ACTIONS MOLÉCULAIRES, TRAVAIL ÉLASTIQUE

t. Introduction. — H suffit en général en Mécanique de considérer les corps solides comme absolument rigides et parfaitement indéformables. Souvent, cependant, les corps dans la nature se comportent d^une façon telle que cette hypothèse n'est plus admissible. Dans certains cas, en eflfet, il est impos- >le de prévoir si un corps donné, placé dans des conditions .onnées, se comportera réellement comme s'il était indéforlable ou s'il n'éprouvera pas au contraire des déformations

notables qui le défigurent, ou même entraînent sa rupture. Dans d'autres cas, au coiitrairey il n'existe au?bn doute sur la façon dont se comporte le corps donné ; par contre, les équations universelles d'équilibre fournies par la Mécanique ne suffisent pas pour résoudre les questions proposées, bien que celles-ci paraissent être de son domaine. Par exemple : un prisme, chargé do poids quelconques et reposant sur deux appuis, exerce sur ces derniers certaines pressions que Ton peut calculer à Taide des théorèmes généraux de Téquilibre des corps solides ; ces théorèmes, par contre, ne permettent plus de résoudre le problème si le prisme repose sur trois appuis. Semblablemenl, il est impossible de déterminer avec leur seule aide quelle est la pression exercée sur le sol par chacune des quatre jambes d'une table chargée d'une façon quelconque. Uétude du choc des corps solides est également impossible aussi longtemps qu'on les suppose absolument indéformables.

La Résistance des matériaux étudie le premier genre des cas cités, tandis que l'étude du second genre est du domaine de la Théorie de r Elasticité,

Anciennement, lorsqu'on admettait encore pour certains corps tels que les matériaux pierreux, le postulatum des solides invariables, on s'est souvent efforcé de combler la lacune apparente que présentait la mécanique des corps solides en établissant à côté des conditions générales d'équilibre des lois spéciales (par exemple, la loi de moindre résistance dans la théorie des voûtes). Nous savons .aujourd'hui que cette manière de se tirer d'affaire était incorrecte. Il n'existe aucun corps dans la nature qui soit absolument invariable. Tous les corps sont susceptibles de subir certaines déformations sans se briser, et toutes les questions insolubles selon les idées anciennes peuvent être immédiatement résolues dès que l'on tient compte de celte propriété des matériaux. ^'

La résolution des problèmes de la résistance des matériaux, aussi bien que celle des questions dépendant de la théorie de

Télasticité, nécessite l'élude des déformalions des corps considérés, si petites soient-elles. Il n*est donc pas nécessaire, en somme, de séparer ces deux sciences, et, dans ce qui suit^ nous entendrons par résistance des matériaux^ au sens large du terme, la partie de la mécanique des corps solides dans laquelle on tient compte des déformations subies par ces corps sous l'action des forces agissant sur eux.

Le terme « corps solide » est employé ici par opposition èi « corps invariable » il ne signifie toutefois pas encore « corps élastique». L'étude de la façon dont se comporte un corps plastique, par exemple un morceau de terre glaise mouillée,, est aussi du domaine de la résistance des matériaux. Il est vrai que Ton s'est peu occupé des cas de ce genre jusqu'à présent, et cela tout simplement parce que la nécessité ne s'en est pas fait sentir.

La résistance des matériaux estdoncfle complément indispensable de la Mécanique des corps solides invariables, pour l'étude des propriétés réelles des corps solides existant dans la nature.

•. Postulatun' rondamental. — Les équations universelles d'équilibre sont applicables non seulement aux solides invariables mais encore à tout corps qui, dans le cas considéré,, se comporte comme s'il était indéformable. En particulier, si le corps est en repos, toutes les parties dont il se compose sont également en repos ; donc le corps durant le moment où nous le considérons, au moins, ne subit pas de variation de forme, il se comporte comme s'il était invariable.

