ENVELOPPES A PAROIS ÉPAISSES

89. Tnbes cylindriques soumis II une pression in-^ terne. — On reconnaît immédiatement que, par suite de la

RÉSISTANCE DKS ENVELOPPES i»3

symélrio, l'un des axes de l'étal élastique, qui s'élablïl en un point quelconque des parois, est parallèle à l'axe du tube; qu'un autre est dirigé suivant le rayon et quele troisième coïncide en direction avec la tangente à la circonférence passant par le point donné et dont le centre se Irouve sur l'axe du lube. Nous laisserons d'abord décote les actions moléculaires et les déformations dirigées dans le sens de l'axe du lube et nous nous occuperons d'abord des autres, dont dépend eu première ligne le danger de rupture.

Nous supposerons d'abord que le lube est ouvert h ses ex- (rémilés et qu'il peut se dilater ou se contracter librement dans le sens axial. Soit^ la pression intérieure qui agil sur les parois par unité de surface, et admettons que la longueur du lube soit égale à l'unité.

Sous l'inQuence de la pression, le tube se dilate : soil u l'augmentation qu'éprouve la longueur x.

Si l'on connaissait u en fonction de x, on pourrait indiquer immédiatement les dilatations radiales et langenlielles EreUi e(, par suite, les actions moléculaires.

La question revient donc à déterminer la fonction i^. Considérons un élément superficiel d'une seclion transversale du tube (lig. 57), limité par deux arcs de cercle de

rayon xelx + dx, et deux rayons

Kg. 3/ ^ ... ,

comprenantentreeuxl angle t/a, et

envisageons l'élémeul de volume correspondant. Cet élément est en équilibre sous l'inflitence des actions moléculaires : en écrivant les équations qui expriment ces conditions d'équilibre, nous arriverons au résultat cherché. La figure 58 indique les diverses forces qui agissent sur cet élément. Nous avons évidemment :

i94 GflAPlTRIi: VIII

car la longueur d'une circonférence croil proportionnellement au rayon. Pour la dilatation radiale, nous avons:

en effet, dans la déformation, dx varie d'une quantité égale à du. On voit immédiatement qu'il se produit en réalité un raccourcissement dans le sens radial, du et par suite er sont négatifs. Il est cependant préférable de les supposer positifs, le signe — résultera des calculs. C'est pour cette raison que dans la figure (58), Rr est indiqué comme faisant travailler la matière à l'extension.

Fig. S8 La lettre B du lexle correspond à or dans la figure.

Déterminons d'abord la résultante des actions moléculaires R«. Sur chacune des faces latérales agit une force R/ dXy qui

forme avec la bissectrice de l'angle rfa un angle égal à ^ ;

la résultante des forces agissant sur ces faces est donc :

R^ dxdoL.

Considérons maintenant les actions moléculaires Rr . Larésultante des forces élastiques agissantjsur la face intérieure est :

Rr a; e/a ;

sur la face extérieure, Tinlensité de ces actions est Rr -jd Rr ; leur résultante est donc :

(Rr + dRr ) (oo + dx) doL.

Ces deux résultantes agissent en sens opposé, il suffit par

RÉSISTANCE DBS ENVELOPPES tdS

conséquent de considérer leur différence ; cette dernière n'est autre chose que la différentielle :

■r- (Rr a?) dxdd

dx ^ ^

du produit

Rt<re/a.

Si Rr et la différentielle ci-dessus sont positives, la résultante de toutes les aclions moléculaires Rr esl une force dirigée de rintérieur vers Textérieur ; la résultante des forces R^ est dirigée au contraire de Textérieur vers Tintérieur lorsque les forces R« sont positives.

La condition d'équilibre de l'élément de volume considéré est donc exprimée par la relation :

On a, d'autre part, les formules :

en résolvant par rapport à Ri et Rr, il vient :

R< = -- — 1 (m ti + «r ),

Rr = — — 7 (m tf + CI ),

et en tenant compte des relations (213) et (214) :

p — mE / u du\ m» — 1 V X dxj -j mEi ( du u\

t\r = "t; — : {tn-- — h " ) •

m* — i \ dx xj

Substituons ces valeurs dans l'équation (215), elle prend la forme :

296 CHAPITRE VUl

Mrftt d 1 du \

X dx dxXdxj'

Il esl bon de bien se rendre compte du but de la transformation que nous venons d'opérer.

