N/3OT-H , A

rfy N/3m + l

dx 8

En substituant dans (152), et en faisant j; = o, pour obtenir le maximum de R/ ; il vient, pour .5 = - :

En mettant pour N sa valeur, formule (156), et en prenant m=— , nous trouvons :

La différence entre la formule exacte et la formule approchée est donc déterminée. Il faut encore tenir compte d'un

±12 CHAPITRE Vil

fait: le travail élastique de la matière ne dépend pas uniquement des actions Rr, mais encore des actions moléculaires Rr qui leur sont perpendiculaires. Au centre, R^ et Rr sont égales et de même signe. Dans ce cas, nous avons vu au chapitre II

que le travail élastique de comparaison, qui détermine le dan-

(ffi {\ jmes de l'intensité commune des actions moléculaires R/ et Rr. Si donc nous considérons la formule (192) comme déterminant le danger de rupture, ce n'est pas avec la formule (193) qu'il faut la comparer, mais avec la relation (184) qui donne la valeur de ^. Cette comparaison montre que les valeurs données par la formule de Bach sont trop défavorables. Cette dernière peut donc être employé en toute sécurité dans la pratique.

Il est certain qu'à première vue, l'avantage de la formule approximative n'apparaît pas d'une façon bien nette. Elle n'est pas plus simple pour le calcul que la formule eicacte et nous avons du nous servir de cette dernière pour la justifier. Elle est^ sans doute, beaucoup plus facile à établir, mais nous avons déjà dit que nous faisions peu de cas de cet avantage. La raison pour laquelle nous apprécions la théorie approchée est qu'il est possible de l'employer à résoudre des cas compliqués, dans lesquels l'emploi de la théorie exacte conduirait à des difficultés insurmontables. Il est, par suite, bon de l'appliquer à quelques cas simples, afin de juger de l'approximation qu'elle permet d'atteindre, et de pouvoir l'employer ensuite avec plus de confiance dans d'autres cas plus difficiles. Il sera cependant toujours bon de contrôler par des essais les résultats auxquels on arrive, afin de reconnaître si l'on n'a pas négligé de tenir compte de certaines conditions exerçant une influence notable sur la façon dont se comporte la plaque.

Si la plaque supporte une charge concentrée P, agissant au centre, le moment fléchissant est

., P 2r Pr

et la valeur approchée de R devient :

Nous avons vu précédemment que le travail élastique maximum de la matière dépend essentiellement de la façon dont P se répartit sur une petite surface autour du centre. Il n'est donc pas possible de comparer ici les résultats de la formule approchée avec ceux de la théorie exacte ; il n*exisle pas d'essais non plus qui permettent de les contrôler. On fera par suite bien d'être prudent dans l'emploi de cette formule.

84. Théorie approcbée poar les plaques elllptl* qnes. — Le problème est ici plus compliqué que dans le cas précédent^ car nous ne savons comment les réactions de l'appui se répartissent le long du bord de la plaque. Afin de nous en faire une idée, très approximative il est vrai, supposons l'ouverture elliptique que recouvre la plaque, traversée par deux prismes perpendiculaires Tun àl'aulre^ dont les axes coïncident avec ceux de l'ellipse, et admettons que ces deux prismes soient reliés entre eux, au centre, d*une manière rigide.

En nous servant des résultats obtenus au chapitre III, il nous est facile de calculer les réactions des appuis qui se développent^ si Ton admet que chacun des prismes supporte une charge uniformément répartie q par unité de longueur. Soit Z la pression qu'exerce le prisme de longueur 2a sur celui de longueur 26,1a flèche du plus grand sera, formules (81) et (83):

et celle du plus petit

^~ 24 lE 6Ie'

' 24 lE "^eiE

ces deux flèches sont égales entre elles ; si nous égalons les seconds membres des deux relations, nous pouvons tirer de Téquation ainsi formée^ la valeur de Z, il vient:

274 CHAPITRE Vîi

les réaclions A aux extrémités du grand axe sont par suite : et aux extrémilés du petit axe :

leur rapport est donc :