Ce cas du repos est très important pour la résistance des matériaux, car il correspond à Vétat de réquilibre élastique c'est-à-dire à l'état réel d'un corps solide soumis à l'action de certaines forces extérieures constituant un système en équililibre statique. Il sera donc permis d'appliquer à l'étude de ce cas les résultats de la Mécanique, en les complétant chaque fois que cela sera nécessaire pour la résolution du problème.

Ce qui précède est susceptible d'une généralisation. Nous i pouvons en effet énoncer le postulatum suivant : Toute

partie d'un corps ^ quelle que soit la façon dont elle est limitée y peut être envisagée à son tour comme un corps auquel les théorèmes généraux de la mécanique sont applicables.

Ce principe parait évident au premier abord; il Test certainement si Ton suppose la portion considérée du corps comme i} effectivement séparée du reste. Mais il a une portée plus générale : on peut l'appliquer encore à des parties du corps qui demeurent attachées au reste, et que" l'on considère pour ellesmêmes afin de tirer de cette étude des renseignements sur la manière dont se comporte le corps tout entier. Ainsi, ce postulatum ne peut être posé que comme une loi expérimentale qui tire sa démonstration du fait qu'elle s'est trouvée vérifiée dans tous les cas.

En Mécanique on ne considère que les forces extérieures, c'est-à-dire celles transmises par d'autres corps sur le solide donné. Les forces intérieures, corrélatives de la cohésion de ce solide, n'interviennent pas dans les calculs. Par contre si nous ne considérons plus le corps entier, mais une portion seulement, arbitrairement délimitée, les forces qui s'exercent entre cette partie et le reste du corps sont soit par rapport à la partie envisagée, soit par rapport au reste, des forces extérieures. Nous aurons donc à les introduire dans les équations d'équilibre

Nous avons par conséquent à examiner tout d'abord de quelle nature sont ces forces qui agissent à Pintérieur d'un corps solide.

8. .actions moléculaires. — Remarquons qu'en général les corps que nous étudions n'exercent d'actions mesurables les uns sur les autres que lorsqu'ils se touchent. Exceptionnellement toutefois, il pourrait y avoir lieu de tenir compte de forces se transmettant à distance. Par exemple, si nous considérions une partie d'un aimant, il faudrait tenir compte des __

actions exercées par les molécules da reste sur celles de la partie envisagée, et nous devrions traiter ces forces comme des forces extérieures. Nous ne nous occuperons pas davantage de ces cas exceptionnels. Les forces agissant entre une partie d'un corps et le reste sont donc de même nature que celles qui se produisent au contact de différents solides, en particulier leurs points d'applications seront situés sur la surface de séparation des deux portions considérées. Ces forces auront en général une direction quelconque, un corps solide opposant une résistance à toute déformation, quelle qu'elle soit. On nomme /or- €€S iîiténeures^ ou actions moléculaires^ les forces qui naissent dans la matière sous l'influence des forces extérieures agissant sur le corps. Comme il est possible de délimiter arbitrairement une portion du corps, on pourra toujours faire en sorte que l'action moléculaire agissant dans une direction donnée devienne une force extérieure et soit par suite accessible au calcul. En particulier, en appliquant les équations générales d'équilibre à un élément du corps limité d'une façon quelconque, il sera possible d'obtenir des relations entre les actions moléculaires agissant en divers points du corps et selon des directions différentes, relations qui serviront de base à tous les développements subséquents.

4. Relation entre les forces ei^térienres et les ae« tlons moléeulaires. —Délimitons une portion du corps de telle sorte qu'une partie de la surface de séparation coïncide avec la surface extérieure du corps. Il faudra qu'il y ait équilibre entre les forces extérieures agissant sur la partie considérée de la surface extérieure et les actions moléculaires réparties sur le reste de la surface de séparation. Comme en général les forces extérieures sont données, les équations d'éqnilibre permettronirde calculer dans certains cas les actions lolécttlaires.

