II. u u

d'où :

log

Ci)

en introduisanl les valeurs numériques de Ténoncé, nous trouvons :

L'axe neutre est donc éloigné de 0,28 cm. du centre de la section.

Il faut encore déterminer la constante e. Pour cela, écrivons Téquation exprimant que le moment fléchissant est égal au moment résultant des actions moléculaires :

M= f^ydF

du

Eiïecluons l'intégration dans le second nombre

or :

218 GHAPITRK V

h — r loq — =a o

donc:

et par suite :

Soit Ri rintensité de l'action moléculaire dans les fibres les plus intérieures (w =Wi), Ru le travail élastique dans les fibres extérieures {u =w,) ; il vient :

-. Mj — r M 2,28 ^ j*M xiT

Tunité de longueur étant le centimètre. Les signes de Ri et Rii dépendent de ceux de M ; nous n'avons du reste, pas à nous en occuper ici. Le travail élastique maximum se produit dans Tarète intérieure.

La formule R =— que nous considérons comme plus

exacte donne pour Taréle intérieure et pour Tarête extérieure des valeurs de R égales en valeur absolue, savoir :

Entre les valeurs de Rmax données parles deux méthodes la différence est donc 0,069 M, soit de 30 0/0 de la valeur donnée par la formule simple. Le travail élastique produit par Teffort normal qui vient s'ajouter à celui développé par le

mouvemeiit de flexion, tend à diminuer un peu cette différence .

Exercice 27. — Un prisme d'acier doux de section quadrangulaire de 6 cm. de côté et dont taxe lojigitudinal est une courbe de 0^20 cm. de flèche et de 1m. 90 déportée est encastré à ses deux extrémités. Au milieu agit une force concentrée de 3000 kg. Déterminer la poussée horizontale et le travail élastique maocimum .

Solution. — Bien que cela ne soit pas expressément mentionné dans renoncé, nous admettons que Taxe longitudinal du prisme est une parabole. Nous avons fait remarquer précédemment que cette hypothèse est possible tant que la courbure de Taxe est faible. Si / désigne la portée de Tare, /, la flèche et si nous prenons comme origine le point d'appui de gauche, Taxe des x étant choisi horizontal, l'équation de la parabole sera :

Le moment de flexion M^ produit parla charge concentrée P

dans une section quelconque d'abscisse x est égal à — ; on a

par conséquent (formule 121) :

/ Mf^sdx

zHx

Nousavons remplace le rf^ de la formule (121) par cfe. C'est là une approximation permise dans la pratique, afin de simplifier les calculs. Dans un arc de faible courbure, ds diffère en effet fort peu de dx ; de plus ds se trouve dans la formule aussi bien au numérateur qu'au dénominateur ce qui tend encore à diminuer l'erreur commise. Si M& était en chaque point proportionnel à 2, H ne serait pas changé lorsque l'on remplacerait ds par dx. Dans les autres cas, l'erreur est, au plus, de même ordre que la différence entre la longueur de Tare et celle de la

corde comparée à la portée totale, de sorte que pour un arc à faible courbure, elle est certainement comprise à Tintérieur des limites d'exactitude que Ton peut imposera un calcul de résistance.

En substituant M& et 2 dans la formule, il vient :

Nous n'intégrons que le long de la moitié gauche de Tare

Px

parce que l'expression M6= ■— cesse d'être valable pour l'autre

moitié. L'intégrale du dénominateur de H peut être prises directement entre les limites o et /. Il vient :

Ç z'dx =^ f (/V — l^x' -^x') dx = -^/V et par suite, nous avons :

Le moment fléchissant total est !

Pour en trouver le maximum, nous égalons à zéro le dérivée de cette expression, prise par rapport à x,

^= 1500 - 3520 ^^= 1500 — 3520 ^[(l — 2x) = o dx dx l* ^

d'où a: = 22 cm, 2=: 12 cm.

Le moment dans cette section est négalif ; nous avons donc :

PRISMES A AXE CURVILIGNE 2il

• M»,m = — 9200 cm. kg.

