ENVELOPPES A PAROIS MINCES

H%. BuTeloppe aphérlqae aouinise à ane preaslon inlepiie. — Par paroi mince, nous entendons une paroi dont l'épaisseur est très petite par rapport aux dimensions de Tenveloppe. C'est le cas qui se présente par exemple dans les chaudières.

Soit r le rayon intérieur de Tenveloppe sphérique; menons un plan méridien, les forces extérieures qui agissent sur l'un des hémisphères sont les pressions exercées sur la paroi parle liquide ou le gaz que contient Tenveloppe. Comme nousTavons mon 1 ré en résolvant Texercice 30, la résultante de pressions hydrostatiques, agissant sur une partie d'une surface fermée,

est égale et coïncide en direction avec la résultante des pressions agissant sur le reste de la surface. Pour faire de Thémisphère une surface fermée, il n'y a qu'à considérer le cercle intérieur de la section méridienne ; si p désigne la pression hydrostatique par unité de surface, la résultante des pressions hydrostatiques exercées sur l'hémisphère sera égale en grandeur à :

Cette force passe évidemment par le centre de la section et est perpendiculaire à cette dernière.

Nous supposons implicitement ici que la pression p est la même en tous les points delà surface, c'est-à-dire que les différences dépression dues au poids du liquide sont négligeables. Cette hypothèse est toujours satisfaite du reste dans le» applications.

Les actions moléculaires développées dans la section méridienne de l'enveloppe font équilibre à la résultante des pressions hydrostatiques. En raison de la symétrie, ces actions moléculaires sont évidemment normales et ont la même intensité le long d'un cercle concentrique à la section. On peut facilement se rendre compte, par le raisonnement suivant, que, dans le sens radial aussi, les actions moléculaires se répartissent uniformément à peu de chose près : sous Tinfluence de la pression intérieure, l'enveloppe se dilate, le rayon passe de la valeur râla valeur r -4- Ar ; les forces intérieures R, qui se développent dans la section, sont précisément corrélatives de cette dilatation. Or le rayon extérieur de Tenveloppe. ne dillère du rayon intérieur que de l'épaisseur h de la paroi ; sa déformalion est donc très peu différente de celle du diamètre intérieur : par suite, les actions moléculaires seront presque constantes. On reconnaît toutefois que, pour des enveloppes à parois épaisses^ il ne saurait Atre question d'une répartition uniforme des actions moléculaires et que, par conséquent, la formule que nous allons établir ne leur est pas applicable.

Dans le cas présent, nous avons Téqualion fort simple :

2'ïtr A R = irr*/?,

Par un point donné d'une sphère passent une infinité de sections méridiennes et, à chacune de ces sections, correspond une action moléculaire R. Le travail delà matière n'est donc pas défini par R, il faut calculer le travail élastique de comparaison ; nous trouvons :

^ = ^L:ziR = ?Lilî|r (202)

= 0,35 ^ ( pour m = -Tj

Si Tenveloppe a des rivures, il y a lieu de tenir compte de l'affaiblissement de la section que produisent les trous des rivets ; de plus, il faut tenir compte des actions extérieures : rouille^ etc. C'est pourquoi les formules employées dans la pratique pour le calcul de l'épaisseur des parois de chaudières donnent des valeurs plus grandes que la formule précédente.

m. ISnTeloppe eylindriqae souiuine À une pression interne. — Nous supposerons que la hauteur du cylindre est relativement grande par rapport au rayon. Les parties du manteau cylindrique qui se trouvent dans le voisinage des fonds ne pouvant se dilater librement, il s'y développe des actions moléculaires plus faibles que dans le reste de Tenveloppe. L'influence des fonds ne peut toutefois se faire sentir bien loin de ceux-ci, les parois cylindriques pouvant facilement fléchir d'une quantité égale à la différence At* des rayons aux extrémités et au milieu de la chaudière. Considérons un anneau, de longueur /dans le sens de l'axe, découpé dans le voisinage du milieu de l'enveloppe et menons une section par Taxe du cylindre.

2Ô6 CHAPITRE VlH

De même que dans le cas de l'enveloppe sphérique, les actions moléculaires développées dans les deux sections longitudinales de surface A/ font équilibre aux pressions du liquide. On a par suite :

2A /R^ = 2rlp d^où

Le travail élastique des parois dans le sens de la tangente au contour d'une section transversale est donc deux fois plus grand dans une enveloppe cylindrique que dans une enveloppe sphérique de même diamètre.

