EXERCICES SUR LE CHAPITRE VIII
Exercice 37. — Une membrane flexible^ tendue sur un orifice circulaire y est soumise sur une de ses faces à une pression p par unité de surface. Déterminer la dôfonnation de la membrane et les tensions développées dans cette dernière.
Solution. — Le plan médian prend dans la déformation la forme d'une calotte sphérique dont la hauteur /"est relativement petite, comparée au rayon r de Touverture. Soit/, le rayon de la calotte, on a :
d'où, en négligeant le terme /* devant les autres :
Soit ?p Tangle au centre qui correspond à Tare méridien de la calotte, r étant très grand/ ^ sera très petit; ou aura donc:
r = r'sinç = r'çp et par suite
La longueur de Tare méridien de la calotte est Rcp, avant la déformation cette longueur était égale à r, soit à R sin îp. Ici nous ne pouvons plus poser approximativement sin <p = cp, parce qu'il s'agit précisément de calculer la dilatation de la membrane, c'est-à-dire une quantité du même ordre de grandeur que la différence entre sin f et 9. Soit e, cette dilatation, on a:
304 CHAPITRE VUl
r'y — r sin 7 » — sin y
(' et^ si Ton développe sin o en série, en ne tenant compte que
des deux premiers termes :
' On trouve par suite :
D'autre part, les actions moléculaires doivent faire équilibre aux pressions qui agissent sur la membrane. Nous pouvons employer ici la formule (201), car il est évidemment indifférent que la calotte considérée fasse partie d'une sphère entière ou non. Nous avons donc la relation :
en égalant les deux valeurs trouvées pour R et en multipliant de chaque côté par <p, il vient :
pr Ey' d'où
En substituant dans les valeurs de fei R, nous avons :
r 4 / 3pr EÂ"
V 2Ut
La solution n'est pas rigoureusement exacte, car R ne dépend pas seulement de la dilatation e dans le sens du méridien, mais aussi de celle qui se produit dans le sens des parallèles. Or, il ne nous est pas possible d'en rien dire, si ce n'est que cette dilatation est nulle sur le pourtour de la membrane. Il n'est pas
absolument certain non plus que e ait la même valeur en tous les points de la surface, comme nous Tavons admis.
Le calcul précédent est cependant d'une exactitude suffisante pour les applications.
Exercice 38. — Une enveloppe à parois minces a la forme fTun ellipsoïde de révolution. Elle est soumise à une pression hydrostatique interne. Etudier Fétat élastique des parois.
Remarque, — Un ellipsoïde et en général toute surface fermée dont la courbure n'est en aucun point infinie (c'est-à-dire pour laquelle les rayons de courbure principaux ne sont en aucun point infiniment grands) est capable de résister à une pression interne ou externe, même lorsque les parois sont assez minces pour ne pouvoir opposer une résistance sensible à la flexion. Il n'en est en général pas de même lorsque la courbure devient infinie comme, par exemple, dans le cas d*une enveloppe cylindrique.
Solution* — Faisons une section suivant un parallèle de Tellipsolde c*est-à-dire perpendiculairement à Taxe de rotation, et considérons la calotte ainsi délimitée. Par raison de symétrie^ les actions moléculaires R<, qui sont dirigées selon les tangentes aux méridiens, ont la même valeur sur toute la circonférence du parallèle considéré. Soit 9 l'angle que forme avec Taxe de rotation la tangente au méridien, sur le parallèle considéré ; on a évidemment la condition :
h désignant l'épaisseur des parois, et x le rayon du parallèle. Nous en déduisons :
px
SAcosf
Jusqu'ici, la méthode est absolument analogue à celle employée dans le cas de la sphère. Pour calculer les tensions Rr,par contre, il ne suffit plus de considérer l'une des moitiés de l'enveloppe, car on ne connaît pas laloi de répartition de ces
306 CHAPlTtlfi VIIl
actions moléculaires le long d'un même méridien. Pour arriver au but, considérons un élément de la paroi compris entre deux sections méridiennes formant entre elles l'angle dx et deux sections parallèles distantes de dy Tune de l'autre.