Il y a lieu de considérer encore le mocneiil fléchissant au sommet de Tarc^ qui n'est pas un maximum analytique^ par suite du fait que l'expression de M, subit une discontinuité au sommet de Tare, mais qui cependant est le plusgrand moment en valeur absolue. Il vient, en effet :

M i= 1500 X60 —3520X20 = + 19600 kg. cm.

le travail élastique maximum est donc :

R = -- = -^ = 544 kg. parcm'.

• A ce travail s'ajoute celui développé par un effort normal

égal à H, savoir— -= 98 kg. par cm*. Le travail élastique

maximum à la compression est donc 544 + 98 =642 kg. par cm* et le travail maximum à Textension : 544 — 98 = 446 kg. par cm*

Exercice 28. — Le mêine prisme est soumis à une charge totale de iOMOO kg, uniformément répartie sur sa projection horizontale. Calculer la poussée H, /* en tenant compte de r effort normal, S^ en négligeant r influence de ce dernier.

Solution. — Nous n'avons qu'àintroduire les valeurs numériques dans les formules de l'article 71.

Dans le premier cas, la formule (122) donne :

^40,000Xi20

Dans le second, nous employons la formule (124). Nous avons :

par suite, en tenant compte de la valeur trouvée plus haut pour z^dx :

m CHAPITRE V

jVL,zd.=fJ.^d.=

qPf

Il vient déplus :

, I éA« A«36 ,

F i2bh là il

Donc, en remplaçant aussi ici ds par dx :

„ fu.zdx i5 10000X420X20 ^^^^,

r^«É/a; +f^dx 15 ^ "^

Comme on voit, la différence entre les deux valeurs de H est sans importance.

Exercice 29. — De combien augmente la corde du prisme, dans le cas de charge de F exercice 27 ^^ si Von suppose le solide non plus encastré mais articulé aux deux extrémités.

Solution. — Si, dans l'équation (125) on remplace M par Mo et ds psivdxj il vient, si Ton lient compte des résultats trouvés et si l'on prend E = 22x10' kg. par cm*.

A/= r^ 5P/V^ 5 X 3000 X 120» X 20 ^ oo

J lE 481E 48 X 22 X 10» X 108 "»^^ ^"^•

Si, dans le cas du problème 27, Tun des points d'appui cède de 1 ^/m dans le sens horizontal, la poussée en sera dimi-

^ 1 3520 ^^^, nuéede-— • = 926kg.

Exercice 20. — Selon quelle loi f épaisseur d'une bague de piston doit-elle diminuer, en s'éloignant de chaque côté de la fente, pour que la bague exerce sur tout son pourtour tme prèssion spécifique constante p sur les parois du cylindrel

Solution. — Considérons une portion de la bague comprise

entre la solution de continuité et une section quelconque dont

le plan fait un angle cp avec la section transversale (fig. 50). Les forces extérieures qui agissent sur cette portion admettent la même résultante que si les pressions étaient réparties sur la corde s. En effet, considérons un liquide remplissant le segment : ce dernier serait en équilibre sous rinfluence de la pression spécifique qu'exercerait le liquide surloules les faces. De là résulte que la résultante des forces agissant sur l'arc est égale en grandeur à celle des pressions agissant sur la corde et coïncide en direction avec elle. Si nous désignons par b la hauteur de la bague (dans le sens perpendiculaire au plan de la figure), celte résultante est égale à pbs, et par suite le moment fléchissant dans la section ^ est donné par l'expression :

Fig. 20

M = jo6 -- = 2pbr* sin* -^

Supposons que le rayon primitif de Tanneau de fonte dans lequel a été découpée la bague soit égal à r + A^ ; celle-ci doit subir une certaine déformation élastique pour s'appliquer ensuite exactement contre les parois du cylindre de rayon r. Nous avons donc, d'après l'équation (119) :

El

ou, en désignant par h l'épaisseur variable de la bague :

Lr étant petit par rapport à ;• nous pouvons écrire simplement

Ar

le membre de gauche — ; en résolvant alors Téqualionpar rap-

ii4 CHAPITRE V

porl à A, il vienl :

A=cy/sm* l

où c désigne une valeur constante pour un anneau donné, savoir :

Tir

C n'est autre chose que l'épaisseur de la bague au point diamétralement opposé à la solution de continuité. Si Ton suppose c et Ar donnés, on peut inversement calculer la pression p exercée sur la paroi du cylindre.