Exemple : Tige travaillant à Pextension sous l'influence de eux forces P appliquées aux extrémités et agissant selon l'axe

int

Fig. i

de la pièce. Faisons une section mm à travers la tige, les Ji

conditions d'équilibre appliquées par exemple à la partie située à gauche de la section 7nm exigent que la résultante

i"^ des forces intérieures a-

•^ (^ — ! @ "^ gissant dans cette section

soit égale et de signe contraire à la force P, et coïncide en direction avec Taxe de la tige. Nous ne déterminons toutefois ainsi quelarésultante des actions moléculaires développées dans la section mm, nous n'avons^ rien^jjris but la répartition de ces actions sur la section. Ainsi donc, même dans ce cas très simple, il n'est pas possible de déterminer cette répartition tant que nous considérons la tige comme indéformable, le problème est indéterminé comme ceux cités à Tarticle 1.

Du reste si la tige était réellement indéformable, il n'y aurait guère d'utilité à connaître la répartition des actions moléculaires : celle-ci ne serait d'aucune influence sur la façon dont se comporterait la lige. Mais la résistance qu^oppose une tige à laruptureest toujours limitée. Si une rupture se produit, on peut de prime abord s'attendre à ce ^ue celle-ci ne se produise pas simultanément sur toute la section. Elle commencera évidemment à se produire là oh les circonstances sont le plus favorables pour cela, puis s'étendra de proche en proche à toute la section. Il est donc de toute nécessité, pour pouvoir juger si une charge donnée peut produire une rupture, d'avoir des idées précises, sur la répartition des actions moléculaires sur la section.

5. Intensité des actions moiécalaires. -— Seule Fétude des déformations qui précèdent la rupture peut nous renseigner sur la répartition des actions moléculaires ; car les déformations subies par le corps dépendent de cette répartition.

La nature de celte dépendance varie suivant les propriétés particulières des corps considérés et ne peut se déterminer

que par Texpérience. Dans l'exemple précédent, si la section mm est suffisamment éloignée des extrémités de la tige et si la matière est élastique, il est plausible d'admettre, en se basant sur des considérations géométriques, que les allongements élastiques des divers points de la section mm sont égaux entre eux, ainsi que les actions moléculaires agissant en ces points. On peut donc calculer la force intérieure agissant sur Tunité de surface en divisant la force P par la section F. Ce quotient :

porte le nom àUntensité de raction moléculaire dans la section considérée, de travail élastique * ou encore d'action moléculaire spécifique. Cette dernière appellation est d'un usage général dans les ouvrages allemands.

La grandeur que Tintensilé de Taction moléculaire peut atteindre sans qu'il y ait danger. -de-ju;ipture dépend de la matière dont est formée la tige. La détermination de l'intensité des actions moléculaires est par suite, dans tous les cas semblables^ Tun des plus importants problèmes de la Résistance des matériaux.

6. E««ai d'un eintenii à l'exlensian. — Il ne faut pas toutefois s'attendre à ce que la répartition des actions moléculaires soit toujours aussi simple que dans le cas précédent. L'essai d'un ciment à l'extension nous en donne un exemple excellent.

Pour essayer un ciment, on en prépare un mortier formé

i. Il ne faut pas vouloir comparer le travail èlastiqucy quotient d'une force par une surface, avec la notion de travail mécanique, produit d une force par une longueur. Nous éviterons du reste autant que possible d'employer ce terme, afin d'éviter les confusions qui pourraient se produire lorsque nous traiterons du travail des actions moléculaires pendant la déformation.

N. du T.

40 ô / ; ^ - ♦^ ^ CHAPITRE I

d'une partie eu poids de ciment, de trois parties d'une sorte de sqfele spécial, appelé sable normal, et d'une quantité d'eau déterminée. Ce mortier, soigneusement trituré, est mis dans un

moule de métal et soumis à une pression j convenable. Une fois Téprouvelte ainsi obte-

nue (fig. 2), durcie, on la soumet au moyen d'une machine d'essai à un effort de traction mesurable, que Ton augmente jusqu'à ce que la rupture s'en suive. Celle-ci se produit naturellement entre les lignes aa et bb. Ici i encore on calcule généralement l'intensité

