VUE A LEUR SUJET

IMI. Détorniation de l*axe lonf^itadinal. — Soit donné un prisme dont l'axe longitudinal est, à Tétat initial, une courbe plane. Supposons ce solide soumis à un système de forces extérieures agissant toutes dans le plan de Taxe et admettons de plus que ce plan coupe les sections transversales suivant un de leurs axes principaux. Dans ces conditions^ il n'y a aucune cause qui tende à faire dévier Taxe longitudinal du plan dans lequel il est contenu : cet axe reste plan dans la pièce déformée.

Nous aom plaçons immédiatement dans ce cas particulier^ le cas général d'une pièce dont Taxe est une courbe à double courbure ne présentant aucune importance pratique. On le traiterait d'ailleurs de la même manière, en s'aidant des remarques faites précédemment au sujet des prismes à axe rectiligne (art. 42).

Supposons que le rayon de courbure de Taxe soit très gfand par rapport aux dimensions des sections transversales. Soient p le rayon de courbure en un point donné, p' la valeur de ce rayon après la déformation, M le moment fléchissant, N Teffort normal et V l'effort tranchant développés dans la section transversale passant par le point donné ; cherchons la relation qui lie entre elles ces différentes quantités.

On reconnaît d'abord qu'il est permis de négliger Tinfluence de leffort tranchant ; en effet, celui-ci produit un glissement de la section considérée par rapport à la section in6niment voisine, lequel glissement ne saurait influencer sensiblement le rayon de courbure. Semblablement, Teffort normal qui se répartit uniformément sur toute la section transversale n'influence que Tangle dièdre rff formé par les plans des deux sections inGniment voisines, mais ne modifie pas le rayon de courbure, car chaque fibre élémentaire s'allonge proportionnellement h sa longueur primitive, de sorte que les plans des deux sections se coupent toujours suivant la même droite. La variation Ac?y de rfcp causée par N est, du reste, le plus souvent fort petite ; on a en effet :

où ^ds désigne rallongement d'une fibre quelconque dont la longueur initiale est ds. Pratiquement, le rapport g est au plus

égal à â-QÔQ ! ^^T ^^^ ^^'^^ négligeable devant df. Nous indiquerons cependant plus loin quelques exceptions.

Les variations ducs à l'action du moment fléchissant M sont

PRISMES A AXB CURVILIGNE i87

en général beaucoup plus grandes. Pour calculer p', nous uliliserons Tartifice suivant : nous supposerons que la courbure initiale de Taxe du prisme est due à Faction d'un moment fléchissant fictif Mf, agissant «ur un prisme à axe rectiligne. Le rayon de courbure p' s'étabHra sous Tinfluence de Hf4- M. Nous devons admettre qiie le prisme fictif peut subir cette déformation sans que la limite d'élasticité soit dépassée. Cette bypothbse est remplie si le prisme réel ne subit pas de déformations plastiques, lors de la flexion de p è. p', et si les longueurs dM des fibres ne différent pas à l'origine beaucoup les unes des autres. En eiTet, le prisme fictif doit se comporter de p à p' comme le prisme réel ; or rien ne nous empêche de choisir la limite d'élasticité de la matière dont il est formé de telle sorte qu'il puisse subir les flexions p et p' sans que cette limite soit dépassée. Grâce à cet artifice, le problème est maintenant ramené k celui qui a été traité à Tarlicle S^ En appliquante formule (78) aux moments Mf et Mf 4-M, il vient :

1 Ml 1 Mf+M

P JE p' IB

d'où, en éliminant Mf,

p' P lE ^ ^

semblablement, Téqnation (77) donne pour la variation angugulaire ùkd(f de Tangle^cp, produite par M :

Arfcp^rf^^ (113)

oix ds désigne la longueur d'un élément d'arc de l'axe longitudinal.

La répartition linéaire des actions moléculaires normales est aussi vraisemblable ici que dans le cas des prismes à axe rectiligne; nous pouvons donc appliquer sans changement les formules trouvées précédemment pour le calcul de Tintensilé des actions moléculaires.

Ceci n*esl toutefois plus exact, ou devient douteux tout au moins, lorsque la condition : p très grand par rapport aux dimensions des sections transversales, n'est plus remplie, car alors les longueurs ds des fibres situées à des distances différentes du centre de courbure sont très différentes les unes des autres, et les variations ^ds de ces longueurs ne sont plus simplement proportionnelles .aux valeurs correspondantes de R, mais dépendent de plus de la position de la fibre dans le prisme élémentaire.

Les deux hypothèses fondamentales dont nous étions partis pour déterminer les actions moléculaires et qui étaient^ comme nous Tavons vu, équivalentes, conduisent donc ici à une contradiction. L'hypolbèse de Bernouilli des sections demeurant planes dans la transformation et Thypothèse de la répartition linéaire des actions moléculaires deviennent incompatibles.

Les résultats des expériences faites jusqu*à ce jour ne permettent pas de se prononcer définitivement en faveur de Tune ou de Tautre de ces deux hypothèses.

ev. DIseassion. — Anciennement, on penphait plutôt à admettre la répc^rtition linéaire des actions moléculaires sur la section; plus tara, la plupart des auteurs se sont basés sur l'hypothèse de Bernouilli. Celle-ci entraîne, comme nous verrons, des. calculs plus compliqués ; on pénsau toutefois ne pas devoir craindre la peine, les résultats devant être plus exacts. Il y a quelque temps, Tautcur a montré que les résultats d'essais faits sur des prismes curvilignes ne semblent pas confirmer celle opinion. Ces résultais, peu nombreux il est vrai, coïncident au contraire beaucoup mieux avec les valeurs calculées en admettant la répartition linéaire des actions moléculaires. Si donc, d'une part, il n'est pas absolument .démontré que cette dernière hypothèse soit dans tous les cas conforme à la réalité, il n'y a, d'autre part, aucune raison pour le moment de s'en tenir à l'hypothèse de Bernouilli, qui conduit à des calculs

compliqués dont Texactitude est moindre que celle de formules très simples.