Pour (f=oetf = 360*, A = o ; la bague devrait donc se terminer en biseau. Ce n'est en général pas le cas dans la pratique ; à part ce détail, il est d'usage d'augmenter l'épaisseur de la bague vers le milieu suivant laloi trouvée plus haut.

Nous avons supposé h très petit par rapport à r, ce qui nous a permis de confondre r avec le rayon de la fibre

moyennne ; strictement, il aurait fallu écrire r — -•

Dans le cas particulier toutefois, où s'il s'agit d'étudier la question dans ses traits généraux, cette correction est superflue.

Exercice 31. — Une baire de section constante est courbée en forme (TU^ fig.51. On applique à une hauteur a au dessus de la base deux forces P qui tendent à écarter les deux bras de la pièce. Démontrer que y dans la déformation qui se produit ^ les parties des bras situées au-dessus de a tournent chacune autour d'un point fixe o et déterminer la position de ce point.

Solution. — Les parties des bras situées au-dessus de a demeurent naturellement reclilignes puisqu'elles ne sont soumises à aucune force extérieure.

PRISMES Â AXË CURVILIGNE

Nous pouvons considérer la pièce comme un prisme dont

Taxe longitudinal est formé par 3 côtés d'un rectangle. Nous déterminerons d*abord de combien la dislance entre les bras de TU, mesurée à la hauteur a, augmente, lorsqu^on applique les forces P ; puis nous calculerons l'angle dont tournent les extrémités supérieures des bras. Ces deux quantités étant connues, il sera facile de reconnaître si le point 0 existe réellement et quelle est sa position.

Nous admettrons de plus que Taxe de symétrie de la pièce demeure immobile dans Tespace durant la déformation, les mouvements dont la pièce peut être animée n'ayant aucune influence sur les quantités qu'il s'agit de déterminer. D'après la formule (125) :

rM£

J El

ds.

Il suffit ici d'intégrer le long d'une moitié de l'axe longitudinal. L'intégrale se compose de deux parties, Tune se rapportant à la base de l'U, Tautre, au bras. Pour la première on a z = a, pour la seconde ds^= dz, il vient donc :

Jo lE Jo lE lE V 3/

La rotation ^o de la partie supérieure d'un bras est égale à la somme des variations angulaires élastiques ^dto que subissent les prismes élémentaires compris entre le milieu de la pièce et la section transversale z=a ; donc (formule 113) :

iE -Jo

bPads

Ie"

ré'"='i{^^t)

îit CHAPITRE V

Si, dans la déformation, les extrémités des brasse déplacent réellement comme si elles tournaient autour d'un point fixe 0 distant de u du point d'application de P, on doit avoir la relation :

ttA<p = A/

de laquelle on tire, en mettant pour A<p et A/, leurs valeurs :

On reconnaît que u est indépendant de P, le point 0 est donc bien un point fixe pour une pièce donnée et pour une position donnée des points d^applications des forces P.

74. Hypothèses fondamentales. — 75. Traverses de chemins de fer de section constante. — 76. Solution graphique. — 77. Problèmes similaires.

Exercices, A'os 32 à 34.

74. Hypothèses rondanieiitale». — En examinant quels sont les efforts que subissent les divers éléments d'une voie de chemin de fer, on est amené, à propos des traverses, à se poser le problème suivant : déterminer les moments fléchissants, les efforts tranchants et par suite le travail élastique développé dans les sections transversales d'un prisme reposant de toute sa longueur sur une base qui cède elle-môme sous l'influence des charges agissant sur le prisme.

Il est facile de constater, par une simple inspection de la voie au oioment du passage d'un train, que chaque traverse s'enfonce dans le ballast sous l'influence du poids des voitures. On constate d'abord un affaissement du rail qui provient en partie de la compression élastique des traverses dans le sens de la hauteur ; cette cause est toutefois insuffisante pour expliquer à elle seule l'abaissement très visible à l'œil nu que subit le rail : il faut nécessairement admettre que les traverses s'enfoncent dans le ballast au moment du passage du train. Cette déformation de la voie doit de plus être à peu près parfaitement élastique, puisque les traverses reprennent leur position normale après le passage des trains.