L'équation (215) est absolument générale, elle est applicable quelles que soient les propriétés élastiques du corps qu^il obéisse à la loi de Hooke ou non. Mais on voit qu'elle contient deux inconnues Rr et Ri et, comme il n'est pas possible d'établir une autre équation entre ces deux quantités en se basant sur des considérations purement mécaniques, le problème est et demeure indéterminé. L'indétermination cesse dès qu*on introduit une nouvelle relation basée sur les propriétés élastiques du corps. Ainsi, dans le cas qui nous occupe, en nous basant sur la loi de Hooke, nous avons ramené le problème à la détermination de la seule inconnue u.

L'équation précédente s'écrit, si l'on effectue les opérations :

, d}u du /ft./»N

C'est là une équation de même forme que celle de la ligne méridienne de la surface élastique d'une plaque circulaire (formule 157). Les considérations qui nous ont amenés dans l'un et l'aulre cas à ces deux équations présentent d'ailleurs, elles aussi, beaucoup d'analogies. Il suffit de faire N = o dans l'équation (157) pour la rendre identique à l'équation (216). L'intégrale générale sera donc de la même forme :

i/. = Ba;4-- . (217)

Il faut déterminer maintenant les constantes B et C. Nous ne pouvons indiquer de conditions aux limites pourw ; par contre, nous savons que sur la face interne du tube, soit pour 03== a, Rr = — p ; tandis que pour la face externe, soit

pour x = b^Rr =0. Calculons d'abord Rr, en tenant compte de la valeur trouvée pour t/, il vient :

RfnE »iEC

pour abréger nous écrirons :

Rr = B'-|. (218)

En utilisant les conditions aux limites, nous obtenons les deux équations :

d'où:

Nous avons donc finalement pour ti l'expression :

"=^;^i7Fr^)[("*-*)^+('«+*)i] (220)

et par suite :

R =„ g* (^ - ^•) •• Px'ib'-a')' . ,„ .

R/ et Rr croissent lorsque x diminue, Tintensité des actions moléculaires atteint donc son maximum sur la face interne du tube. Nous trouvons pour le travail élastique de comparaison qui dépend de la plus grande des déformations :

298 CHAPITRE VllI

90. Tnbes frettés. — Lorsqu'un tube a à subir uae pression très considérable, comme le cylindre d'une presse hydraulique ou un canon, Taugmenlation de l'épaisseur des parois ne sert plus à grand chose, car, comme le montrent les résultats de Tarticle précédent, les couches extérieures ne travaillent que très faiblement et ne contribuent par suite pas à augmenter sensiblement la résistance de Tenveloppe.

On arrive à une meilleure utilisation de la matière des parois par Vemploi de frettes. Lefrettage consiste à appliquer à chaud, sur une première enveloppe intérieure, une enveloppe dont le diamètre est, à la température ordinaire, légèrement inférieur à celui de Tenveloppe intérieure. Après le refroidissement, la matière se trouve par suite soumise à des efforts latents d'extension dans les couches extérieures et de compression dans les couches intérieures. Lorsque l'enveloppe est soumise à une pression interne, il se développe dans les parois des efforts d'extension qui, dans les couches intérieures, neutralisent les efforts de compression latents, tandis qu'ils s'ajoutent^ dans les couches extérieures, aux efforts d'extension déjà existants. On obtient donc bien une utilisation plus uniforme de la matière ; naturellement le résultat est encore meilleur si, au lieu d'employer une seule frette, on en superpose plusieurs.

Nous nous bornerons à examiner le cas le plus simple, en traitant directement un exemple numérique. Soient a =10, 6 = 15, c = 20 cm, les trois rayons à considérer.

Supposons qu'à lOOo^le diamètre intérieurde lafrette ait été exactement égal au diamètre initial extérieur du tube intérieur.

Nous allons déterminer d'abord quelle pression la frette exerce sur le tube intérieur après le refroidissement et quelles sont les actions moléculaires développées dans la matière. Soit ob la différence entre le diamètre intérieur de la frette et le diamètre extérieur du tube intérieur à Tétat initial. Si nous

prenons -r-rj^ comme coefficient de dilatation, nous avons :

Affectons de l'indice 1 les lettres se rapportant à la frelte, et de rindice 2 celles qui se rapportent au tube intérieur. Nous avons pour la dilatation u d'après l'article précédent (éq. 217):

Il faut déterminer les quatre constantes B,, Bj, C,, Cj. A cet effet, nous utilisons les conditions suivantes :

R^= 0 pour 5? = a et pour a; = c, puisque Tenveloppe n'est soumise à aucune pression ni intérieure ni extérieure ; pour x^^b^ Rr doit prendre la même valeur pour la frette et pour le tube intérieur. Enfin, u^ et w, diffèrent, pourx==é, d'une quantité connue ob.