A 3a* + Sab^ + 56* (<) B ~ 6a* + 8a»6 + 3A*

Nous admettrons que les valeurs que prennent les réactions de Tappui sur la plaque aux extrémités des axes sont entre elles dans le même rapport que A et B ; ainsi, les réactions do Tappui vont en augmentant des extrémités du grand axe vers celles du petit axe. Le point d'application de leur résultante, pour la demi-ellipse déterminée par le grand axe, sera donc certainement plus éloigné du grand axe que le centre de gravité de Tare de demi*ellipse, par lequel cette résultante devrait passer si les réactions des appuis étaient uniformément réparties sur le pourtour. Si a est très grand par rapport à 6, c*est-à-dire si Tellipseest très allongée, la résultante des réactions sera presque distante de b du centre. Nous admettrons, afin d'obtenir ensuite une formule simple, que

cette dislance est égale k — b. Cette quantité est très vrai-

(1) M. V. Bach arrive, par suite d*une remarque dont nous contes*

A /by tons l'exactitude, au résultat -•= ( — ), et fonde sur ce résultat ses conclu-

sions subséquentes, qui reviennent à dire que la pression transmise sur Tap-

pui en un point donné est proportionnel au rayon de courbure de Tellipse

(Voir Bach. Elasticitdt tind Festigkeit, Berlin, 1890, page 354). Dans la

seconde édition de son ouvrage, M. v. Bach arrive au môme résultat par

une autre méthode, avec laquelle nous ne pouvons non plus nous déclarer

d*accord.

semblabieroent trop grande ; mais comme nous faisons d'autre part rh ypothèse certainement trop favorable, que les actions moléculaires se répartissent uniformément le long de la section, il n'y a pas d'inconvénient à prendrele moment de flexion un peu plus grand qu'il n'est en réalité. La résultante des réactions des

appuis est égale à la charge de la demi-plaque^^ ; et celle

des forces extérieures qui agissent sur la plaque passe par lecentrede gravi téde Taire de demi-ellipse, lequel est distant de

r- du grand axe. Le moment de flexion est donc :

napb /Bb ib\ iab*p

Si nous envisageons la section faite suivant le petit axe, nous pouvons dire a priori que le bras de levier du couple fléchissant est certainement plus petit que la distance qui sépare le centre de gravité de Tare de demi-ellipse de celui de Taire de demi-ellipse, mais il est fort difficile de Testimer avec quelque certitude. Le système des deux prismes en croix ne nous apprend rien, car si Tellipse est allongée, nous ne pouvons plus considérer la bande délimitée le long du grand axe comme soutenue seulement au milieu, nous devrions la supposer soutenue sur une certaine largeur. Le plus simple est de s'en rapporter aux essais faits par Bach avec des plaques elliptiques, lesquels montrent que la rupture se produit généralement suivant le grand axe ; ce qui tend à prouver que Ra est le travail élastique dont dépend le danger de rupture. Si Tellipse n'est pas très allongée, Téquation (197) donne certainement des valeurs trop grandes, car lorsque nous passons au cas du cercle, R n'est en réalité que la moitié de la valeur donnée par la formule (197). On pourrait écrire, par exemple,

276 CHAPITRE Vil

pour un rapport quelconque des axes, à la place de l'équalion (197) :

Dans les deux cas extrêmes, cercle et ellipse très allongée, c'est-à-dire dans les cas où nous pouvons nous faire une idée à peu près exacte de la portée de nos hypothèses, la formule ci-dessus donne des valeurs satisfaisantes. Ou pourra donc toujours l'employer pour un calcul approximatif.

96. Plaques carrées ou reefangralaires. — Considérons d'abord une plaque carrée. Soit 2a la longueur du cAlé

et désignons par d la diagonale 2a^2. La charge totale de la plaque est ia'p ; par raison de symétrie, la résultante des réactions des appuis est évidemment pa* pour chaque côlé de la plaque.

11 est facile de reconnaître en outre, que la pression exercée par la plaque sur les appuis va en diminuant du milieu des côtés vers les angles. Menons par le centre une section parallèle à deux des bords de la plaque, et déterminons le moment de flexion qui agit dans cette section : la résultante des réactions des appuis du côté parallèle à la section est /?a% elle produit donc un moment de flexion jO«' ; la résultante des réactions des appuis des deux demi-côtés est aussi égale à j9û* ; on voit de plus que le point d'application de cette force est certainement situé à une distance œ <Ca àe la section considérée ; enfin, les pressions extérieures qui agissent sur la plaque fournissent un moment égal à;>a^

Le moment de flexion résultant est donc :

M = pa^ -f- pa^x — pa^ = pa^x.