Nous admeltons par conséquent dans cet ouvrage, ainsi que nous l'avons fait dans un travail paru il y a quelque temps, la loi de la répartition linéaire des actions moléculaires, bien que dans les ouvrages parus récemment (avant le travail mentionné) Thypothëse de Bernouilli soit partout admise (*).

Ce dernier fait montre comment une hypothèse absolument arbitraire en elle-même (celle de Bernouilli par exemple), lorsquelle fait ses preuves dans un domaine déterminé (flexion des prismes à axe rectiligne), est ensuite étendue à d'autres cas

sans que l'on songe à en contrôler à nouveau l'exactitude. L*bypothèse de Bernouilli a joué pendant longtemps dans la

mécanique technique le même rôle qu'un axiome en géométrie, et beaucoup de techniciens la considèrent encore actuellement comme telle. Il n'est pas nécessaire d'insister encore sur la fausseté de ce point de vue. dçp Chercher à étendre à un cas plus général une hypothèse exacte dans un cas particulier^ est une tentative très naturelle, à laquelle on ne peut trouver à redire, à condition cependant de ne pas oublier que seule la vérification expérimentale des formules est on état de prouver que l'on était sur la bonne voie. Etablissons maintenant les formules auxquelles conduisent chacune des deux hypothèses précitées. Admeltons que les sections restent planes dans la déformation et considérons le prisme élémentaire, tig. 43. 0 vient en 0' dans la déforma-

Fig. 43

1. On a publié dans l'inlervalle des résultats d'expériences faites sur des prismes à axe curviligne. Les résultats d'une longue série d'essais pratiqués par l'auteur sur des crochets d'attelage de wagons ont contirmé absolument son opinion. Des essais faits par M. le prof, von Bach de Stuttgart et répétés ensuite par l'auteur avec des prismes en fonte de fer ont donné pour les actions moléculaires des valeurs plus grandes que celles qui résulteraient de in loi

lion ; pour une fibre quelconque, distante de y de Taxe du prisme NN, on a :

ds= (T+y)d^

si Ton désigne par r la dislance de Taxe NN au point 0. La variation de longueur qu'éprouve ds est :

Aûfe = y Arff par suite, en comparant ces deux résultats, on trouve :

ds r -^-y d<f ^ ^

R n'est plus, comme on le voit, une fonction linéaire de y : si Ton représente R en fonction de y on obtient un arc d'hyperbole. Les tensions moléculaires devant former un couple, puisqu'elles font éq uilibre au moment de flexion, on doit avoir :

RrfF=o

Cette équation de condition permet de déterminer la position de Taxe neutre ; en introduisant pour R sa valeur (114) on a :

^rfF=o (115)

Ainsi, suivant rhypothëse de Bernouilliy l'axe neutre d'une section transversale ne passe plus par le centre de gravité de celle-ci. Lorsque la forme de la section est donnée, la formule (115) permet de calculer la distance de cet axe au centre de gravité comme on le verra dans l'exercice 26, à la fin du chapitre, r étant ainsi déterminé, nous pouvons calculer R au moyen de l'équation :

yVid¥= M laquelle devient, en mettant pour R sa valeur :

de répartilioii linéaire. 11 faut tenir compte naturellement des propriétés spéciales de la fonte de fer qui rendent incertaines les valeurs calculées, quelle que soit l'hypothèse admise au sujet de la répartition des tensions.

Si y est petit par rapport à r, l'intégrale est sensiblement égale au moment d'inertie 1 de la section relatif à Taxe neutre. Si cette condition n*est pas remplie, on peut développer l'expression sous le signe / en série et prendre aulant de termes qu*on le juge nécessaire. Il vient :

pour abréger, nous poserons la parenthèse égale à V (il ne s'agit le plus souvent que d'une valeur différant peu de I) ; la formule s'écrit alors :

et par suite, Téquation (114) s'écrit finalement :

Si y était négligeable devant r, la formule (116) deviendrait identique à celle qui a été trouvée pour le prisme à axe rectiligne. Dans certains cas, par exemple pour un crochet d'attelage ou de grue, la différence entre les résultats des deux formules peutètrede 30 0/0. Elle est donc si considérable qu'il ne serait pas possible de remplacer la formule (116) par l'expression :

qui repose sur l'hypothèse de la répartition linéaire des actions moléculaires, s'il était démontré que la formule (116) fût plus exacte que (1 17). Or nous avons vu que tel n'est pas le cas ; nous ne tiendrons donc pas compte de l'expression (116) dans ce qui suit.

En adoptant la loi de la réparlilioa uniforme des actions moléculaires exprimée par (117), nous admettons implicitement que les sections transversales ne restent pas planes dans la déformation, même dans le cas où il n'agit sur la section qu'un moment fléchissant, sans ciïorl trauclianl. Il faut alors préciser ce que nous entendons par la variation élastique A^^cp de Tangle d^ des plans de deux sections : nous entendrons par A(/(p la variation de Tangle compris entre deux tangentes inBniment voisines de la fibre neutre ; cette variation se calcule à Taide de l'équation (113), dans laquelle c/^est la longueur de l'élément de fibre neutre.