Les forces qui agissent sur cet élément sont : sur les faces latérales, les tensions R^ et Rr ; sur la face interne, la pression du liquide.
Ces forces se font équilibre ; nous allons donc exprimer la condition que la somme de leurs composantes dirigées dans le sens du rayon du parallèle est nulle, car nous nous sommes déjà servi de Téquation exprimant que la somme des composantes parallèles à Taxe de rotation est nulle, pour calculer R^
Soit ds l'élément de méridien correspondant à l'élément superficiel considéré. Les forces Rr, qui agissent dans les sections méridiennes, donnent pour composante dans le sens du rayon une force d'intensité
^rhdsda.
dirigée de l'extérieur vers l'inlérieur. Les forces R( qui agissent dans la section parallèle supérieure (de rayon or), donnent une composante d'intensité égale à :
R<A ^ dxdoL sin cp
dirigée vers le centre, tandis que la composante des forces R| qui agissent sur le parallèle inférieur est dirigée vers l'extérieur. La différence entre cette force et la précédente qu'il convient de considérer seule, puisque les forces sont de sens contraire, est évidemment égale à :
j- (R^ X sincp) h doc, dœ^
et représente une force dirigée vers ^extérieur.
Enfin, la pression hydrostatique fournit une composante d'intensité
p X doids cos ^ = — px dy doL
RÉSISTANCE DÈS ENVELOPPES lOt 1
dirigée vers Textérieur. L^équation exprimaol la condition d'équilibre s'écrit donc finalement, si nous divisons les valeurs que nous venons de calculer par dx t/x, et si nous remplaçons Rf par la valeur trouvée :
La seule inconnue de cette équation est Rr ; pour tg^ nous pouvons écrire — — , quantité qui, ainsi que j- , se calcule à Taide de Téquation de Tellipse
En substituant dans Téquation ci-dessus, on obtient Rr en fonction de x.
Exercice 39. — Indiquer la marche du calcul des actions moléculaires qui se développent sous r influence d'une pression hydrostatique interne^ dans une enveloppe à parois minces affectant la forme d'un tore.
Solution, — Une section mm (fig. 59), perpendiculaire à Taxe de rotation, coupe les parois de l'enveloppe suivant deux circonférences. Il est évident que, par raison de symétrie, les actions moléculaires R< ont, le long de chacune de ces circonférences, une valeur constante ; mais il est certain, d'autre part, que cette valeur n'est pas la même pour les deux circonférences, il ne suffit donc plus ici, comme c'était le cas dans l'exemple précédent, de considérer simplement Tune des parties de la surface, limitée par la section mm. Coupons le tore par un cylindre nn et considérons Tune des portions de surface du tore limitées par les sectionsm/w etnw. Cette partie de la surface est en équilibre ; donc, en particulier, la sorpme des composantes verticales des forces qui lui sont appliquées doit être nulle. Les actions moléculaires qui agissent dans les
sections déterminées par le cylindre n n sont horizontales ; elles ne figureront par suite pas dans Téquation exprimant
nt
Fig. B9.
La lettre 7 de la figure correspond à la notation R du texte.
la condition ci-dessus. Cette équation ne contiendra donc que la seule inconnue R(.
On a, par exemple, pour la partie de tore située au-dessus de mm et en dehors de n n, en tenant compte des notations indiquées dans la figure et en désignant par h Tépaisseur des parois :
R^ 27: (a? + a) A cos ^ =pn \[a +0:)' — a*)l » d'où, si Ton remarque que cos ^ = -,
Ri
On déterminerait ensuite Rr en considérant l'équilibre d'un élément superficiel infiniment petit, selon la même méthode que celle employée dans l'exercice précédent.
Exercice 40. — Quelle épaisseur faut-il donner à un tube à feu de chaudière de 80 cm. de diamètre^ la pression extérieure étant de 10 kg. par cm^, et le coefficient de sécurité égal à 5 ?