En supposant que nous puissions utiliser la formule :

W 2aA« '

nous trouvons : ri o ^^

X étant certainement plus petit que-, nous avons :

Considérons maintenant une autre section^ menée suivant une diagonale. Le bras de levier des résultantes des réactions

des appuis est égal à 7 ; le point d'application de la résul-

tante des pressions coïncide avec le centre du triangle dont

la diagonale est la base, il est donc distant de-rde la section

considérée. Nous pouvons par conséquent indiquer exactement dans ce cas la valeur du moment fléchissant, nous avons :

M = 2 ;>«*- — 2 pa'^ ==— ,

et par suilo^ pour l'intensité des actions moléculaires :

Celte intensité est égale à celle qui se développerait dans une plaque circulaire de rayon a. La valeur que nous venons de trouver est plus petite que la limite supérieure calculée pour Tintensilé des actions moléculaires dans une section parallèle aux côtés de la plaque. Tant que x n'est pas connu, il n'est pas possible de dire dans laquelle des deux sections le travail élastique de la matière est le plus grand. Dans les essais faits par M. v. Bach, les plaques carrées se sont en général rompues suivant une diagonale ; on peut donc considérer la formule (499) comme étant celle qui donne la valeur maximum du travail élastique.

Pour les plaques rectangulaires, nous admettrons également

que la section diagonale est la section dangereuse, bien que les expériences de Bach soient moins probantes dans ce cas

^^ fV- ■■•■'* ''t-

If-*

que dans le précédent. Il est toutefois permis de faire cette hypothèse, puisqu'il ne s'agît ici que d'une estimation.

Soient 2a et 26 les côlés du rectangle, 6? la longueur d^une diagonale, c la longueur de la perpendiculaire abaissée d'un^ sommet sur la diagonale opposée. Quelle que soit la loi de répartition des réactions des appuis sur les bords de la plaque, leur résultante pour le triangle formé par le rectangle coupé selon une diagonale est évidemment égale à 2pah ; le point

d'application de cette force est distant de ^ de la diagonale

considérée.

Les pressions qui agissent sur le triangle ont pour résultante une force égale aussi à 2pab^ appliquée au centre de

gravité, soit à une distance- de la diagonale.

Le momenl de flexion résultant est donc :

pahc

Nous avons par suite :

^ 6M abc

dh^ ^ dht

cd=i iaby rf« = 4a* + 4 6S

donc :

»« mm^ •

EXG RCICES SUR LE CHAPITRE VIL

Exercice 35. — Une plaque de fer d'étendue suffisamment grande pour pouvoir être envisagée comme une plaque circu^ laire de rayon infiniment grand repose exactement sur le sol. Elle est soumise au centre à V action d^une force concentrée P.

Déterminer la loi de répartition des pressions exercées sur le sol par la plaque^ en supposant que, ces pressions sont, en chaque points proportionnelles à Vinflexion corfespondante de la plaque.

Remarque. — Co problèmeest analogue àun autre, d*énoncé un peu différent, résolu par H. Hertz : Hertz considérait une banquise de glace chargée en son milieu. Sous l'influence de cette charge, la banquise se déforme aussi, comme notre plaque de fer, et en chaque point, l'inflexion détermine une certaine poussée hydrostatique. Dans le problème de Hertz, la pression hydrostatique et par conséquent la réaction de la banquise, sont exactement proportionnelles à Tinflexion, tandis que, dans notre cas, la pression de la plaque sur le sol ne Test qu'approximativemeut, comme il résulte des considérations du chapitre VI. Sous la forme que nous lui avons donnée, le problème présente une assez grande importance pratique qui nous Ta précisément fait choisir.

Hertz a résolu complètement la question ; il lui a fallu, pour cela« faire usage de théories mathématiques que nous ne pouvons supposer connues de la majorité des lecteurs ; aussi nous contenterons-nous d'établir Téquation différentielle de la courbe méridienne de la surface élastique. Pour la résolution de cette équation, nous renverrons le lecteur que la chose intéresse et qui possède les connaissances nécessaires au mémoire original de Hertz (Hertz, Gesammelte Werke, 1*' vol., Leipzig, 1895, page 228).

