loflaenee den Tariatlons de température. — Si

le système des forces extérieures qui agit sur un corps est isoslatique, les variations de température sont sans influence sur les actions moléculaires développées dans le solide. En effel, les forces do liaison peuvent alors êlre déterminées à

PRISMIiS A AXE GURVILlGiNE 201

Taide des équalions universelles de Téquilibre et sont toujours nulles si les forces extérieures le sont, quelle que soit la température à laquelle le solide est soumis. Si donc toutes les forces extérieures sont nulles, il faut que, dans chaque section transversale, les actions moléculaires se fassent équilibre entre elles ; ceci n'est possible, en vertu de rhypotbëse de la répartition linéaire des actions moléculaires, que si elles sont nulles.

Dans le cas d'un échauffement inégal des diverses parties du solide, il peut s'établir à l'intérieur du corps des forces élastiques qui ne sont plus réparties suivant la loi de répartition linéaire ; il n'est alors plus exact de supposer les forces intérieures nulles, lorsque les forces extérieures le sont. Un excellent exemple d'actions moléculaires développées par suite d'un échauffement inégal est donné par les actions moléculaires latentes de fabrication qui se développent dans les pièces de fonte refroidies irrégulièrement après la coulée et dont certaines parties se sont solidifiées, tandis qued^autres étaient encore fluides. Souvent, ces actions latentes atteignent une intensité voisine de la limite de résistance, de sorte qu'une charge très faible suffit pour causer la rupture de la pièce. Remarquons en passant qu'il est possible de faire disparaître ces forces ou tout au moins de diminuer leur intensité en portant la pièce au rouge ou, comme Tout démontré des expériences récentes, en la soumettant à des charges réitérées dont on augmente insensiblement l'intensité.

Nous exclurons ce cas et admettrons qu'à l'état initial le corps n'est soumis à aucune force intérieure, que la température varie partout uniformément et enfin que le coefficient de dilatation est le même en tous les points du solide. Dans ces conditions, si le corps n'est sollicité par aucune force extérieure et s'il subit une variation de température, il se dilate en restant géométriquement semblable à sa forme initiale. Il n'y a alors aucune cause pour que des forces intérieures se développent.

Si, par contre, le solide est sollicité par un système de forces hyperstatique, il peut arriver que par suite des liaisons auxquelles il est soumis il lui soit impossible de se dilater librement, en restant semblable à lui-même. Il se produira de ce fait de nouvelles forces de liaisons indépendantes du système des forces extérieures. Les quantités slatiquement indéterminées que Ton a à déterminer dans le calcul des pièces soumises à un système de forces hyperstatique ne dépendent donc plus de ces forces seulement, mais aussi des variations de température.

L'arc à deux articulations aux naissances est un exemple des cas de ce genre. S'il subit une élévation de température il ne peut se dilater en restant semblable à lui-même puisque la portée de Tare reste invariable ; il se produira donc une poussée horizontale qui s'oppose à rallongement de la corde de Tare. Cette force développe dans le prisme des moments fléchissants, des efforts normaux et transversaux et par suite des actions moléculaires qui viennent s'ajouter à celles provenant des forces extérieures. En général, Tinlensité de ces forces est assez considérable pour qu'il soit nécessaire d'en tenir compte dans les calculs de résistance.

Pour les constructions établies en plein air, les ponts par exemple, on admet des variations de température de 40^ en dessus et en dessous de la température correspondant à l'état initial. Une pareille variation produit dans une construction en fer une dilatation linéaire d'environ 1/2000 des dimensions primitives. Par exemple, la distance des points d'appui d'un arc à deux articulations de 50 m. de portée initiale tendrait à s'allonger de A/^^ 28 mm. L'augmentation de la poussée horizontale devrait être assez grande pour que la déformation produitecompensât exactement A/. Posons d'une façon générale

ladilatation del'unité delongueurégaleàT^ et ne tenons compte que des moments fléchissants produits par H ; il vient comme plus haut :

d'où Ton tire pour la poussée horizontale causée par la variation de température

lË

On traiterait de même l'influence sur H d'un déplacement possible des culées.

On peut déterminer facilement aussi les forces de liaisons dues à des variations de température à l'aide des théorèmes deCastigliano. Soit U l'une de ces forces de liaison, et supposons la liaison correspondante supprimée : le solide pourra se dilater librement en ce point ; soit u le chemin décrit dans cette dilatation par le point d'application de U, mesuré suivant la direction de U. On pourra toujours calculer facilement tt lorsque n est donné. Il faut évidemment que U soit telle que le déplacement u disparaisse.

En vertu de la formule (9S) nous avons donc

Cette relation remplace la formule

qui sert à calculer U, lorsqu'il n'y a pas de variation de température.

U n'est pas nécessairement une force, ce peut être aussi un couple ; il faut alors entendre par u la rotation que ferait le solide considéré si la liaison était supprimée.

Appliquons ces résultats à Tare à deux articulations.

Nous avons U = H et w = — t;/, l'équation (1 27) devient :

en mettant pour A sa valeur (119), dans laquelle M6 est égal

à zéro, puisqu'il n'y a pas de forces exiérieures, nous oblenous :

rfH / lE

ds = rj

d'où résulte la même valeur pourll que celle trouvée précédemment (formule 126).

71. Are encastré aux deux ex.t remîtes. — Les inconnues statiquement indéterminées du problème sont au nombre de 3; nous avons en effet 6 inconnues en tout : les composantes verticales et horizontales des réactions des appuis et les moments des couples agissant dans les sections d'encastrement.(jomme inconnues statiquementindéterminées, nous prendrons la composante verticale B et la composante horizontale II de la réaction de Tappui de gauche, ainsi que le moment Mo du couple dans cette section; il vient alors, si Ton conserve les notations précédentes, pour le moment de flexion M dans une section transversale quelconque d'abscisse x :

M = Mo + B:c — H5 — S P (x—p).