Solution. La pression critique est (éq. 212) :
Nous avons à prendre ici pjt = 50 kg par cm', puisqu'il faut prendre un coefficient de sécurité = S ; r = 40 cm, et E=2X 10' kg. par cm* (tôle de fer). En résolvant par rapport à hy nous trouvons :
Si Ton voulait employer une tôle de moindre épaisseur^ il faudrait renforcer les parois du lube à Taide d'anneaux de fer, de telle façon que le moment d'inertie résultant soit égal à celui auquel correspond la valeur de h donnée par la formule.
Exercice 41 . — Etendre le calcul de Farticle 89, qui se rapporte aux enveloppes cylindriques à parois épaisses^ au cas dune enveloppe sphérique.
Solution. Supposons que la figure 57 représente maintenant la section d'une sphère creuse faite suivant un plan diamétral. Les relations (212) et (213) ne sont pas moditiées. L'élément du volume que nous considérons est maintenant limité par deux sphères concentriques de rayon xeix+dx ei par deux cônes coaxiaux dont les génératrices respectives comprennent entre elles l'angle da.
La composante des actions moléculaires R| dans le sens du rayon est :
r R< 17 a; dx dcL ;
tandis que la résultante totale des actions moléculaires Rr qui agissent sur les deux surfaces sphériques est égale à :
TT d
dx
[x^ Rr) dx rfa".
Nous obtenons donc ici, au lieu de Téqualion (215), la rela-
lfl?(x»Rr)
Vitx
% dx
D faut maintenant exprimer les inconnues R^ et Rr en fonction de la dilatation u ; nous avons dans le cas particulier :
En effet, dans ce cas, Tétat élastique est triple, et, de plus, deux des actions moléculaires principales sont égales à R<. Nous tirons de ces relations :
R, = ^^ [(m - 1) er + 2e,l,
et, en tenant compte de (213) et (214) :
m» — m — 2 L « dxY « mE r, ,. rfu . 2ul
m» — m — 2 L"^ ' dx ce J
Si Ton introduit ces valeurs dans Téquation différentielle trouvée plus haut, celle-ci s'écrit, toutes réductions faites :
du
dx'
dx
L'intégrale générale de cette équation est de la forme:
u = Bx-\ — :
d'où résulte
mE j^ SmEG
Si la pression hydrostatique est intérieure (pour une pres*sion extérieure le calcul serait absolument analogue)^ on a :
R,. = o pour X =b eiRr = — p pour a: = a ;
donc :
d'où
mE*
P m — 2 a* jo m 6» — a' E
On opérera ensuite exactement de la même manière qu'à rarticle 89.
91. Prisme de section circulaire. — 92. Prisme de section elliptique. — 93. Prismes de section rectangulaire. — 94. Calcul des ressorts & boudins. Exercices n«* 42 d 44.
•f . Primnefl de section elrenlaire. — Lorsque la section du prisme est circulaire, on peut coaclure a priori que les points appartenant à une même section se trouveront encore, après la déformation, contenus dans un plan perpendiculaire à Taxe. En effets à cause de la symétrie, la section transversale ne pourrait se transformer qu'en une surface de révolution ; or, il n'existe pas de raisons pour que cette surface tourne sa concavité d'un c6té plutôt que du c6té opposé ; notre sentiment de la symétrie tend à nous faire admettre que le renversement du sens de la torsion ne doit pas avoir d'influence sur la forme de la surface déformée ; il faut donc que les sections transversales demeurent planes dans la déformation. Cette déduction est du reste absolument confirmée tant par la théorie que par les résultats d'expériences. On admettait anciennement, pour la torsion, comme pour la flexion, que les sections transversales demeurent planes dans la déformation, quelle que soit leur forme. Cette hypothèse est parfaitement inexacte : les sections qui ne sont pas circulaires ne demeurent pas planes, ainsi que le prouvent soit la théorie, soit les expériences.
Les fibres parallèles à Taxe longitudinal à Torigine se transforment en hélices dans la déformation. Considérons deux rayons parallèles entre eux, tracés dans deux sections transversales distantes de / Tune de Taulre ; après la déformation, ces deux rayons forment entre eux un certain angle, Pangle de torsion.