On pcol se proposer de déterminer la loi suivant laquelle la charge se répartit le long de la traverse et Ton reconnaît immédiatement qu'il n'est possible d'arriver à un résultat quelconque qu'en étudiant attentivement les déformations et de la traverse et du ballast. La loi de répartition de la charge le long de la traverse dépend essentiellement, cela va sans dire, de la façon dont la traverse repose sur le ballast. Nous admettrons dans la suite que la traverse repose, par toute sa surface inférieure, sur le lit de gravier, de sorte qu'à cet égard, les conditions initiales soient les mêmes sur toute sa longueur.

Il peut sembler étrange à première vue qu'un corps hétérogène, comme un tas de sable ou de gravier, soit capable de subir des déformations élastiques. Outre l'exemple des voies de chemins de fer, on peut citer d'autres phénomènes qui confirment le fait : par exemple, on sait que le sol; formé de sable et de gravier, transmet les ondes sonores.

L'auteur aentrepris de démontrer directement l'élasticité du sol. Dans la cour de son laboratoire il fit enfoncer deux pieux , distants de 3 m. l'un de l'autre et portant une barre de fer h une hauteur d'environ 70 cm. au-dessus du sol. En dessous de cette barre, on enfonça un piquet dans le sol, de manière qu'il fît corps avec lui et en reproduisît les mouvements. Pour mesurer les déplacements du piquet par rapport à la barre de fer horizontale dont la position restait invariable par suite de la profondeur à laquelle étaient enfoncés les supports, on employa un appareil à miroir. Le piquet portait à la partie supérieure une monture en laiton, sur laquelle reposait une tige de même métal, et l'extrémité supérieure de cette tige s'appuyait contre une petite poulie d'ébonite, montée sur la barre de fer et portant un petit miroir sur son axe. Un système de ressorts et de contrepoids assurait une pression suffisante do la tige contre la poulie. Les déplacements verticaux du piquet avaient pour conséquence une rotation de la poulie, laquelle était amplifiée au moyen de l'équipage à miroir. Dansles expériences, un déplacement de 1 mm. de l'échelle par rapport au réticule

de la lunelte employée à faire les lectures, correspondait à un déplacement vertical du piquet de 0^835 millièmes de millimëlre ; comme il était facile d'évaluer le dixième de millimèire sur Téchelle, on pouvait mesurer les mouvements des piquets avec une exactitude d'environ 1/10000 de millimètre.

L'appareil permettait de constater distinctement les déformations produites par le passage d'une personne dans le voisinage du piquet. Dans les limites de sensibilité de l'appareil, ces déformations étaient absolument élastiques. D'autres expériences furent faites avec un poids de 100 kg. placé à diverses distances du piquet ; voici les valeurs trouvées dans Tun des cas pour les déformations élastiques du sol : Distance du poids au piquet en cm. 20 40 60 80 Abaissement du sol en 1/1.000 de mm. 18,3 4,1 1,4 0,6

Des expériences faites avec des poids différents ont montré que les déformations sont sensiblement proportionnelles aux charges, ceci tout au moins pour des charges relativement faibles, comme celles employées dans ces essais.

L'auteur espère pouvoir bientôt reprendre ces expériences avec une installation permettant d'employer des charges allant jusqu'à 1.000 kg.

Ces observations sont toutes récentes et n'ont pu être encore utilisées comme base de recherches théoriques. Elles tendent à démontrer qu'une solution des équations générales de la théorie de l'élasticité, proposée par Boussinesq et dont il sera question dans un chapitre suivant, n'est absolument pas applicable dans le cas actuel.

Dans les calculs, on est parti jusqu'à présent d'une hypothèse très simple qui, pour la détermination de valeurs approximatives, parait donner des résultats satisfaisants. On admet que la compression du ballast en un point donné, sous la charge exercée par la traverse, ne dépend que de la pression spécifique en ce point et lui est proportionnelle. Cette hypothèse est vraisemblablement inexacte; on voit cependant par les •biffres indiqués plus haut que l'intensité des déformations

diminue très rapidement avec la distance au point d application de la charge : par suite, la grandeur de la déformation en un point donné dépendra en première ligne des charges appliquées dans le voisinage immédiat de ce point et, fort peu seulement, des charges plus éloignées. L*usage de Thypolhèse ci-dessus est donc justifié. Il serait désirable que Ton fit des essais pour déterminer le degré d'approximation auquel il y a lieu de s'attendre ; il existe déjà quelques expériences de Zimmermanasur ce sujet, mais elles n'ont malheureusement pas été répétées ni complétées malgré Timportance et l'intérêt de la question.

