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Exercice S3. — Trois poutres métalliques équidisiantes (fig. 42) de section double œ (Profil normal allemand n^ 36, /= 19766 cm*.) sont reliées invariablement ent7*e elles par une poutre transversale de section semblable {profil normal
n' W, 1= '21 62 cm'). Quelle force P, est-il possible d^ appliquer au centre de cette construction, le travail élastique R ne devant nulle part dépasser 1000 kg.
par cm^. On fait abstraction du poids propre des poutres.
Solution. — Nous diviserons la construction en deux parties, Tune comprenant les deux poulres extérieures et la poutre transversale, l'autre la poutre médiane. Chacune de ces parties considérée pour elle-même constitue un système isostatique ; Tinconnue staliqnement indéterminée du problème est la portion Z de la charge P, que la poutre médiane transmet au reste de la construction, par ^intermédiaire de la pièce transversale. La poutre médiane est donc sollicitée en son milieu par une force concentrée P — Z, tandis que la poutre transversale exerce sur chacune
des pièces latérales une force ^. Au point d^application de P,
les deux parties de la construction étant reliées d^une façon invariable subissent la même déformation ; nous trouverons donc Z en égalant à zéro la dérivée partielle du travail de déformation, prise par rapport à Z (art. 61).
Le moment fléchissant M qui agit sur la section d'abscisses:
Fig. 42.
180 CHAPITRK IV
de la moilié de gauche d^un prisme reposant librement aux
exlrémilés et sollicité au milieu par une charge Q est — ; le
travail de déformation emmagasiné dans la moitié de gaucho du prisme se calcule à l'aide de la formule (89) (nous pouvons négliger ici sans inconvénient les actions de glissement). Le travail total sera égal au double du résultat ainsi trouvé, nous aurons donc :
Pour la poutre médiane, il faut faire Q = P— Z /=/, = 6m. I = I» = 19766 cm*; pour chacune des deux poutres latérales
Q=? / = /, = 6m. I = It = 19766 cm*
et pour la poutre transversale
Q = Z /=/, = 2m. I=I, = 2162cm*
D*où, pour Ténergio potentielle interne de la construction entière :
. (P~z)'V . Hij ^*' . z«v
en égalant •-- à zéro, on obtient
96IiE ' 96I,E ' 96I,E 2P/,«
Reste à déterminer la section dangereuse. Celte section ne peut se trouver qu*au milieu de la poutre médiane *ou au
milieu de la poutre transversale, car les poutres latérales sont certainement moins chargées que la poutre médiane. Pour cette dernière, le moment fléchissant maximum est
{LiLi:i)=68,4Pcm.kg.
si R =rr: 1,000 kg. par cm*, l'équation (49) donne :
d'où
P = 16.000 kg.
Le moment fléchissant maximum de la pièce transversale est
et, R ne devant pas dépasser 1.000 kg. par cm' :
F = 8.000 kg.
Donc, si Ton ne modifie pas les dimensions de la pièce trans* versale, la force P no doit pas dépasser 8.000 kg.
Exercice S4. — Une poulre horizontale de section double té (profil normal n® 24, I = 4.288 cm\) de longueur égale à S m. repose librement aux extrémités. De quelle hauteur un poids de 400 kg, peut-il tomber sur le milieu de la poutre sans que le travail élastique maximum dépasse 1,600 kg. par cm*, en admettant que 80 Vo de la force vive se transforme en tra^^ vail de déformation (E = 2.000.000 kg. par cm*).
Solution. — Calculons d'abord la force P' qui, appliquée progressivement au milieu de la pièce, produirait un travail
m . CHAPITRE IV
élastique maximum de 1.600 kg» par cm'. L'équation (49) donne
Le travail de déformation est calculé comme dans l'exemple précédent ; nous trouvons ici
\ ^/ / 96 lE ee«E d'où, en introduisant les données numériques, R = 1.600kg.parcm*,/=— 200 cm., 1 = 4.288 cm*, e = 12cm.
£=»: 2,000.000 kg. par cm'.
A= 1.270kg. cm.
La hauteur h dont le poidl peut tomber est donnée par Téquation
0,8 X400xA = 1.270 Assidu cm»'
Ce chiffre n'est pas absolument esact, car le poids fournit aussi un travail le long de /^. Il faut donc poser strictement
A+/^=î=4,0cm,
la flèche fd ^»t égale ii celle produite par la forcei P' ; donc
La hauteur initiale h du poids au-dessus de la pièce ne doit donc pas dépasser 3,8 cm.
Remarque. ^^ A l'occasion de la détermination de la résistance au choc de récipients en porcelaine, Tauteur a fait quelques expériences. Il employait à cet effet des b&tonnets d'en-*
viroti 7 mm. d'épaisseur reposant sur deux appuis distants de 15 cm. Une partie des bâtonnets fut soumise à une force augmentant progressivement jusqu'à ce que rupture s'ensuive, tandis que les aulres éprouvettes eurent à subir le choc d*un poids de 0,4 kg. tombant d'une hauteur 3e quelques centimètres. De la comparaison des déformations observées ressort que 40 ^/o seulement de la force vive du poids était transformée en énergie potentielle interne. Ajoutons que, pour amortir les actions locales du choc dans le voisinage du point de contact, on collait un petit morceau de carton mince sur les bâtonnets. Il importe de tenir compte de ce fait.
Exercice S5. — Uîie pièce prismatique subit, sous r influence d'une charge de 10 tonnes^ des flexions mesurant respectivement en 3 endroits donnés^ SjO ; 2,5 et 4 mm. La force de 10 tonnes étant supprimée, on applique aux trois points consi" dérés des forces concentrées, égales respectivement à 8, 12 et 6 tonnes. Quelle sera, sous l'influence de ces forces, la flexion de la section dans laquelle agissait primitivement la force de 10 tonnes?
Solution. — Nous admettons que les forces données ne produisent que des déformations élastiques. D'après le théorème de Maxwell, la flexion cherchée y est égale à
y = 8x0,2 + 12x 0,25 + 6 X 0,4 = 7,0 mm.
§ 1. Hypothèses fondamentales ^ divergences de vue à leur sujet. — 66. Déformations de Taxe longitudinal. — 67. Discussion.
S â. Applications. — 68. Ârc à deux articulations aux naissances. — 69. Autre méthode pour déterminer la poussée horizontale. — 70. Influence des variations de température. — 71. Ârc encastré aux deux extrémités. — 72. Résistance d'un anneau ou d'un tube travaillant à l'extension ou à la compression dans un plan diamétral. — 73. Ressort en spirale.
Exercices numéros 26 à 3i.