Soit A? cet angle, la torsion relative de deux sections transversales, distantes d'une quantité infiniment petite dx Tune de Tautre, est :
Les hélices dont nous venons de parler forment un angle aigu avec les sections transversales, tandis que dans leur état primitif les fibres étaient perpendiculaires à ces sections. Une déformation semblable est corrélative d'une action moléculaire tangentielle S que nous allons calculer.
Considérons une fibre élémentaire distante de r de Taxe longitudinal; le déplacement relatif des deux extrémités de cette fibre dans la déformation est évidemment égal à r multiplié par Tangle de torsion, donc à
. dx
rAçp — •
L'angle droit, que la fibre considérée formait avant la déformation avec le plan de la section transversale, subit de ce fait une variation y. Le produit yrfa: représente, lui aussi, le déplacement relatif des extrémités de la fibre, nous pouvons par suite écrire :
, doc
ydx = r^tfYi
d^où nous tirons :
ràf
D'après la loi de l'élasticité, nous trouvons l'action moléculaire corrélative de la distorsion y en multipliant cette quantité par le coefficient d'élasticité transversale, donc :
S = Gr = ^; (229)
S est dirigé, comme la déformation, perpendiculairement au rayon.
La formule (229) montre que les actions moléculaires S sont réparties linéairement sur la surface ; elles varient proportionnellement au rayon r. S atteint sa plus grande valeur à la périphérie de la section et s*annule au centre. Soient a le rayon de la section, S' la valeur correspondante de S, nous avons^ d'après (229) :
S = îf. (230)
Etablissons maintenant la relation qui exprime que les actions moléculaires développées dans une section transversale doivent se réduire à un couple qui fasse équilibre au moment de torsion. Désignons ce moment par M, nous pouvons écrire :
M= rSrrfF = | Tr'rfF;
rintégrale n'est autre chose que le moment d'inertie polaire Ip de la section^ donc :
00, si l'on remplace Ip par sa valeur — - :
TTC*
Comme on le voit, la formule (231) est de ia même forme que celle que nous avons trouvée pour le calcul des efforts de flexion ; mais, tandis que celte dernière est générale^ la formule (231) ne s'applique qu'aux sections circulaires. 11 est donc préférable de ne pas la laisser sous cette forme et de substituer immédiatement la valeur de Ip, comme nous l'avons fait dans la formule (232).
En tenant compte de l'équation (229), nons trouvons :
La seule extension possible des formules précédentes est :ur application au cas des prismes de section annulaire. Si
et b désignent les rayons de l'anneau (o>- à), nous obtenus :
jr(a«-6«)' 9M/
••. PrlsMiea 4e aectlan elliptique. — On reconnaît nmédiatement que les sections transversales ne demeurent as planes dans la déformation : si cela élait, nous pourrions ppliquer sans changement tes considérations de l'article préâdent et nous arriverions au résultat que l'action moléculire S est en chaque point perpendiculaire au vecteur qui )iut le point considéré au centre de la section. Or, cette inclusion serait fausse : sur le pourtour, en vertu des équaons générales de l'équilibre, les actions moléculaires S ne euvent avoir de composante normale au contour de la secon ; elles sont nécessairement dirigées selon la tangente, l'est là une remarque importante, qu'il y a lieu de ne pas per> re de vue dans tous les problèmes qui se rapportent à la torion des prismes. Naturellement, elle n'est exacte que si le risme est absolument libre à sa périphérie ; si, par exemple,
se trouve en contact avec d'autres corps, de sorte que des étions et des eflorts de frottement se produisent, les actions loléculaires peuvent avoir des composantes perpendiculaires
la périphérie. Nous ferons abstraction de ces cas particu* ers. Les résultats auxquels nous arriverons ne seront donc às partout applicables ; par exemple, ils ne seront pas vatales pour l'extrémité d'un prisme qui est encastrée dans une lachine d'essais.
