J JE

ds

nous aurons maintenant Aâf au lieu de A/, de plus :

=:Mo + -(Pr — rcosçj eiz = rco^(f

Il suffit d'étendre l'intégrale à un quadrant seulement et

de doubler le résultat. Posons immédiatement I=-rT7, afin de

traiter complètement le cas du tube (ou celui d'un anneau de section rectangulaire). Il vient, tous calculs faits:

El 2jr ' Eli*

Nous aurions pu naturellement employer les théorèmes de Castigliano pour arriver aux résultats ci-dessus. Nous allons montrer comme ces théorèmes peuvent servir à résoudre un cas plus général.

Soit (fig. 47) un corps de forme annulaire soumis à l'action d*uu système de forces normales à la. face extérieure (ou à la face intérieure) et constituant un système en équilibre.

Il s'agit de déterminer le travail élastique de la matière dans une section transversale quelconque.

Menons une section mm à travers Tanneau. Les actions moléculaires agissant sur cette section peuvent être ramenées à un effort normal No, à un effort tranchant To et à un couple de moment Mo. Si ces trois quantités étaient connues, on pourrait déterminer immédiatement les quantités correspondantes N, T, M relatives à une section transversale

Fig. 47

quelconque, faisant un angle cp avec la section 772m ; il serait facile d'en tirer ensuite la valeur du travail élastique de la matière. Le problème consiste donc à déterminer les valeurs de No,To et Mo. La marche à suivre est semblable à celle employée à l'article 71, car nous pouvons considérer l'anneau comme un arc encastré aux extrémités ; le fait que dans le cas particulier les deux extrémités coïncident ne change rien au raisonnement. Nous formons donc conime précédemment l'expression du travail de déformation A, pour laquelle il sufGt en général de ne tenir compte que des moments de flexion, puis, en égalant à zéro les dérivées partielles de A prises par rapport aux quantités No, To et Mo, nous obtenons trois équations qui, jointes aux conditions d'équilibre, suffisent pour déterminer Mo, No, To sans ambiguilé. En effet, les points d'application de No et de To ne se déplacent pas, et le plan du couple Mo reste fixe dans l'espace puisqu'on réalité l'anneau ne présente pas de solution de continuité le long de la section mm. Les dérivées partielles du travail de déformation, prises par rapport à No, To et Mo, sont donc bien nulles, en vertu du théorème de Castigliano.

Les maillons de chaînes sont en général de forme allongée. Si Ton en assimile Taxe longitudinal à une ellipse, le calcul s^opère exactement comme lorsque cet axe est circulaire. On rencontre toutefois au cours du calcul des intégrales elliptiques. 11 est préférable alors de remplacer l'intégrale par une somme de termes en nombre fini, ou bien d'avoir recours à une quadrature mécanique. Abstraction faite de la longueur des calculs, ce cas ne présente pas de difficultés spéciales.

78. Reiiaort eu spirale. — Lorsqu'on bande le ressort (fig. 48), c'est-à-dire lorsqu'on l'enroule autour de l'axe, tandis que l'on maintient fixe l'autre extrémité, la courbure de chaque élément du ressort augmente. L'angle A«f dont on a fait tourner l^axe est évidemment égal à la somme des variations angulaires élastiques Ar/cp qu'éprouvent les angles formés par les plans des

]>RISMb:S A AXi: CUIIVILIUMK SI3

sections liaiisversaies lintitaiil les élémoiils au longueur 'A', du ressort. Le ressort exerce une force P sur le point d'altaclie C, {lirigéo perpendiculairement au rayon vecteur joignant ce point au centre du ressort .

I — S" Le moment lléchîssant agis-

'• sant sur un élément dx dont la

! distance k P esl y, est :

C F M = ry

'"*''' Car, si l'on suppose le ressort

coupé en ce point et si l'on envisage la partie comprise entre cette section et le point d'atlache C, on voit que P est la seule force extérieure agissant sur le corps. Le signe de M est le même pour lotis les éléments; dans la ilisposilion de la figure il serait négatif d'après nos conventions. Il suffit toulefoJs de considérer la valeur absolue de M, aucun doute ne pouvant s'élever au sujet du sons des déformations. La formule (tl3) donne :

d'où, en intégrant le long do l'axe longitudinal du ressort et en supposant la section constante

^'?=hJ'J'''

L'intégrale, dans la formule ci-dessus, a une signification très simple : c'est le moment statique de l'a\e longitudinal du ressort relatif à une droite coïncidant en direction avec la force P ; il est égal au produit de la longueur de cet a\e par )a distance de son centre de gravité à la fiirce P. Or ce centre de gravité coïncide sensiblement avec le centre de la tige sur laquelle s'enroule le n'ssorl ; nous pouvons donc poser :

214 CHAPITRK V

Af = |-' (133)

Le but de l'emploi de ressorts en spirale dans les mécanismes est d'emmagasiner sous forme de travail de déformalion une certaine quantité d'énergie déterminée par les conditions dans lesquelles les mécanismes auront à fonctionner. Il est donc fort important de savoir calculer le travail de déformation A. Le plus simple est de déterminer le travail qu'il faut dépenser pour remonter le ressort, c'est-à-dire pour l'enrouler autour de la tige centrale. Remarquons que les forces exté-rieures appliquées sur cette tige doivent faire équilibre à la force P qui agit sur l'extrémité C du ressort ; il faut donc qu'elles se réduisent k une force égale et parallèle à P passant par l'axe de la tige, et à un couple de moment Pp. La force unique agissant sur la tige est compensée par les réactions des coussinets de celle-ci, tandis que le mompnt T?p doit l'être par une roue à rochel placée sur la tige et par un cliquet. Pour remonter le ressort il faut appliquer un couple de même moment et de sens contraire. Le travail produit par un couple dans une rotation est égal au moment du couple multiplié par l'angle dont le solide^a tourné, exprimé en fraction du rayon i. Ici nous devons, de plus, multiplier encore cette expression par i/2, puisque le moment croit insensiblement à mesure que le ressort se tend, de o à une valeur maximum. Nous avons par conséquent :

A=>AT = i» (134)

On cherche naturellement à utiliser le ressort le mieux pos-. sible, c'est-à-dire à y emmagasiner le plus d'énergie possible. La limite est donnée par la valeur que peut atteindre au maximum le travail élastique de la matière ; elle est en général très élevée, plus élevée que dans les autres genres de construction, à cause de l'excellente qualité des matériaux em-

ployés pour la fabrication des ressorts. En aucun cas, naturellement, la limite d'élasticité ne doit être dépassée. Soit Rla valeur maximum du travail élastique, nous avons :

car le moment de flexion atteint sa valeur maximum dans la spire extérieure, au point diamétralement opposé à l'extrémité C du ressort. Le bras de levier de la force P est donc sensiblement égal à 2 p.

Tirons de cette équation la valeur de P/> et substituons dans la formule (134) il vient :

Supposons la section du ressort rectangulaire et soit beih les côtés du rectangle: I =77, ^ =7

oii V= bhl signifie le volume du ressort. On voit ainsi que la quantité d'énergie qu'un ressort peut emmagasiner ne dépend que de son volume^ donc que de la quantité de matière employée et non pas des quantités b^ h ei l prises séparément.