Fig. 2. des actions moléculaires au moyen de la

formule (0, mais il est évident que l'on n'obtient ainsi qu'une valeur moyenne du travail élastique par unité de surface ; on reste dans l'ignorance au sujet de l'intensité réelle de l'action moléculaire au point oti la rupture a commencé. Il est facile de se rendre compte que cette intensité est beaucoup plus grande que la valeur moyenne fournie par l'équation (1). Si Ton prend, en effet, un morceau de caoutchouc de forme et de dimensions semblables à celles de l'éprouvelte et qu'on le soumette à un essai analogue, on verra que l'allongement élastique est beaucoup plus considérable dans le voisinage des arêtes qu'au milieu. Les droites parallèles aa et bb tracées sur les faces de Téprouvette se transforment en deux courbes opposant l'une à l'autre leur convexité. Dans une expérience de ce genre, dans laquelle les allongements entre aa et ii, étaient mesurés au microscope, à des distances différentes de Taxe, l'auteur a trouvé les résultats suivants: l'allongement à une distance de 11,5 mm. de l'axe, soit à 0,S mm. de Tarêle de l'éprouvette, étant posé égal à 100 : Distance à l'axe : 0 4 8 11,5 ram.

Allongement correspondant : 24 34 53 100 L'allongement observé dans le voisinage de l'arête est donc quatre fois plus grand que celui qui est constaté au milieu, il en résulte nécessairement que les actions moléculaires dans le

voisinage des arèlos sont beaucoup plus grandes qu*au milieu.

Il n'est pas possible de soumettre les éprouvettes employées ordinairement pour Tessai des ciments à une expérience semblable, Ie3 allongements subis étant trop petits en valeur absolue pour qu'il soit possible de les mesurer avec une exactitude suffisante; on peut toutefois conclure d'autres essais que, tontes proportions gardées, elles se comportent exactement comme le morceau de caoutchouc.

Nous ne chercherons pas ici, pour le moment du moins, €e qu'on pourrait conclure de ces expériences sur la répartition des actions moléculaires. Notre but était de montrer, premièrement, qu'il faut être prudent dans les déductions faites sur la répartition des actions moléculaires et, secondement, qu'il n'est possible de se faire une idée exacte de cette dernière qu'en étudiant les déformations subies par le corps considéré.

V. C^omposautes de Taetion moléculaire agissant •ur un point donné, dans une direction donnée. —

Nous venons de voir qu'en général les actions moléculaires ne sont pas réparties uniformément sur une surface ; il nous faut donc modifier la définition donnée plus haut de l'intensité id'une action moléculaires. Considérons au point donné un élément de surface AF, et soit AP la part de la force P transmise par Télément AF ; nous appellerons intensité de Faction moléculaire au point considéré l'expression :

d'où

rfP = RrfF (3)

Nous avons toujours supposé implicitemeat, nous appuyant ir les exemples précédents, que l'action moléculaire est perendiculaire à l'élément de surface sur lequel elle agit. En

général il n'en n'est pas ainsi. Si donc l'aclion moléculaire forme un angle quelconque avec la normale à Télément de surface </F, il nous sera loisible de la décomposer en deux composantes, à savoir en une action moléculaire normale^ \

dirigée selon la normale à l'élément rfF, et en une action moléculaire tangentielle^ située dans le plan de i/F. Dans la suite, nous désignerons toujours par R, Yintensité de l'action moléculaire normale, par S celle de l'action moléculaire tangentielle. Pour fixer les idées, il faut encore attribuer des signes aux actions normales, nous les affecterons du signe positif lorsqu'elles tendent à séparer l'élément dF de l'élément de surface infiniment voisin, c'est-à-dire lorsqu'elles font travailler la matière à l'extension ; au contraire nous leur donneront le signe — si elles tendent à rapprocher ces deux , '^

éléments, c'est-à-dire s'il y a compression. Quant aux actions tangentielles, elles seront complètement définies si Ton donne leurs composantes selon deux axes de coordonnées tracés dans le plan de l'élément dF.

