CAS PARTICULIERS D'ÉTATS ELASTIQUES
11. Etats élastique double ou plan- — Nous avons étu. dié jusqu'ici le cas le plus général d'état élastique qui puisse se produire dans un corps. Les problèmes qu*on rencontre dans la pratique sont ordinairement beaucoup plus simples. Nous nous bornerons par suite à considérer Télat élastique double, c'est-à-dire, un état dans lequel la matière en chaque point n'est sollicitée à aucun travail dans une direction déterminée. Nous prendrons précisément celte direction comme axe des Z. L'état élastique double est donc défini par les relations.
Kz= 0 Syz = 0 Syz = 0 (8)
i>e5 6 qaantités nécessaires pour définir généralement ^in état élastique, trois seulement sont ici différentes de zéro, savoir :
Bar, Ry Gt ^xy = Sy»
Noos écrirons dorénavant simplement S, sans indice, une confusion n'étant plus possible.
Proposons-nous de résoudre la question suivante : Etant donné un point d'un corps, soumis à un état élastique double, quelles sont les sections menées par ce point, pour lesquelles rintensité de Faction moléculaire atteint une valeur ou maximum ou minimum. Il suffit de considérer des sections parallèles à l'axe des z. Considérons un prisme à base triangulaire (fig. 5), soit dz la longueur des arêtes parallèles à Taxe des z. Les relations (8) montrent immédiatement que les bases du prisme ne sont sollicitées par aucune force.
Les intensités des actions moléculaires agissant sur les faces latérales sont indiquées dans la figure. L'intensité de l'action relative à la section considérée qui fait un angle cp avec
Fig.
R du texte
r=: S du texte
Taxe ox^ est décomposée en deux composantes, l'une normale R', l'autre tangentielle S'. L'action moléculaire relative à cette section ne saurait en effet avoir de composante dans le sens de l'axe des z, puisqu'il n'existe à la surface du prisme aucune autre force dirigée dans ce sens qui puisse lui faire équilibre. ^ ^
Les équations d'équilibre sont ici, </F désignant l'aire delà ^ face inclinée :
Force parallèle à l'axe des x :
R'rfF siny + S'rfF cos (p — R, rfF sin cp — SrfF cos <p = o d'où en supprimant le facteur commun dY :
R' sîn cp -f- S' cos ^ — Rx sin (p — S cos y = o Force parallèle à l'axe des y :
R'cos<p — S' sin <p — Ry cos cp — S sin (p = o Résolvons ces deux équations par rapport à R' et S' en mul-
tiplianl la première par sin o el la seconde par cos ^, puis en faisant les multiplicalions inverses ; il vient :
R' = Rj. sin' y + Ry cos* <p + 2 S cos (p sin^p
ou, en introduisant dans le calcul Tangle 2 <f :
. , " i — cos 2 c) , 1 + cos 2 © sin'cp= ^ ,cos»cp=
R, Rs -t- Ry nx ■"• Ry rt, o • **
' = — -!^— ï. -— cos 2 cp + S sm 2f
^. R* — Rw • rw r^ rk
o = — 5—^ sm 2ç + S cos 2 cp
Nous avons ainsi R' et S' en fonction de l'angle <p. Cherchons d*abOrd le maximum de R' ; en égalant à zéro la dérivée de R' par rapport à ©, il vient :
o=5!LZ 5^2sin2(p-h2Scos2<p (10)
d'où
^ ^ Ry — Rx
n désignant un nombre entier quelconque.
Le membre de droite de l'équation (10) est précisément égal au double de la valeur de S' (éq. 9). Nous voyons donc que R' est maximum ou minimum pour les sections dans lesquelles S' est nul. L'équation (11) montre de plus qu'il existe au moins deux sections perpendiculaires l'une à l'autre pour lesquelles ceci à lieu.
Une exception est toutefois possible, savoir quand S = c; et Ra; = Ry ; dans ce cas S' = 0 et R' est indépendant de tf , c'est-à-dire constant pour toutes les sections menées par 0.
Abstraction faite de ce cas particulier, il existe donc toujours dans un état élastique double deux sections parallèles à Taxe des 5, perpendiculaires l'une à Tautre et pour les-
26 GHAPITHE I
quelles S' = o et R' atteint une valeur maximum ou mi* ninum. On nomme ces deux sections les seciioîis principales^ et les actions moléculaires correspondantes, actions moléculaires principales du solide au point considéré.