Soit:
Téqualion de Tellipse qui limile la section transversale du prisme (iig. 60). Pour le point y^ js, on a la relation :
Sot
dy
Fig. 60 La lettre r de la figure correspond à la notation S du texte.
puisque S doit être tangente au contour de la section. Cette équation de condition est satisfaite si Ton pose :
Sxy = Aa'z, Sxz = — kb^y. (235)
Pour procéder d'une fa(;on rigoureuse, il faudrait évidemment considérer d'abord k comme une fonction d'y et de z. Comme nous nous proposons simplement d'établir une théorie élémentaire, nous ne déterminerons pas cette fonction ; nous admettrons arbitrairement que k est une constante. En réalité, cette supposition est pleinement confirmée par la théorie mathématique. Â supposer, du reste^ que ce fait nous fût
318 CHAPITHë IX
inconnu, il suffirait, pour justifier notre hypothèse, que les résultais qui en découlent fussent d'accord avec ceux de Texpérience. Il convient même d'ajouter que cette concordance avec les résultats de la pratique est une plus forte preuve à Tappui de la supposition faite que sa confirmation par la théorie mathématique. Il est certain, par exemple, que Tancienne hypothèse des sections restant planes dans la déformation a été abandonnée bien plus parce qu'elle conduit à des résultats en désaccord complet avec ceux de la pratique que parce qu'elle est formellement contredite par la théorie mathématique. Nous croyons même que cette dernière raison seule n'eut pas suffit à la faire rejeter.
Si Ton suppose k constant, on voit que S croit, le long d'un vecteur partant du centre, proportionnellement avec la distance du point considéré au centre. Pour des points situés sur des vecteurs différents, à égales distances du centre S prend ^ différentes valeurs et forme des angles différents avec les vecteurs correspondants.
Il faut déterminer la valeur de la constante A. Celle-ci dépend naturellement de la valeur du moment de torsion. Si nous prenons le centre de la section comme pôle, le moment statique de Tacliou moléculaire S qui agit en un point donné est :
S^yjsrfF — Sajxye/F ; •
la somme de tous les moments semblables est égale à M, nous avons donc, en tenant compte de (235) :
M = ko} fz'dF + kb' fy'dF. (236)
Les intégrales du membre de droite, qui s'étendent à toute la section transversale, sont les moments d'inertie principaux de celle-ci. Nous avons trouvé précédemment (art. 45) :
yWF= —, J z'dF=—j^,
TOaSIOM 319
substituant dans (236) et résolvant par rapport à ky nous obte-< nous :
Nous pouvons donc calculer maintenant la valeur de S pour chaque point de la section. Cherchons à déterminer l'endroit où S atteint sa plus grande valeur ; cet endroit est certainement situé sur la périphérie, puisque S croit proportionnellement à la distance du point considéré au centre. A première vue, on pourrait supposer que le maximum de S se produit aux extrémités du grand axe ; c^est là du reste le résultat auquel on arrivait selon Tancienne théorie.
Il n*en est toutefois rien. Nous avons :
S» = S»xy + S*x. ^ k\a'z' + é V),
et comme nous ne considérons que le pourtour de la section, nous pouvons écrire, en tenant compte de Téquation de Tellipse :
Si i > a, comme dans la figure (60), S' sera maximum en même temps qu'y. Or, la plus grande valeur de y est a, donc l'action moléculaire maximum se produit à l'extrémité du petit axe. Nous trouvons :
ou, en mettant pour k sa valeur (formule 237) :
^o* = — ïl * (238)
A l'extrémité du grand axe, c'est-à-dire pour y = o,
Cette valeur est a ! 6 fois plus petite que Smaar.
•S. Prismes de seetion reetani^ulaire. — Nous allons
SiO
établir également une théorie approchée pour les prismes de section rectangulaire ; seulement, tandis que dans le cas précédent les résultats de la théorie approchée concordent absolument avec ceux obtenus àTaide delà théorie mathématique, il n'en sera plus de même ici : les résultats que nous obtiendrons ne seront qu'approchés.