Il faut donc 3 composantes pour définir complètement l'action moléculaire agissant sur l'élément de surface dF.

Il serait toutefois faux de croire que la connaissance de ces 3 composantes suffise pour déf\u\r Yétat élastique Au corps au point considéré, c'est-à-dire l'état du solide en ce point "^

sous l'influence de forces extérieures données. En effet, cet état n'est complètement déterminé que si nous connaissons l'action moléculaire agissant en ce point sur un élément de surface orienté d'une manière quelconque.

8. Tétraèdre des aetions moléculaires. — Nous allons démontrer qu'il suffit de connaître l'action moléculaire relative à 3 éléments de surface passant par le point donné A, pour queTétat élastique en ce point soit complètement déterminé. Considérons un tétraèdre infiniment petit, tel que l'un de ses sommets coïncide avec le point considéré, et écrivons pour ce corps les conditions générales d'équilibre, en supposant de

plus que les 3 faces passant par le poinl donné coïncidenl précisément avec les 3 éléments de surface pour lesquels Taction moléculaire est connue, la quatrième face étant absolument quelconque. L'action moléculaire qui agit sur cette face est un peu différente de celle qui agirait dans une surface parallèle passant par A, si nous supposons le tétraèdre de plus en plus petit, cette quatrième face se rapproche de plus en plus de A et à la limite la différence entre les deuK actions moléculaires disparaît. C*est là la raison qui nous oblige à supposer le tétraèdre infiniment petit, dans d'autres cas nous pourrions considérer un tétraèdre de dimensions finies. En effet, il est bon de faire remarquer déjà ici qu'il est très souvent possible dans la résistance des matériaux de remplacer Tétude de corps infiniment petits par celle de corps de dimensions finies, très petites il est vrai, sans que Texaclilude du calcul en souffre sensiblement. Dans chaque cas particulier il sera en général possible de se rendre compte de la grandeur que les solides peuvent atteindre sans qu'il résulte d'erreur sensible du fait que l'état élastique varie en passant du point considéré à un point voisin.

Le tétraèdre considéré est sollicité par cinq forces extérieures qui doivent se faire équilibre, savoir : les actions moléculaires agissant sur chacune des quatre faces et la résultante des forces agissant sur la masse du solide. Dans les applications ordinaires de la résistance des matériaux, ces forces extérieures se réduisent à une seule, le poids du tétraèdre. Si Ton étudiait un solide en mouvement, il faudrait a]jûuter les forces d'inertie. Toutefois ces forces qui dépendent de la masse du tétraèdre sont des infiniment petits du teoisième ordre et par suite négligeables devant les actions moléculaires, qui sont proportionnelles à Taire des faces et par suite infiniment petites du second ordre.

Pour qu^il y ait équilibre, il faut que la §ommc géométrique aes quatre actions moléculaires soit nulle, la force inconnue se trouve donc comme ligne do fermeture d'un polygone des

i4 CHAPITRE I

forces gauche ou à l'aide de la méthode analytique. Il faut que ces quatre forces se coupent en un même point. De là résulte immédiatement que les actions moléculaires agissant sur les trois éléments de surface donnés doivent satisfaire à certaines conditions afin d*être compatibles entre elles. On trouverait ces conditions en écrivjml que les sommes des moments des forces par rapport à 3 axes rectangulaires sont nulles. Il est toutefois plus simple de considérer l'équilibre d'un parallèlipipède infiniment petit.

•. Décomposition des actions moléculaires. Eqvili» bre d'un parallëll pipède infiniment petit. — Nous venons de voir que Fétat élastique d'un solide en un point donné est déterminé sans ambiguïté dès que Ton connaît les actions moléculaires agissant sur trois éléments de surface passant par ce point. Pour plus de simplicité, supposons ces trois éléments perpendiculaires Tun à l'autre^ de façon à pouvoir employer un système d'axes rectangulaires.