Vd.Trav^emes deeliemlnile fer de iiection eonstante.

— Soit p la pression exercée par Tunité de longueur de la traverse sur le ballast, la pression exercée par l'élément de longueur dx sera pdx. Pour une section dont Tabscisse est x {x < fl), on trouve pour l'effort tranchant V et le moment

fléchissant M , les expressions

u désignant une abscisse qui MIHtHÎHlHtHHftH' ^^^^ ^"^^® '«» limites o et x.

[TTT

L^ j II est préférable d'introït i j duire, dans les calculs, les

! dérivées de ces expressions,

prises par rapport à 2: et de "'«•'* les exprimer en fonction de

la quantité qu'il s'agit de calculer, c'est-à-dire en fonction de p. On a évidemment, étant donnée la signification de p,

dW =pdx d'où:

Nous avons démontré précédemment (art. 48) que l'effort

PRISMES REPOSANT SUR UNE BASE COMPRESSIBLE 23i

tranchant est la dérivée du moment de flexion, nous pouvons donc écrire :

Nous aurions pu trouver directement ces valeurs en dérivant les expressions trouvées plus haut pour M et Y ; elles sont toutefois générales tandis que les expressions de M et V ne sont valables que pour a: < a. Les moments fléchissants entraînent une inflexion de Taxe longitudinal de la traverse ; soit y, rinflexion de cet axe au point d'abscisse x^ y = f{x) sera Téquation de la ligne élastique. L'inflexion y est liée d'une part au moment fléchissant par Téquation diiTérentielle de la ligne élastique et, d'autre part, elle doit être, d'après notre hypothèse, proportionnelle h p. En exprimant cette condition, nous obtenons Téquation différentielle qui conduit à la solution du problème.

L*équation de la ligne élastique est (formule 79) :

Elp. M.

dx*

En dérivant deux fois par rapport kx et en tenant compte de l'équation (138) il vient :

Par hypothèse y est proportionnelleà /> ; nous pouvons poser

où k est une constante qui ne dépend que des propriétés élastiques du ballast sur lequel repose la traverse. L*équation (139) devient :

C'est là une équation linéaire à coefficients constants du

quatrième ordre sans second membre : l'intégrale générale, qui contient quatre constantes arbitraires, est de la forme :

y = CiC«wp cos oo: -f- C,^a« sin aa: + C,c — «a?C08aa: +

+ C*^? — «» sin oo: (142)

oîi Cl, Ct, G,, C4 désignent des constantes arbitraires, et a une valeur définie en valeur absolue par la relation :

' = Vfe ('♦"

Il est facile de vérifier, en différenciant quatre fois (142) par rapport à x, que cette expression satisfait bien à Téquation (141); on reconnaît de plus que c'est bien Tintégrale générale puisqu'elle contient quatre constantes arbitraires. Celles-ci se déterminent à Taide des conditions à la limite.

11 faut avoir soin de remarquer que la ligne élastique entière se compose de 3 branches, Tune allant deo à a, l'autre comprenant la partie de la traverse située entre les rails, la troisième enfin, l'extrémité droite en dehors du rail. Par suite de la symétrie, il suffit de considérer la première branche et la moitié de la seconde.

La solution (142) est générale, elle s^applique à toutes les branches ; seules, les constantes d'intégration varient. Nous avons donc ici huit constantes à déterminer à l'aide des conditions du problème, lesquelles sont aussi au nombre de huit.

En effet nous devons avoir :

1» M = 0 et V = 0 pour a: == 0, ou, M étant proportionnel à

Pour plus de clarté, écrivons les trois premières dérivées de y :

-- == a I Cl (e<^ cosour — e<xx sin ax) + C, (e^ sin our +

+ e«^cosair) +Ct( — ^— «^ cosour — c — «^sinour)

+ Ci (— ^ — «^ sin ox + ^ — «^ cos our) j,

= a' I — 2 C, ^«J? sin Qor + 2 C, e«« cos aa:

+ 2 C, e — m: sin ox — 2 C4 e — «^ cos our

rf»i/ ( ^ .