Solution, — Nous pouvons utiliser les formules de l'article 78 jusqu'à l'équation (154), sans aucun changement. Soit V la résultante des réactions transmises par le sol sur la partie de la plaque, située en dehors d'une section circulaire de rayon x. L'effort tranchant qui agit sur un élément infiniment petit de cette section, correspondant à l'angle au centre </a, est égale à :

ÎTT *

Nous avons donc, dans le cas particulier, au lieu de Téquation (155), la relation :

Mom. des S

ÎTT

doLclx ;

l'équation des moments de l'article 79 devient par suite :

cPf df y 6 (m* — 1) V

X ——[-———- [— ' — assa 0 -

d^x dx X m*EA* tt

V n'est pas connu, on sait cependant que V décroît d*une quantité égale à la charge agissant sur un élément superficiel annulaire, lorsque x crott de dx. Donc :

OÙ k désigne une constante, dont la signification a été définie à Tart. 74, et y, l'ordonnée de la surface élastique. Différencions Téquation précédente et introduisons ta valeur trouvée

pour j- , il vient:

d}y id*f idf jp 12 (m« dx* rfx-* xdx -»•*

m«EA>

xy=o,

Remarquons que nous pouvons écrire :

dy ? =~Tx'

si nous posons en outre, pour abréger,

m«EA»

Téquation ci-dessus prend la forme :

^d^ 1^ . ±^ , 0^4 ^^ X dx^ x^ dx* x^ dx ^

Le reste du problème est du domaine purement mathématique. Les quatre constantes d'intégration que contient la solution se déterminent à Taide des mêmes conditions que celles que nous avions dans le cas des prismes reposant sur une base

DE Là RÉSISTâNGR DES PLAQUES PLANES 281

compressible. La résolution de Téquaiion ci -dessous est facilitée si l'on remarque que le membre de gauche présente une forme qui revient souvent dans les recherches de physique mathématique. Désignons part/ et v les coordonnées d'un point du plan médian de la plaque, de sorte que

et représentons par le signe A' l'opération consistant à

former la somme des dérivées partielles du second ordre d'une fonction à deux variables indépendantes par rapport à ces

dernières :

rfY(u,r) rfy(u,r).

du* "^ dv* '

Téquation précédente peut alors s'écrire :

forme sous laquelle il est possible de l'intégrer.

Hertz part directement dans son mémoire de cette dernière équation. On trouvera également dans son travail des données numériques et des résultats d'expériences (*).

Exercice 36- — Quelle force concentrée^ agissant au centre^ une plaque de fonte de^ cm. d'épaisseur et de diamètre quelconque^ reposant librement à sa périphérie^ peut-elle supporter, si l'on admet que r intensité des actions moléculaires, calculée d'après le procédé d approximation de F article 8$, ne doit pas dépasser 200 kg. par cm^ ?

(1) L'auteur fait au sujet de cet exercice la remarque suivante : Quelques critiques trouveront peut-être que cette question sort du cadre de notre ouvrage. Nous leur répondrons que Hertz venait de quitter l'Université technique de Munich lorsque! publia son mémoire. Sans doute les esprits de cette taille sont rares, mais qui oserait prétendre qu'il ne s'en retrouvera jamais de pareils parmi nos auditeurs ou nos lecteurs, et qui voudrait prendre la responsabilité de taire l'existence de travaux importants simplement parceque ceuxci sortent du cadre des leçons ordinaires. Nous avons trop le respect des talents latents qui résident dans la jeunesse universitaire pour ne lui présenter jamais que des problèmes élémentaires. II est clair, d'autre part, que le problème n*est pas à la portée de tout le monde et qu'il ne saurait faire l'objet d'une question d'examen.

On suppose qtte la force extérieure se répartit sur une surface très petite.

Solution, — Il suffit de substiluer les valeurs numériques dans la formule (194), il vient :

P =!L^ = | X 2'X 200 = 837 kg.

II parait, au premier abord, étrange que le diamètre de la plaque soit sans influence dans le calcul du travail élastique, tandis que la portée d'un prisme joue un rôle si prépondérant. La raison est facile à trouver : dans le cas de la plaque, la largeur de la section sur laquelle se répartissent les actions moléculaires croit dans le même rapport que les bras de levier des forces extérieures lorsque le rayon de la plaque augmente, tandis qu'il n'en est pas ainsi dans un prisme.

Si la charge donnée était uniformément répartie sur toute la plaque, la charge totale pourrait être trois fois plus considérable, comme on le reconnaît en comparant les formules (192) et (194).

RÉSISTANCE DES ENVELOPPES SOUMISES A UNE PRESSION INTÉRIEURE OU EXTÉRIEURE

§ 4. Enveloppes à parois minces. — 86. Enveloppe sphérique soumise à une pression interne. — 87. Enveloppe cylindrique soumise à une pression interne. — 88. Tubes de section elliptique soumis à une pression extérieure.

I 2. Enveloppes à parois épaisses. — 89. Tubes cylindriques soumis à une pression interne. — 90. Tubes frettés.

Exercices no» 37 à 41.