En particulier, si la charge est répartie uniformément sur la projection horizontale de Tare:

M = Mo + Ba: — H::— ??*

Pour plus de simplicité, nous négligerons les efforts normaux dans le calcul du travail de déformation ; nous avons donc simplement :

' I zr ds V El

En égalant à o les dérivées partielles de A prises successivement par rapport à B, II et Mo nous obtenons les trois équations de condition :

PHISMES A AXE GURVIUGiNE if05

i\ rfA dM , r^^ ,

m — J ElrfB J El

dK fM dM , /'Mr ,

c/U J El rfH y El

rfA Al rfM , TM ,

Après avoir remplacé M par sa valeur, on pourra résoudre ces trois équations par rapport à B, H et Mo. Les intégrales qu'elles renferment peuvent toujours être évaluées graphiquement si rinlégralion directe présente trop de difticullés. Les 3 inconnues restantes se déterminent ensuite à Taide des conditions générales d'équilibre.

Recherchons quelles valeurs prennent les quantités B, H et Mo lorsque Tare ne subit qu'une variation de température. Supposons l'extrémité gauche de l'arc libre, on reconnaît que, seul, le point d'application de H subit un déplacement dans le sens de la force (à condition naturellement, que les deux appuis soient à la même hauteur).

Nous avons donc les trois équations :

Ma? ,

---' ds = 0

dans lesquelles M est simplement :

Mo + Bx— Hz

puisque, par hypothèse, il n'y a pas de forces extérieures. On en tirerait comme plus haut les valeurs B, H et Mo.

91. Rési»(aoee d uo anneau ou d'un tabe travail* lanl à, la compreftaiou ou à. l'exten«lon dana un pian

diamétral. - La figure 46 représenieuQ corps de forme annulaire comprimé dans le plan vertical entre deux plaques avec une force P. Un tuyau situé sous une chaussée subit des efforts analogues lorsque passe une voilure chargée. Si nous considérons au lieu d'une compression une extension de même intensité, les déformations et les actions moléculaires sont les mêmes en valeur absolue; seul leur signe change. Un maillon de forme annulaire d'une chaîne chargée à une extrémité travaille exactement dans ces conditions. Il suffit par suite de traiter Tun des cas, celui de la compression par exemple.

On reconnaît immédiatement que l'on peut se borner à

fîg. AQ

considérer un quadrant^ les trois autres se trouvant dans des conditions absolument analogues. Envisageons le quadrant supérieur de gauche et supposons-le séparé du reste du corps. Pour que riçn ne soit changé, nous devons appliquer sur les surfaces de séparation des systèmes de forces extérieures équivalents aux systèmes des actions moléculaires qui agissaient

précédemment sur ces sections. Pour lasection transversale horizontale, la résultante de ce système, que nous pouvons supposer passer par le centre de gravité, est évidemment perpendiculaire à la section par raison de symétrie ; en effet, les deux quadrants qui se joignent suivant cette section travaillant dans des conditions absolument semblable, l'action et la réaction qu'ils exercent Tun sur l'autre doivent être dirigées par rapport à l'un exactement comme par rapport à l'autre : ceci n'est possible que si l'angle qu'elles forment avec le plan delà section est droit; de plus, en considérant l'équilibre d'une

moitié du corps, on voit que la résultante agissant sur la

p section transversale horizontale est égale à -.

Soit Mo le moment du couple inconnu agissant sur cette section. Le moment fléchissant M dans une section transversale quelconque dont le plan est incliné de l'angle <p sur l'horizon est donné par la relation :

p M = Mo + -(r — rcps<p)

L^effort normal N agissant sur la section est égal à :

P -cos ç

Nous ne considérons d'abord que Tinfluence de M dans le calcul des déformations, celle-ci étant assez prépondérante pour que l'on puisse se borner à tenir compte d'elle seule dans les calculs pratiques.

La déformation du quadrant est soumise à la condition que les sections extrêmes demeurent perpendiculaires entre elles. En effet, à l'axe longitudinal correspond un angle de 360°, lequel ne subit aucune variation tant que Taxe longitudinal ne cesse pas d'être une courbe fermée, c'est-à-dire tant qu'il n^y a pas rupture. De plus^ les quatre quadrants travaillent dans des conditions absolument semblables ; Tangle au centre de 90^ qui correspond à chacun d'eux ne doit donc pas non

plus subir de variation. L'équalion de condilion nécessaire pour déterminer la seule inconnue statiquement indéterminée du problème, Mo, est donc la suivante :

nous avons trouvé précédemment :

par suite :

Pr Pr

(Mo + ~ — Y ^^s 'f)^ ^?

Arf,p = ïi

Si l'on substitue cette valeur dans Téquation ci dessus et si on laisse de côté les facteurs constants I, Ë et r, on obtient :

X2 Pr Pr

(Mo + Y ~ 7 cos<f)^/f = 0

Tz PrTï Pr ^0^ + ^-1 = '

d'où

Mo = — ^*Pr= — 0,182 Pr

Ainsi, aux extrémités du diamètre horizontal^ le moment fléchissant est négatif : il tend par conséquent à augmenter la courbure. On pouvait du reste s'attendre à ce résultat en considérant la figure. Celle-ci laisse reconnaître de même que le moment fléchissant aux extrémités du diamètre vertical est positif.

Dans ^expression de M, le second terme est positif, Mo est donc le moment maximum de signe négatif. Le plus grand

moment positif correspond à la valeur o = -\ on trouve :

PKISMtlS A AXE CURVILIGNE 209

M„ =-=0,318Pr.