-- = aM — 2 C, (c«? sm oo; + e<MP cos ax)

+ 2 C, {e^ cos ou: — e«? sin oa:)

+ 2 C, ( — ^ — ««3? sin aa: + e — «» cos our)

+ 2 C4 (c — «a?cosax + ^ — ôa^sinour) (•

Les deux conditions précédentes fournissent les relations

et

Ct = C. + Cs + C4; r*45)

pour abréger, nous poserons :

e«a cos (ta = TWi, e«a sin aa = m,, ^— aacosaa = m„ c — «a sin aa = m4,

et nous désignerons les constantes relatives à la seconde branche par G5, Ce, C7, Cf.

2o)Âu point X = a, les deux branches se raccordent, il faut

dy

donc qu'en ce point, y et -—- prennent la même valeur pour

les deux branches. De plus, —^ doit aussi être le même pour

les deux parties de la ligne élastique, puisque le moment fléchissant M, qui esl proportionnel à cette quantité ne subit pas de discontinuité pour a: = a. Nous obtenons donc les trois nouvelles équations :

234 CUAPITRIi; VI

C, m, -H C« m, + C, tw, + 04^4 = Cb mt + Ce iWi

+ C7 m, + Cg m*, Cl (mi — m,) + C, (mi + m,) — C, (m, + m*) + C4 (m, — W24) = C9 (/Wj — m,) + Ce (m, +nî,) X'*^) — C7 (m, + ^4) + Ca (m, — m4), — C, m, H-C,mi +C,m4 — C4m,= — C5m, + C«mJ

+ C7 m4 — Cg m,.

La Iroisiëme dérivée de y^ par contre, n'a pas en a la même valeur pour les deux: branches, car on a

V=-f =IeJ.^;

dx ax^

or relTort tranchant subit en a une discontinuité dont la valeur est — P, si donc nous désignons pour un instant les ordonnées de la première branche par yi^ celles de la seconde par yn, nous pouvons poser :

dx^ dx^]x=a lE

ou bien, en introduisant les valeurs explicites des dérivées,

(Ci — Çg) {m, + m,) + (Ce — C,) {m, — m,) + (Ct — C,) (m, — m4) + (Cg — C) (m, + m,)

3^ Enfin, soient ni, n,, n„ n^ les valeurs que Ton obtient quand on remplace dans les quantités m, a par /.

Sur Taxe de symétrie, on doit avoir --f =0 puisque la tan-

ox

génie à la ligne élastique est horizontale ; de plus on a

--—=o,V étant nul dans cette section.

dx*

On a donc encore les deux équations de condition :

Cb (/Il — n,) + Cb (/Il + n») — C, {n^ + n^)

+ Cb (n, — 714) = 0, ..

— Cb (ni + n,) + Cb (ni — n,) + C, {n, — n,) ^

Toutes les quantités contenues dans les équations de condition (142-148) sont, à l'exception des inconnues C, des valeurs numériques. On pourra donc, dans chaque cas particulier, résoudre les équations et déterminer la forme de la ligne élastique. Celle-ci étant connue, la loi de répartition des pressions en découle immédiatement (formule 140).

La résolution du système des huit équations de condition est sans doute un calcul assez long, cependant il faut remarquer qu'il n'est nécessaire de le répéter qu'un petit nombre de fois pour se rendre compte d^une façon suffisamment exacte de la façon dont se comporte la traverse dans diverses conditions données. De plus, les traverses sont un élément si important dans la construction des chemins de fer, qu'il vaut la peine de consacrer quelque temps à l'étude des questions qui s'y rapportent.

Il est inutile d'entrer ici dans plus de détails, la question étant résolue en principe.

79. SolnUon irraphique. — On démontre en statique graphique (voir note II) que la ligne élastique d'un prisme peut être envisagée comme une courbe funiculaire déterminée, correspondant èi une surface de charge donnée. Les équations différentielles du problème précédent expriment simplement la condition que, dans le cas particulier, les ordonnées correspondantes de la courbe funiculaire et de la courbe de charge doivent être proportionnelles. Géométriquement parlant, il s'agit de trouver une forme de la surface de charge telle qu'en choisissant convenablement l'échelle son contour coïncide avec la courbe funiculaire.