Soit 0 (fig. 3*) le point dont nous étudions Télat élastique. Prenons-le comme sommet d'un parallèlipipède infiniment petit dont les arêtes sont dirigées suivant Ox, Oy, Oz.

Nous sommes forcés de supposer le parallèlipipède infiniment petit; sans celaTintensité des actions moléculaires en différents points d'une même face du solide pourrait prendre des valeurs très différentes. Dans cette hypothèse, nous pouvons admettre, au contraire, sans commettre d'erreur notable, que les actions moléculaires sont réparties uniformément sur les faces du solide. La résultante des actions agissant sur une face passe dans ce cas par le centre de celle-ci, elle est égale en grandeur (éq. 3) au produit de l'intensité de Faction moléculaire multipliée par Taire du rectangle considéré.

Les composantes normales des actions moléculaires ont naturellement la direction des axes de coordonnées; nous décomposerons également les composantes tangentielles agissant dans chaque face en deux composantes selon les mêmes axes.

li»

Ainsi donc sur les six faces du parallélipipède agissent dix-huit composantes qui font équilibre aux forces agissant sur la masse du solide.

Examinons maintenant les relations existant entre les composantes agissant sur deux faces opposées. Considérons les deux parties A et B d'un corps séparées par une section. En vertu du principe de Faction et de la réaction, Faction moléculaire exercée par A sur B en un point déterminé de la section est égale et de signe contraire à celle exercée par B sur A. Prenons en ce point la normale à la surface de séparation, d'un côté de celle-ci seulement. Pour Tune des parties, cette normale sera extérieure, ^our Tautre intérieure. Un travail à rexlension est, pour chacune des deux parties, une force dont le sens coïncide avec celui de la normale extérieure à la partie considérée. En effet, si nous envisageons Tautre portion du corps, d'après le principe d'action et de réaction^ le sens de la force est changé, mais en même temps le sens de la normale extérieure a changé aussi, de sorte que nous pouvons dire, sans ambiguïté, que la composante normale d'une action moléculaire produit toujours un travail à Textension (c'est-à-dire est positive, d'après nos conventions), lorsqu'elle coïncide en direction avec la normale extérieure à la section considérée.

Considérons (6g. 3^), par exemple, les deux faces opposées perpendiculaires à Taxe des x, La normale extérieure à l'une d'elle sera dirigée selon les x positifs, celle de l'autre aura le sens opposé. Supposons que l'on rapproche toujours davantage ces deux faces jusqu'à ce qu'elles coïncident. L'action moléculaire agissant sur l'une sera alors la réaction de l'action moléculaire agissant sur l'autre ; nous voyons donc que les composantes des actions moléculaires agissant sur deux faces opposées sont toujours de sens contraires.

Au sujet des signes nous îerons la convention suivante : pour les faces du solide dont les normales extérieures sont dirigées dans le sens des coordonnées positives, la composante

normale R est également positive, car nous avons déjà convenu précédemment d'affecter du signe + les actions faisaoL^ travailler la matière à l'extension. Le plus simple est donc de prendre avec le signe +, non seulement la composante R, mais

Fig. 3« La lettre or de la figure correspond à la notation R du texte.

aussi les deux composantes de S, lorsque les normales extérieures des faces seront dirigées dans le sens positif. Sur les faces opposées^ il faut changer tous les signes si les composantes des actions moléculaires sont positives. Le sens des flèches des fig. 3 a été déterminé d'après cette convention ; nous recommandons au lecteur de Tétudier attentivement. Dans la figure 3a on n'a indiqué, pour plus de clarté, que les composantes agissant sur les faces visibles. La normale à la face située dans le plan XOZ est dirigée selon les y négatifs ; par suite les flèches de R et des composantes de S sont également dirigées selon les coordonnées négatives. Dans les deux autres faces, au contraire, dont les normales extérieures sont

PORGBS INTÉRIKURES OU ACTIONS MOLÉCULAIRES

positives, les flèches sont également tracées dans le sens des axes positifs, conformément à notre hypothèse. La sig-nifica* lion des indices dont sont affectées les lettres R et S est facile à'sàisir. Chaque R est affeclé d'un indice, indiquant à quelle face il se rapporte, cela en donnant la direction de Taxe^ auquel cette face est perpendiculaire. De même le premier indice dont sont affectées les composantes taugentielles S indique la direction de la normale à la face sur laquelle elles agissent. Le second indice indique la direction de Taxe à laquelle cette composante est parallèle.