Remarquons en passant qu'il est possible de résoudre le même problème dans le cas général de Tétat élastique triple ; le calcul, beaucoup plus long, s'opëre d'une façon analogue. On trouve 3 sections perpendiculaires entre elles dans lesquelles les actions tangentielles s* annulent. On peut considérer dans Tétai élastique double le plan xoy comme troisième plan dans lequel n'agit pas d'action moléculaire tangentielle ; de plus pour ce plan, l'action moléculaire normale est nulle. Il est donc possible de définir comme suit l'état élastique double : F état élastique dans lequel une des actions principales est nulle,
Nous trouvons l'intensité des actions principales en substituant dans (9) les valeurs de <p tirées de (10) et de (11).
Résolvons (10) par rapport à sin 2<p et cos 2©, nous Irotivous :
zS ^ Ry — R«
sin 2cp == rfc -tz==l , cos 2y = ±:
\/4S« 4- (R» - »»)' V*S« + (Rx - Ry)^
l'équation (9) donne par suite :
R 4.R i(R, -«.)« + 2Si
"■ max. a —
OU
11 serait facile de voir en formant la dérivée seconde de R'par rapport à f que l'une des valeurs est un maximum, l'autre un minimum, ceci résulte, du reste déjà du fait que toute fonction continue de l'angle cp qui n'est pas une constaute doit avoir au moins an maximum et un minimum lorsque f varie de 0 à 2 tc.
Si S = o, les axes de coordonnées coincideut avec les actions moléculaires principales, et de plus Rj; = Rj^, les actions principales sont égales entre elles, «et toutes les sections passant par le point donné sont des directions principales.
Déterminons maintenant les sections dans lesquelles S' est im maximum ou an minimnm. L'équation (9) donne :
- 2 cos 2tp — 2S sm 2çp = o
df 2
d'où
tg2,= 5^^ (13)
On voit que cette valeur est égale à la cotangente de Tangle 2f déterminé par la formule (10). Donc les sections dans^ lesquelles S" atteint sa valeur maximum ou minimum^ for^ ment un angle de 45^ avec les sections principales. Il convient de remarquer que, dans ces sections, l'action moléculaire normale n'est pas nulle ; si Ton substitue la valeur (13) dans (9), il vient ;
Rx+Ry
Dans le cas seulement où Rx, = — Ry, R' est nul. La formule (13) donne :
sin 2ç = ±: , ,cos2cp=zt
^48» + {Rx — Ry)« V4S« + (Rx — Ry)»
en introduisant ces valeurs dans la seconde des équations (9),. nous aurons :
S' Sin : = ±\ V4S« + (Ra.-Ry)« (U)
Les deux quantités S' ma», et S'mjn. ne diffèrent Tune de
olre que par le signe. Ce n'est là, du reste, en ce qui con-
roe 1^ valeurs absolues, qu'une conséquence immédiate de
formule (4) exprimant Tégalilé des actions moléculaires
tangentielles dans deux sections perpendiculaires. Les signes dans la formule (14) n'ont pas d'importance car ils dépendent de la convention arbitraire faite au sujet du sens dans lequel S' serait compté positivement.
19. Etat élastique simple oa linéaire. — H est nossible de déduire de Tétat élastique double, un état élastique plus simple encore en supposant Tune des deux actions moléculaires principales égale à zéro. Supposons que les axes de coordonnées coïncident avec les directions principales : S est donc nul ; de plus, nous admettons par hypothèse :
Ry=0
Les formules précédentes deviennent :
R = Ra; = Rx sm* <f
S' =^ sin 2co
C'est là Tétat élastique qui s'établit à l'intérieur d'une tige travaillant à l'extension ou à la compression.
La seconde des formules (15) montre que la plus grande action moléculaire tangentielle peut au plus être égale à la moitié de l'action moléculaire principale^
18. Ellipse des aetions moléeulalres- — Supposons que, dans le cas de l'état élastique plan, nous ayons déterminé, pour toutes les sections parallèles à l'axe des z passant par le point considéré, les composantes R' et S' de l'intensité des actions moléculaires.