Il n'existe pas de méthode permettant de résoudre directement ce problème; par contre, il est relativement facile d'arriver à la solution, en procédant par approximations successives (règle de fausse position). On cherchera à se faire une idée de la répartition probable des pressions : celles-ci sont évidemment maximum sous les rails et vont en diminuant soit vers le milieu de la traverse, soit vers ses extrémités; puis on

choisira ane répartition de p remplissant ces conditions. On dessinera la surface de charge correspondant à celte fonction p et l'on en déduira la courbe funiculaire. Si les ordonnées de cette courbe (mesurées à partir de sa ligne de fermeture) étaient toutes proportionnelles aux ordonnées correspondantes de la ligne élastique de charge, la courbe funiculaire tracée serait la courbe cherchée, et Thypothèse faite sur la répartition de p correspondrait effectivement à la vérité^ Cela ne sera généralement pas le cas. Les ordonnées des deux courbes ne seront pas partout proportionnelles entre elles ; on modifiera alors la courbe de charge d'après les indications fournies par ce premier essai et Ton recommencera la construction autant de fois qu'il sera nécessaire pour atteindre le degré d'approximation désiré.

Cette méthode graphique, quoiqu'un peu longue, a l'avan-^ tage de s'appliquer au cas d'une traverse à section variable (traverses en fer) qui présente des difficultés pour ainsi dire insurmontables au calcul.

Il est clair qu'avec la méthode graphique il n'est pas nécessaire de considérer séparément les trois branches de la ligne élastique, car il est absolument indifférent pour les constructions que la troisième dérivée de y présente des discontinuités.

77. Problèmes similaire». — Si^ au lieu de considérer un prisme reposant sur une base compressible par toute une face, nous supposons qu'il repose sur une série de supports équidistants et peu éloignés les uns des autres, les conditions du problème précédent ne sont pas sensiblement modifiées, à condition toutefois que ces points d'appuis subissent, "^ sous des pressions égales, des déformations égales. On rencontre assez fréquemment des cas de ce genre. Par exemple, les poutres transversales qui supportent le tablier d'un pont transmettent aux longerons certaines pressions, provenant soit du poids propre du tablier soit des surcharges. Ces pressions se répartissent sur les divers longerons, selon une loi

semblable k celle à laquelle on arrive daas le problème de la traverse de chemio de fer.

La%ure(53} montre encore un casdti même genre. Une cheville en fer remplit exactement le trou percé dans une pièce de bois. Deux tirants en fer transmettcntà la cheville une certaine charge. Sous l'influence de celle-ci, la cheville tend à fléchir, I I le bois qui l'enloure s'oppose à celte dé-

formation. Il se produit de ce fait une pression du bois sur la cheville dirigée de haut en bas, au milieu, de bas en haut aux extrémités. On peut aussi admettre que la pression exercée par le bois est proportionnelle à la compression qu'il subit au point considéré. Le problème ne diffère alors Fig. 53 (te celui de la traverse qu'en ce que les

pressions transmises agissent ici dans deux sens différents. L'équation (142) donne encore dans ce cas la forme générale de la ligne élastique et par suite la loi de la répartition des pressions; les quatre constantes C se trouvent à l'aide des conditions aux limites :

— = 0 aux deux extrémités,

--^^-- à l'une des extrémités, = — — àl'autre. dx' JE ' IB

Lorsqu'on a à transmettre à un massif de maçonnerie une pression considérable, par exemple la poussée d'un ponl en arc, il faut répartir cette force concentrée sur une surface assez considérable pour que la résistance à la compression de la maçonnerie ne soit pas dépassée. On intercale k cet effet entre l'arc et les sommiers des culées une plaque de fonte qui sert en outre de base à l'articulation de l'arc. Les considérations précédentes nous permettent d'indiquer la loi suivant laquelle la pression se répartit sur le summier. On désire naturellement obtenir une répartition aussi uniforme que possible; pour

WW'

m GÛAPITRE VI

cela, il faut que la plaque repose exactement sur la maçonne'^ rie. C'est là du reste une des conditions que nous avons posées au commencement du chapitre ; de plus, la répartition des pressions sera d'autant plus uniforme que le moment d'inertie de la section transversale de la plaque sera plus grand. L'un des exercices suivants a pour objet un cas semblable.