Pour calculer les actions moléculaires dans les sections transversales, nous pouvons utiliser la formule (201). Nous trouvons donc finalement pour le travail élastique de comparaison :

A = R,iR, = !^?:« (204)

Si les fonds de Tenveloppe sont hémisphériques, on les calcule comme à Parlicle précédent ; s^ils pouvaient être assimilés à une calotte sphérique, les actions moléculaires se calculeraient comme si la calotte faisait partie d'une chaudière sphérique de rayon correspondant. Enfin, si ces fonds sont plats, on pourra utiliser les résultats du chapitre précédent.

88. Tubes de «eetii^ii elliptique oneirealalre «oumi» à une pression extérieure. — Le calcul d'un tube de section elliptique est exactement le même que celui que nous avons indiqué au chapitre V pour un anneau. Le cas représenté dans la figure 47, page 211, correspond absolument au cas présent, si l'on suppose le« forces extérieures uniformément réparties. Le calcul ne présente pas non plus de difficultés particulières. Il n'y aurait donc pas lieu de

s'occuper spécialement de ce problème (d'antaul plus que les tubes de section elliptique sont d'un emploi peu fréquent par suite de la faible résistance qu'ils opposent à une pression extérieure), si Ton n'y était conduit par une question de nature toute spéciale.

Supposons qu'un tube de section primitivement circulaire soit légèrement aplati par suite d'une circonstance accidentelle quelconque, de sorte que la section devienne elliptique (nous supposons que la déformation ainsi produite est élastique). Si le tube est soumis en outre à une pression intérieure cette déformation disparaît, lorsque la cause qui la produit cesse. Mais si, au contraire, le tube est soumis à une pression extérieure, il n'en est plus ainsi : la pression extérieure tend à augmenter ou tout au moins à maintenir la déformation.

Il s'agit de déterminer^ dans ce dernier cas, quelles sont les forces qui remportent : des pressions extérieures qui tendent à maintenir ou à augmenter la déformation accidentelle, ou des forces élastiques qui tendent à ramener le tube dans son état primitif. C'est cette question que nous allons résoudre, elle a une grande importance au point de vue pratique, par exemple pour les tubes à feu de chaudières^

Soit (fig. 56) une moitié du tube de section elliptique : étant donné l'hypothèse faite sur la formation de cette section, nous admetlrons que le demi-axe b ne diffère que fort peu du demiaxe a. Soit p la pression extérieure par unité de surface. Considérons un anneau de longueur égale à l'unité dans le sens longitudinal ; si Mo désigne le moment fléchissant à l'extrémité du petit axe, soit pour y =o et a? =«, le moment fléchissant au point Xy y sera, comme précédemment pour Tanneau (art. 72) :

M= Mo +pa{a — «) — ^' (205)

où 5 désigne la longueur de la corde. On a :

Si Ton tient compte de l'équation de Tellipse,

Figure 56.

Téquation (205) peut s'écrire :

M = Mo-^{y' + x'-a')

Désignons par a l'aplatissemenl de Tellipse,

bel a différant peu Tun de l'autre, nous pouvons poser, avec une approximation suffisante :

nous avons alors simplement :

M = Mo— />yV (206)

Il reste à calculer Mo. Comme précédemment, dans le cas de l'anneau, les moments de flexion doivent varier le long de la

section d'une manière telle que la somme des variations angulaires A</cp, étendue à tout un quadrant, soit nulle. Nous pouvons donc poser :

d'où, si nous introduisons pour M sa valeur et si nous remarquons que I est constant, le tube ayant partout la même épaisseur, par hypothèse, la relation :

Mo jds=p(i fy^ds. (207)

Jds est une intégrale elliptique^ elle représente la longueur

d'un quart d'ellipse ; nous pouvons ici, sans commettre une erreur sensible, la remplacer par la longueur d'un quart de circonférence dont le rayon r est égal à la moyenne arithmétique

de a et 6. Nous envisagerons également l'intégrale /y V^ comme

le moment d'inertie d'un quart de circonférence de même rayon. Nous avons donc :

Mo— —

M=Ç(r»-2yO. (208)

Pour le point a? = o, y = ô, soit aux extrémités du grand axe il vient :

M6 = -^*=-Mo,

si l'on néglige la différence entre r et 6. Pour les deux points delà demi-section situés sur les rayons inclinés à 45" sur Thorizontale, M = o. Les moments croissent en valeur absolue

J90 CtiAPlTRE VJlt

xl'uDe maûière continue de chaque côté de ces points : d'ua 4}ôté ils sont positifs, de l*autre négatifs.

