II, et supposons qu'en
I agisse une force extérieure P,.
î Soit ttjj rinflexion que produirait en
I I une force égale à ronité agissant
l\ |2r dans cette section, et«t| celle qu'elle
,„. ,^, produirait en II: a., et a,i sont les
(Fig. 40). ^ . 7 M «
coefficients d'influence des forces agissant en I sur les déplacements des sections I et II. Les inflections réelles en ces deux points sont par suite :
«1, P«eta„P,
duiraicnt, au point considéré, des forces égales à l*unité agissant dans la direction des forces primitives. N. du T.
Soient mainienanl une force P, agissant en II, aj, cl ol„ les coefficients dinfluence, le premier indice désignant par conséquent le point oùse produit ie déplacement, et le second la force qui le cause. Si Ton applique d'abordPi puisensuiteP,, cesdeux forces produisent un certain travail égal à Ténergie potentielle interne emmagasinée dans la poutre. Pi fournit tout d'abord un travail égal à
Pendant l'application de Pf les points d'applications de P| et Pt se déplacent. Ces deux forces fournissent un travail; il faut de plus remarquer que Pi conserve sa valeur durant toute la durée du phénomène, tandis que Pa croit insensiblement de o à sa valeur normale. Le travail développé dans cette seconde période est donc
Pi *ll Pf + 2 ^« *M Pi
par suite Ténergie totale emmagasinée dans la pièce sera
A =5 an Pt* +a„ P, P, + ia„ P.' (106)
On atteint naturellement le même état de déformation en appliquant d'abord P^ puis P, ; en répétant exactement les mêmes raisonnements, on trouve :
A=2-a„P.»+a,iP.Pi + ^a,,P.«
Les deux valeurs de A doivent être identiques. Il faut donc que
«11= «fi (107)
£t le théorème de Maxwell est de nouveau démontré.
Il serait facile de montrer que les hypothèses faites sur la
forme du solide et la direclion des forces extérieures ne sont
pas nécessaires. Il suffirait de considérer (fig. 4i) un corps quelconque soutenu d'une façon quelconque. On prendrait deux points I et II et, passant par ces points, deux directions arbitraires ; pj ^1 on verrait que si l'on fait agir
une force en I dans le sens
choisi, II se déplace dans la direction considérée, autant que
se déplace I lorsque la force agit en II. Il nous reste à montrer comment on applique le théorème de
Max\\ell dans les calculs pratiques de résistance.
•6. ApplIcaUoiis. — Nous reprendrons Texemple déjà traité d'une poutre reposant librement sur 3 appuis. Supposons Tappui intermédiaire enlevé, appliquons en ce point une force égale à 1 tonne (ou, en général, égale à Tunité de force) et déterminons la ligne élastique correspondant à cette répartition des forces extérieures, soit analytiquement, soit graphiquement (voir Note IIj. Soient «Tabscisse de l'appui médian comptée à partir de Texlrémité gauche, x Tabscisse d^une section transversale quelconque. L'ordonnée delà ligne élastique correspondant à l'abscisse x n'est autre chose que le coefficient d'inQuence
D'après le théorème de Maxwell :
Nous connaissons ainsi l'inflexion qui se produirait en a si, l'appui intermédiaire enlevé, on appliquait en x une force égale à 1. De h\ résulte la grandeur de la réaction de cet appui en se basant sur un raisonnement fréquemment employé au chapitre précédent. Cette réaction doit être telle qu'elle corn-
pense celle inflexion. Or nous connaissons par iaiigne élastique précédemnieni calculée le déplacement élastique aaa de la section a sous rinfluence d^une force agissant dans cette section, et nous savons de plus que la déformation élastique est proportionnelle à la grandeur de la force. Si donc nous désignons par P la force agissant en x et par Z la réaction de l'appui médian développée par la force P, nous aurons Téqualion :
d'oii^ ayant égard au théorème de Maxwell :
Le rapport des deux ordonnées de la ligne élastique primitivement tracée, correspondant aux abscisses a: et a, donne immédiatement la fraction de la charge P qui est supportée par Tappui médian. Celle fraction est proportionnelle à l'ordonnée aaa delà ligne élastique. C'est pourquoi l'on désigne celle-ci sous le nom de ligne d'influence relative à la réaction Z. Ainsi donc, une fois celte courbe tracée, le calcul de la poutre continue est ramené à un problème isostatique, car on est en étal de calculer, pour n'importe quelle répartition des charges, la réaction z d'après l'équation :
Z = — 2j OLxa P QLaa
et par suite les réactions des divers appuis, les moments fléchissants, etc.
Le théorème de Maxwell est surtout précieux lorsque Ton a affaire à une charge roulante (train ou voiture) qu'il est nécessaire de considérer dans plusieurs positions. Le calcul serait très pénible, si l'on devait pour chaque nouvelle position le recommencer en parlant de la théorie de rElasticité. Il résulte des explications qui précèdent que cela n'est nullement
nécessaire ; la conslruction d'une seule ligne d'influence suffit pour donner. une base à tous les calculs ultérieurs.
Afin de voir eomment il y a lieu de procéder dans des cas plus compliqués, calculons encore les réactions des appuis d'une pièce prismatique reposant sur 4 appuis de niveau. Soit a Tabscisse du premier appui intermédiaire^ b celle du second, comptées & partir de Tappui extérieur de gauche. Supposons les deux appuis intermédiaires supprimés et appliquons en a une force égale à Tunité. Les ordonnées de la ligne élastique correspondante fournissent, pour chaque section a:, le coefficient d'influence, a^o et par suite olox* Nous construirons ensuite une seconde ligne élastique, relative à une force 1 agissant en 6, qui fournit les coefficients axh et oLbX' Ces travaux préliminaires exécutés, les réactions C et D des appuis intermédiaires, correspondant à une charge P agissant dans une section quelconque d^abscisse x^ s^obliennent en résolvant les deux équations
«on C -+• aa6 D = Pa«, |
OLbàC-hOLbbH^PoLbx ) ^ ^
qui expriment la condition que le déplacement des points d'appui médians est nul. On trouve
-, n ^ax^bb "" ^bx^ab Kj =a " ' ■
^X-aa^bb-^ <^'ab
(HO) PI p 0C||«*6a — ^bx^aa
les facteurs de P dans ces expressions sont faciles h calculer, tous les coefficients a étant donnés par les deux lignes élastiques tracées; on pourra donc construire sans difficulté la ligne d'influence des charges sur les réactions des appuis intermédiaires.
Nous nous bornons ici à ces indications de portée générale, le développement que comporte celte méthode étant du domaine de la construction des ponts.