^^dx

Fig. 3^

Reste encore un troisième point à examiner. Pour les faces^ passant par 0, on peut admettre, en faisant abstraction dequantités infiniment petites d*ordre supérieur, qu'en tous les points d'une même face les composantes R et S ont la même valeur qu'en 0. Par contre, il n'est plus permis de négliger les variations qu'éprouvent ces quantités, lorsque Ton passe de la

face considérée à la face opposée.

En général, les composantes des aclions molécalaires sont des fonctions des coordonnées x, y, z. Nous admettrons que ces fonctions sont continnes ainsi que leurs arrivées partielles du premier ordre, ce qui revient à supposer : i^ que la matière est homogène, c'esl-à-dirc que ses propriétés élastiques sont les mêmes en chaque point, ou, tout au moins, qu'elles varient d'une façon continue lorsqu'on se déplace à Pîntérieur du corps ; 2^ que la périphérie du corps est une surface continue ; 3*^ que la loi de répartition des forces extérieures peut être représentée par une fonction continue d'à:, y, eiz. En vertu de ces hypothèses, connues dans leur ensemble sous le nom de loi de cofiùnuité, il est facile d'exprimer la valeur des composantes agissant sur les faces opposées à celles passant par 0. Considérons, par exemple, les forces agissant sur la face située dans le plan x oz, Ry, Syx, St^s, nous pouvons les supposer appliquées au centre de gravité de cette face. Si nous passons au centre de gravité de la face opposée, a: et z ne subissent aucun changement tandis que y croît de rfy, les composantes des actions moléculaires relatives à cette face s'obtiennent donc en développant Ry, SyxSj^^ en série à Paide du théorème de Taylor, en nous arrêtant au second terme, il vient :

On procéderait de même pour les autres faces. Les valeurs sont indiquées dans les figures 3.

Nous sommes maintenant en mesure d'écrire les équations générales d'équilibre des forces sollicitant le parallèlipipède dx dy dz.

Nous formerons tout d'abord la somme des moments relatifs à un système d'axes parallèles aux arêtes et dont l'origine coïncide avec le centre de gravité du solide, ceci afin d'obtenir les relations que nous avons reconnu devoir exister entre les neuf composantes Rx, Ry, Rz, Sxy, Sxz, Syx, Sy^, S^x, Szy, re-

latives aux trois éléments superficiels passant par 0. Dans^ les équations, il faudra introduire, non les intensités des actions moléculaires, mais leurs grandeurs qui sont proportionnelles aux aires des faces d'application. La somma des moments des forces, relatifs à Taxe parallèle à Taxe des Zy est (fig. 3*) :

Cette somme doit être nulle ; en divisant par dx dy d% et en nég'Iigeantles termes infiniment petits devant lea termes finis, nous obtenons :

En annulant les sommes des moments relatifs aax deux autres axes, nous obtenons deux relations analogues, de sorte que nous trouvons finalement les trois conditions.

qui constitue Tun des fondamentaux de la résistance des matériaux. Il est possible de généraliser ce résultat en considérant un parallélipipède oblique au lieu d'un parallélipipëde rectangle. Mentionnons encore le fait que beaucoup d'auteurs remplacent des doubles indices par un seul, en posant par exemple Sy» = Sxy = S^, l'indice z indiquant alors l'axe relativement auquel le moment de ces composantes est nul. Nous préférons toutefois conserver le système des deux indices qui nous parait plus clair.