Formons chaque fois la résultante P de R' et S' et représentons cette quantité par un vecteur (fig. 6). A chaque sec* tion correspond un vecteur semblable, et les extrémités de ces vecteurs sont situées sur une certaine courbe. Nous allons démontrer que cette courbe est une ellipse : l'ellipse
des actions moléculaires. Décomposons P en deux composantes suivant deux axes perpendiculaires ox et oy\ ces composantes Px et Py sont les coordonnées d'un point du lieu cherché. On peut calculer facilement Vx et Py au moyen des équations (9), en décomposant R"* et S' selon les axes. 11 est toutefois plus simple de procéder autrement. Supposons que les axes coïncident avec les directions principales, la figure (5) se simplifie, S étant nul, et les forces agissant sur le prisme élémentaire sç réduisent à celles indiquées
Fig. 6.
P de la fîgure = P du texte Pnx » = Pnx »
Pny
ny
dans la figure (7). Rx et Ry sont donc maintenant les intensités des actions moléculaires principales.
Les conditions d^équilibre du prisme (fig. 7) donnent les relations :
Pnx = Rx sin (p Pny = Ry cos f
En éliminant f, noaa obtenons pour l'ëqaatioD àa lien cherché :
Cest bien là l'équation d'une ellipse rapportée à ses axes. Si Rx=Ry Tellipse des actions moléculaires devient un cercle, qui correspond au cas déjà souvent menlionné dans leqael toute direction peut être envisagée comme direction principale. Cet élat élastique s'établit, par exemple, à l'intérieur d'un liquide en repos, ou même à l'intérieur d'un liquide en mouvement, à condition toutefois que le liquide soit sans frottement.
L'ellipse des actions moléculaires, tout en donnant une
image parlante des intensités des différentes actions moléculaires, de leur grandeur et de leurs directions, ne permet cependant pas de déterminer la direction de la section relative à une action moléculaire donnée et inversement. Pour les actions principales seulement, on sait que les actions correspondantes leur sont perpendiculaires. On peut démontrer qu'il
«xîste une conique par rapport à laquelle la direction d'une section quelconque et la direction de Faction moléculaire correspondante sont conjuguées. Cette conique est appelée courbe -directrice des actions moléculaires. Nous renonçons à en établir Téquation, vu le peu d'utilité pratique de ces considé- Tatîons.
Naturellement, tout ce que nous avons dit dans les articles précédents sur Tétat élastique double est susceptible d*ètre généralisé. On peut démontrer, dans le cas général de Tétat élastique triple, Texistence de trois actions moléculaires principales, dun ellipsoïde des actions moléculaires^^ d^ine surface directrice des actions moléculaires, etc.
14 Glissement «impie. — L'ellipse des actions moléculaires dégénère en un cercle dans un autre cas que celui que nous venons de voir, savoir : lorsque les deux actions principales sont égales et de signe contraire. Nous avons déjà fait mention de ce cas dans les remarques qui suivent Téqualion (13). Nous avions reconnu que, dans les sections inclinées à iS"" sur les directions principales, les actions moléculaires normales disparaissent tandis que de réqu&tion (14) résulte que les actions moléculaires tangenlielles relatives à ces sections sont égales aux actions principales. Ces résultats sont confirmés par l'examen du cercle des actions moléculaires. Supposons que Ton fasse tourner le vecteur dans le sens des aiguilles d'une montre : la direction de la section correspondante tourne en sens inverse.
Dans chaque position de la section, Tintensité de l'action moléculaire correspondante est la même; seul, l'angle qn'elle forme avec la section varie. Dans deux positions de la section, perpendiculaires l'une à
Fig. 8.
raatre, cet angle est droit ; dans deux autres, inclinées de 45"" sur les premières, cet angle est nul, et par suite Faction naoléculaire purement tangenliellc.
Il est désirable d^avoir, pour ce cas qui revient fréquemment dans la pratique, une dénomination spéciale. Nous dirons qu'en tout point où s'établit un état élastique pareil, la matière travaille au glissement simple. On peut, en effet, déterminer complètement cet état en délimitant, au point considéré, un cube infiniment petit, tel que sur quatre faces agissent exclusivement des actions moléculaires tangentielles perpendiculaires à l'axe des z, tandis que les deux faces perpendiculaires à Taxe des z ne subissent aucun effort (fig. 8)»
Cette définition revient à dire que dans le plan diagonal parallèle à Taxe des z agissent deux actions moléculaires principales, égales et de signes contraires.