On a, formule (218) :

où B'i, C',, B'„ C'j sont définis par les relations ;

Les trois premières conditions à la limite donnent les relations :

D' Cl ^

r\r Cl p, Cj

Pour établir l'équation représentant la quatrième condition, il faut remarquer que la frette subit certainement une dilata-

CHAPITRB V111

et que, par conséquent, u, esl positif ; tandis que le lube eureslcomprimé, de sorte que », est négatif. À la limite eux tubes, la somme des valeurs absolues de t/, et u, esl mment égale à la difTérence initiale ôb des rayons, a donc :

n mettant pour les quantités u leurs valeurs :

B,A-|-T* — B,6 — ^ = Si.

l'on introduit les inconnues B',, etc., il vient :

n — i) (B', — B',) +(m + if-^~~' = mE~- (223}

I tire des quatre équations de condition précédentes les irs suivantes :

c' - 6- ESb „, ,c*-b'Eib\

;' — a" 26 V 6* —g* Eâb ,b' — a' Eâb

r suite :

__ (c'-6')(m-4}Ji ' 2 (c' - a») mb

__ Ac'-b'}{m-{-{)eb '' 2(c'— a')m6 '

{b^ -a*)(m~i)Sb ) (22T'

introduisant les valeurs numériques adoptées, et en pre- Hi ^ - et E ^ 25 X 10' kg. par cm' (.acier coulé), on fù :

Bi' =— 9ilkg. parcm', C,'= —91100kg.

B,' = 651 kg. parcm', C'= 260400kg.

Bi=— 255xl0-^ Ci = — 474xl0~*cm*. B, = 182 X 10-«, C, = 1354 x 10-* cm».

Soit R6 la pression qu'exerce lafreltc sur le lube intérieur ; nous avons :

= — 9tl +-^ = — 506 kg. p. cm* •

On peut, en se servant de la formule (221), calculer les efforts Rr et R( en un point quelconque de la paroi, en ayant soin de remplacer dans celle formule les quantités a et 6, par b et c, et p par R6, si le point considéré fait partie de la f relie. Calculons le travail élastique de comparaison pour la paroi intérieure du tube et pour la surface intérieure de la fretle ; nous avons :

c» — ô* Sb

c» — a» b = — 1 .820 kg. par cm» ;

= +1.960 kg. par cm*.

Supposons maintenant que ce tube soit soumis à une pression intérieure considérable : prenons /? = 2.000 kg. par cm». Cette pression détermine de nouvelles déformations élastiques qui s'ajoutent aux déformations déjà existantes. Nous suppo* serons que la limite de proportionnalité n'est pas dépassée. Pour calculer les efforts que détermine la pression j9, nous pouvous envisager le tube comme s'il était formé d'une seule pièce et par suite appliquer directement les formules de l'article précédent. 11 suffit de calculer le travail élastique de com-

302 CHAPITRE VIIl

paraison pour les faces intérieures rfela frette et du tube intérieur, puisque ce travail est partout ailleurs plus faible. Nous avons trouvé précédemment pour un point quelconque^ distant de ^de l'axe :

X '^ 6* -— a* \ m m xy

Nous devons maintenant remplacer b par c, diamètre extérieur du tube, nous trouvons :

pour 03 = 10 cm. ^ = + 3.930 kg. par cm*. » a; = 15cm. ^ = + 2.010 » » ».

Ce travail élastique vient s'ajouler à celui que nous avons calculé précédemment, de sorte que le travail élastique de la matière est :

sur la face intérieure du tube :

— 4.820 + 3.930 = 2.H0kg.parcm»; sur la face intérieure de la frette :

Dans le cas particulier, la matière du tube intérieur est beaucoup soulagée par l'application de la frette, par contre, le travail élastique sur la face interne de cette dernière est trop considérable. Nous avons choisi 8ô trop grand, il faudrait recommencer le calcul avec une valeur plus petite pour ùb; la solution la plus avantageuse serait naturellement de choisir 8A de telle sorle que le travail élastique soit le même dans la frette et dans le tube intérieur.

Le calcul précédent s'applique sans grandes modifications au cas oik un cylindre creux est montée chaud sur un cylindre plein. Il suffit de faire a=o dans les formules précédentes.

Ce cas se présente dans la pratique : on a quelquefois à calculer la différence S6 qu'il faut prévoir entre le diamètre d'un arbre et Talésage d'une manivelle que l'on veut monter à chaud sur l'arbre, pour que le travail élastique de la matière ne dépasse pas les limites permises.

Il est bien entendu naturellement que tous les développements précédents n'ont de valeur qu'autant que la limite d'élasticité de la matière n*est pas dépassée.