APPLICATIONS

68. Are à deux «rtieulatleiiift aux. uaNsanees. —Soit donné un prisme à axe curviligne dont les extrémités peuvent tourner librement autour de deux tourillons. Il s'agit de déterminer les réactions de ces points d'appui lorsque le prisme est soumis à un système de forces extérieures Le problème est statiquement indéterminé, le nombre des inconnues étant de quatre (les composantes des réactions des appuis), tandis que les conditions universelles d'équilibre ne fournissent que 3 équations.

Les tourillons autour desquels les extrémités peuvent se mouvoir portent le nom A^ articulations. L'arc à deux articulations est pris assez fréquemment comme type de pont en fer.

La fig. 4i en donne la disposition ordinaire : les deux articulations sontsiluécsàla même hauteur. Les composantes verticales des réactions des appuis se calculent sans difficulté, en formant l'équation des moments pour chacun des deux points d'appui.

rji.

Quant aux composantes horizontales H^ nouS pouvons seulement dire qu'elles sont égales et de signes contraires. Leur intensité, /a poussée horizontale de Tare, est Tinconnuc statiquement indéterminée du problème, qu'il s'agit de déterminer tout d'abord. On reconnaît en eiïet qu'une fois cette quan-

figure 144

tité connue on peut établir sans difficulté aucune le moment fléchissant, l'effort tranchant et l'effort normal pour une section traversale quelconque. Nous pouvons donc nous borner à rechercher H.

Nous emploierons d'abord à cet effet le théorème ile Castigliano sur le travail de déformation minimum. Soit z Tordonnée de la fibre moyenne correspondant à une abscisse x, le moment fléchissant dans la section transversale est

M=M6 — Hs

(li8)

où TAb signifie le moment des forces extérieures par rapport à la section considérée, c'est-à-dire le moment fléchissant qui agirait sur la section si Taxe du prisme était rcctiligne ; Md est donc de la forme

M6 == Ax —S P {x —p)

c'est une quantité connue, les forces extérieures étant données. Le travail de déformations emmagasiné dans le prisme élémentaire se calcule d'après la formule (88) ; en négligeant

l'action de reffoVt normal N et deFefPorl tranchant, on trouve pour Tare entier :

^J lE 2y lE

l'intégrale étant étendue à tout Tase.

dk Nous formons maintenant — et égalons cette quantité à zéro

an.

Il vient en différenciant sous le signe l :

zds = 0

dA__ ri

rfH" J

d'où

M^zrf*

lE

le coefficient d'élasticité E est une constante; si i^on suppose également I constant sur toute la longueur de l'arc, on a :

Les intégrales qui entrent dans cette formule peuvent toujours être déterminées, soit directement, soit à Faide d'une quadrature mécanique.

Appliquons les formules précédentes au cas très simple où Taxe longitudinal est une parabole dont Taxe vertical partage la portée de Tare en deux parties égales et où les charges sont réparties uniformément sur la projection horizontale de l'arc. Ce cas est plus important qu'il ne semble tout d^abord, On peut en effet, sans commettre une grande erreur, rempla-

cer tout arc symétrique et de faible courbure par un arc de parabole passant par les deux points d^appui et le point le plus bas et simplifier ainsi notablement les calculs. Nous trouvons ici :

-- ql qx^

q désignant la charge par unité de longueur.

La surface des moments est donc limitée par une parabole ; en choisissant convenablement l'échelle, il serait possible de faire coïncider cette courbe avec Taxe du prisme.

. ql*

Au milieu de l'axe, M^ devient^ et z = A, on peut donc

aussi poser :

si Ton introduit cette valeur dans la formule (121), il vient, tous calculs faits :

Cette valeur de H annule l'expression de A,comme il résulte de Téquation (118). En général, si Pon peut trouver pour Tinconnue statiquement indéterminée une valeur telle que le travail de déformation soit nul, cette valeur correspond nécessairement à un minimum de A, le travail de déformation ne pouvant être négatif. Nous aurions pu déterminer H en nous basant sur cette remarque. Il convient de remarquer que les formules (421) ou (120) ne donnent pas la valeur exacte de A ; en e£fet, Papplicalion de charges, si petites soient-elles, produit nécessairement une déformation et A ne peut être nul comme nous le trouvons.

La raison de cette contradiction est que, dans les calculs, nous n'avons tenu compte que du moment de flexion. Pour obtenir des résultats exacts, il faudrait lenir compte de TelTort normal N. On peut négliger le travail des actions moléculai-

196 GtlAPIïRK V

res tangenlielles, et cela avec plus de raison que lorsque Taxe du prisme est recliligne, car ces actions moléculaires sont moins intenses dans les prismes à axe curviligne. On pourrait du reste introduire ce terme dans Texpression du travail de déformation^ exactement comme nous l'avons fait précédemment pour le prisme droit. Ce n'est toutefois d'aucune importance pratique ; aussi ne le ferons-nous pas.