Nous voyons donc que six quantités sont nécessaires pour

1. A rintérieur d'un aimant cette équation n'est plus satisfaite, car au moment des actions moléculaires s'ajoute un moment dû aux forces magnétiques, qui peut être du même ordre de grandeur. Nous faisons naturellement abstraction des cas de ce genre.

définir complètement Tétat classique du corps en un point donné 0. Aucun raisonnement n'est capable d'en réduire le nombre.

Formons maintenant les trois autres conditions d'équilibre en égalant à zéro la somme des composantes suivant les axes. Il n'est plus permis ici de négliger les forces extérieures agissant sur la masse du corps, car ces forces sont du même ordre que les variations des actions moléculaires relatives à deux faces opposées. SoitX, Y, Z, les composantes de la résultante de ces forces extérieures rapportées à l'unité du volume. Dans chaque équation, les termes contenant R^;, Ry, Rj,.*-- b'annulent deux à deux ; il ne reste donc que les termes contenant les dérivées partielles des actions moléculaires. Nous obtenons donc les expressions :

Forces parallèles à Ox.

^-^ dx dydz+'^^ dx dy dz + ^* dx dy dz

Ti dx dy dz =^0

Forces parallèles à Oy

i^ dx dy\dz + ^y dx dydz + ^^dxdy rf; dx ^ dy ^ ^ dz ^

+ Y dx dy dz^=o Forces parallèles à Oz.

*' dxdydz+ ^-Jldxdydz + ^ dx dy d

dx "^ dy ^ dz

-H Z dx dy dz =^0

d'où en supprimant le facteur r/^ dy dz^ volume du solide ——-1- --X + — — 4- X =0

dx dy dz

dx dy dz

dx dy dz

tO. SSqaations d'équilibre d'un tétraèdre infiniment p^tit. — Etablissons maintenant les conditions d'équilibre du problème traité à l'art. 8. La fig. (4) donne le tétraèdre en projections verticale et horizontale ; nous supposons connue rintensité des actions moléculaires agissant en 0 dans les trois plans zOy, ocOz^ yOx. Il s'agit de calculer l'intensité de l'action moléculaire relative à la face opposée à 0. Soient Pn cette

Fig.4 (T danâ la figure correspond & R du texte

intensité Pnx, Pny, Pnz les composantes selon les axes, n désignant la normale extérieure à la face considérée, rfF, l'aire do celle-ci. Les aires des trois autres faces du tétraèdre sont simplement les projections de rfF sur les plans de coordonnées, on les obtient donc en multipliant ^F par le cosinus de l'an-

gle des denx pltins. Mais cet angle est, d'après un théorème bien connu, égal à Tangle des normales aux deux plans; donc par exemple Tangle formé par dF et le plan yoz est égal à l'angle formé par n avec Taxe des x^ angle que nous désignerons par (nx). Egalant à zéro la somme des composantes selon les axes, nous trouvons, en appliquant la conrention précédente au sujet des signes et en laissant de c&té le facteur commun rfF :

P^ = Pj, cos (nx) + SyxCos (ny) + S^ajcos (nz) )

P„y == Sxy cos (nx) + Rj, cos (nt/) + Sty cos (nz) > (6)

P^, = Sxz cos {nx) + Syz cos (ny) + R^ cos {nz) )

Si la face considérée se trouve à la périphérie du corps, il faudra entendre par? la force extérieure agissant en ce point sur le corps.

Si cette force extérieure est nulle, les équations précédentes deviennent :

Rj. cos {nx) + Syx cos (ny) 4- Szx cos (nz) = o )

S«y cos (nx) + Rj, cos (ny) + S^y cos (nar) = o > (7)

S»y cos {nx) + Syx cos (ny) ■+- Rg cos (nz) = o )

Il serait naturellement possible d'étudier de la même manière Téquilibre d'un solide infiniment pelit de forme quelconque. On n'obtiendrait toutefois aucun résultat nouveau. Dans l'intérêt des commençants, ajix qu£Lls'nous recommandons spécialement de bien se pénétrer des articles précédents, il est préférable de se bornera l'étude du tétraèdre et du parallélipipède, un corps quelconque pouvant toujours être divisé en solides infiniment petits de ces formes.