NoQs connaissons donc maintenant les moments de flexion produits par une pression hydrostatique externe sur un tube ayant subi au préalable une déformation donnée. Comme on le reconnaît, le sens de ces moments est tel qu^ils tendent à augmenter la déformation déjà existante : à l'extrémité du petit axe, ie moment de flexion tend à augmenter la courbure, aux extrémités du grand axe, au contraire^ à la diminuer ainsi que le montre le signe.

Calculons maintenant les déformations élastiques que les moments que nous venons de calculer sont en état de maintenir, lorsque la cause de l'aplatissement initial cesse d'agir.

Nous pouvons procéder encore comme dans le cas de l'anneau. Soit Aa la variation élastique de longueur du rayon r, au point a, nous avons :

Aa = / yArfy = / ^

Mds IE '

M est donné par la formule (208), en substituant, il vient :

^''=^i^*fyd^-^Jfd')-^

la première intégrale de la parenthèse est le moment statique d'un quart de circonférence par rapport à l'un des diamètres extrêmes. On a la relation :

yds = rdx

(elle résulte immédiatement de la similitude des triangles dont les côtés sont respectivement dsy dx^ dy et r, y et x), donc :

/ yds = r I dx = r'j I tfds =r I y*dx =r'' j dx — r j x^dx

RÉSISTANCE DES ENVELOPPES Û9i

Nous avons finalement :

La variation élastique A6 pourrait se calculer exactement de la même manière. Il n'est cependant pas nécessaire de répéter les opérations ; il suffit de remarquer queM^ étant é^al àMo changé de signe, A6 sera égal à Aa pris avec le signe contraire; donc :

L'aplatissement a'que produisent ces déformations est facile à calculer ; on a :

b — a = àb — Aa, par suite :

Combinons maintenant ces résultatsavec les précédents,c'està-dire supposons que l'aplatissement accidentel initial ce, qui occasionne les moments de flexion M soit précisément égal à Taplatissemcnt a que ces moments, agissant seuls, sont en état de produire. Les deux déformations étant égales, le tube se trouve au point de vue élastique dans un état d'équilibre ; l'aplatissement ne peut disparaître ni augmenter sans laction de nouvelles forces extérieures. Si, au contraire, a' est plus grand que a, il continue à augmenter, et le tube finit par être écrasé. Si enfin a' < a, il faudrait pour maintenir la déformation a une pression hydrostatique plus grande que celle qui agit en réalité : la section du tube reprend sa forme circulaire.

On voit donc qu'il existe, pour un tube donné, une pression extérieure critique, qui ne peut être dépassée sans que le tube ne se trouve dans un état d'équilibre instable.

2»f CHAPITRE VIII

Si alors une seclion vient à subir la moindre déformation accidentelle, celle-ci suffit pour entraîner des déformations toujours croissantes, qui amènent (inalenient la rupture du tube.

Si Ton pose dans Téquation (210) a = a', et que Ton résolve par rapport à p^ on obtient précisément cette pression critique joik . Il vient:

pu=^^- {2i4)

Le moment d'inertie I pour un tube de longueur égale à Tunité

h} et d'épaisseur h est égal à- ; donc:

C'est là le premier cas d'équilibre élastique instable que nous renconlrons. Nous aurons l'occasion d'en voir encore d'autres, parmi lesquels le plus important est celui qui se présente dans le travail à la compression des prismes droits chargés debout.

Si le tube considéré est relativement court et fermé aux extrémités par des fonds, l'écrasement du tube ne peut se produire. Dans le cas des tubes à feu de chaudière, cependant, la longueur est souvent assez grande par rapport au diamètre pour que, malgré les dispositifs employés pour augmenter la rigidité des parois, celles-ci s'enfoncent.

Si l'on a cherché à rendre le tube plus résistant en le cerclant avec des fers cornières, on utilisera pour le calcul non plus l'équation (212), mais bien la formule (211), en tenant compte de l'augmentation du moment d'inertie due aux cercles.