Si R est rintensité d^actions moléculaires normales uniformément réparties sur la section transversale F, R étant donné par Texpression

ces forces fournissent un travail dans l'allongement du prisme élémentaire, qui, rapporté k l'unité de volume, est égal à (éq. 42) :

en multipliant par bW.v, le volume du prisme élémentaire, il vient :

(lA, = — (is ^ — (Is 2E 2EF

Supposons qu*une fois celte déformation accomplie nous fassions agir le moment de flexion M. Celui-ci occasionne une rotation d'une des sections du prisme élémentaire, relativement à l'autre, et, d'après l'hypothèse delà répartition linéaire des actions moléculaires, celte rotation a lieu autour d'un axe passant par le centre de gravité. Dans ce mouvement, les

points d'application des actions R=7; se déplacent, nous devons calculer le travail qu'elles fournissent dans ce mou«> vement. Le chemin parcouru par le point d'application de Faction moléculaire agissant sur l'élément superficiel dFy distant de y de l'axe neutre est

PRISMKS A AXE CURVILIGNE i97

le travail total de ces actions moléculaires sera donc

or l'inlégrale fydF est nulle, puisque Taxe neutre passe par

le centre de gravité de la section. Les actions moléculaires normales duesà TefForl normal N, ne fournissent donc pas de travail durant la déformation occasionnée par le moment fléchissant M.

Inversement, on démontrerait que le travail des actions moléculaires qui se développent sous l'action de M est nul durant la déformation produite par N.

Nous avons donc maintenant, au lieu de l'expression (119), la valeur suivante :

d'où

Il faudrait connaître N en fonction de II ; pour des arcs de faible courbure, on peut poser approximativement H = N : H et N étant dans ce cas très grands, Terreur commise est très petite. On a alors :

et l'équation précédente donne :

'M 5 zds

OU, si Ton suppose I et E constants :

^ pif, zds (124)

t désignant le rayon de gyraiion de la surface F, de sorte que

La comparaison de cette formule avec l'expression (121) montre Tinfluence de la considération de Teffort normal N sur la valeur de II. Tant que / est petit par rapport à z, les deux valeurs de H fournies par (121) et (124) différent fort peu Tune de Tautre; or cette condition est très généralement remplie. Il suffit donc le plus souvent de calculer H à Taide de la formule (121).

611. Antre méthode pour déterminer la poussée horizontale. — Etant donnée l'importance pratique du calcul de la poussée horizontale, il nous paraît désirable d'indiquer encore une autre méthode pour le calcul de cette force.

Supposons Tare encastré à Texlrémité gauche, tandis que l'extrémité droite est absolument libre, et admettons que, seul, un élément ds de Tare subisse une déformation, tandis que tout le reste de Tare conserve sa forme initiale.

Par suite de la déformation det/s, la partie de Tare (fig. 45)

If'

Fig. 45

située à droite de cet élément tourne rehitivemenl à la partie de gauche d'un angle Arfcp, chaque point décrit un arc de cercle, dont le centre se trouve au milieu de ds et dont l'angle au centre est Arfcp. Sur la figure, le rayon w de l'arc de

cercle décrit par l'extrémité droite du prisme est indiqué en pointillé.

Le chemin décrit par cette extrémité est égale à wtid^.

Pour reconnaître de combien la portée de l'arc s'est accrue par suite de la déformation subie par ds^ supposons que l'arc

entier tourne sans se déformer autour de rextrémité gauche, jusqu^à ce que l'extrémité droite se. trouve de nouveau sur l'horizontale primitive. Les chemins parcourus successivenaent par Texlrémité droite forment Thypoténuse et un côté d'un triangle rectangle infiniment petit, tandis que le troisième côté représente précisément la variation rfA/ de la portée. Dans ce triangle, Tun des angles est égal à l'angle compris entre le rayon w et la verticale. Nous avons donc

dbkl= w ts^d^ cosa = z Arf^p .

En appliquant successivement le même raisonnement à tous les éléments ds de Tare, nous trouvons pour la variation totale A/ de la portée / de Parc :

A/ = fztid^ = f^ ds (125)

Nous n'avons pas tenu compte ici de l'action de l'effort normal; il est cependant facile de la considérer. Si l'arc est de faible courbure, on peut poser pour expression de la variation correspondante :

EF

Ce terme est naturellement négatif, la poussée horizontale tendant à diminuer la portée de l'arc ; A/, dans l'équation (125), est positif si M l'est aussi, car un moment positif d'après nos conventions tend à diminuer la courbure de l'arc et par suite à en augmenter la portée.

Dans les déformations réelles que subit l'arc, la portée reste invariable. Nous avons donc l'équation de condition :

l^ds — rr. = 0 El EF

En mettant pour M sa valeur (éq. 118) et en résolvant par rapport à H^ on retombe sur les valeurs trouvées précédemment, savoir sur la formule (120) si Ton néglige le second terme, et sur (123) si l'on en tient compte. Nous avons

toutefois ici /au lieu de fds; ce fait provient naturellement de

Teslimation arbilraire du terme de correction.

On peut aussi procéder en supposant pour un instant que Textrérililé droite de la pièce est munie d'une glissière. Le moment fléchissant est alors simplement Mft, par conséquent Taugmentation de la portée est :

lE

Appliquons maintenant sur le palier mobile de droite une force horizontale H, telle qu'elle compense l'allongement A/, de sorte que Tare se trouve ramené dans sa position définitive. La force H produit des moments fléchissants négatifs Hz ; le raccourcissement correspondant do la portée est (équation 125)

d'oti Téquation

J ÏE J lE

de laquelle résulte H. Si on le jugeait nécessaire, on pourrait également tenir compte de la déformation due à Teffort normal.

Ces dernières méthodes ont sur l'application des théories de Castigliano l'avantage d'êlre plus claires. On voit mieux la signification de chacun des termes des diverses formules. Par contre, elles exigent une connaissance exacte des différentes phases du phénomène, tandis que la méthode de Castigliano conduit directement au résultat.