Considérons d'abord les propriétés de la section provenant de la symétrie. Si la direction des actions Sxy et Sxz, qui agissent sur un élément superficiel de la section situé dans le premier quadrant, sont celles qui sont indiquées dans la fig. (61)9 les actions moléculaires qui agissent sur les éléments
Fig. 61.
La lettre r de la figure correspond à la notation S du texte.
correspondants des trois autres quadrants doivent nécessairement avoir la direction indiquée dans la figure ; en eiïet, la
torsion ayaot lieu dans le même sens pour les quatre quadrants, le moment des actions moléculaires doit avoir partout le même sens par rapport au centre de la section. De plus, il est certain que, par raison de symétrie, les actions moléculaires qui agissent sur deux éléments superficiels situés à égale distance de part et d'autre d'un axe de symétrie, sont égales en valeur absolue. Nous pouvons exprimer les deux conditions précédentes en disant que S^i^ est certainement une fonction paire d'y et impaire de z, tandis qu'inversement Sx? est impaire par rapport à y et paire par rapport à z.
Une répartition linéaire des actions moléculaires est certainement impossible, puisque Sxy, par exemple, doit s'annuler pour X = a et au centre de la section. Nous voulons^ d'autre part, tout en tenant compte de ces conditions, admettre la loi de répartition la plus simple possible. Nous supposerons d'abord que cette loi peut être exprimée par une fonction algébrique des coordonnées y et z, et nous prendrons cette fonction d*un degré aussi faible que le permettent les conditions auxquelles elle doit satisfaire. On reconnaît aisément qu'une fonction du troisième degré remplit les conditions exigées. Puisque S^j^est impaire par rapport à z et paire par rapport à ?/, nous devons poser :
Sxy = CiZ + CiZy^ + Cj,z\
Sur les côtés du rectangle parallèles à l'axe des z, cette expression doit s'annuler identiquement, nous avons donc l'équation de condition :
Cette relation doit être satisfaite quel que soit z, il faut par suite que :
Sxy est ainsi déterminé à une constante près, nous avons :
Sxy = CiZ - ^; zy\ (239)
32i CHAPITRE lit
Nous procéderons d^une manière analogue pour Sxx. Nous prenons d'abord :
expression qui doit êlre identiquement nulle pour z=± b^ donc :
Il faut pour cela que
Ki = o^ A;, = — —, par suite :
S« = %-|yz». (240)
Les constantes Ci et k^ des formules (239) et ^240) ne sont pas indépendantes Tune de l'autre ; elles doivent satisfaire à une équation de condition, exprimant que les actions moléculaires qui agissent sur un élément de volume iniiniroent petit sont en équilibre. Nous avons trouvé précédemment, en nous servant des équations universelles de l'équilibre, la relation :
dl^x dSyx dSzx Y dœ dy dz
Dans le cas présent, X et R^b sont nuls, car il n'y a pas de raison pour qu'il se développe dans le prisme des tensions normales aux sections transversales, si la torsion n'est pas accompagnée d'une flexion ou d'un effort d'extension ou de compression.
Nous avons de plus :
Syos = ^xy^ ^zx = ^xz î
la relation précédente peut donc s'écrire :
d^xy d^xz
dy dz
Si l'on introduit dans cette équation les valeurs trouvées pour Sflpy et Sx5, elle devient •
On voil qu'elle est identiquement satisfaite si :
Ce résultat montre qu'en tout cas, au point de vue de la statique des corps solides, la loi de répartition des actions moléculaires que nous avons supposée est admissible. Il resterait à démontrer qu'elle est également compatible avec les propriétés élastiques des matériaux, en particulier avec la loi de Hooke. Nous ne ferons pas cette démonstration, puisque notre intention est d'obtenir un résultat aussi simple que possible, ne fût-il qu'approché.
En tenant compte de (241), la formule (240) s'écrit :
Sx. = -^'y+^;y2'. (242)
Il reste maintenant à déterminer la constante Ci : nous procéderons exactement comme dans le cas de la section elliptique. L'équation des moments est de la forme :
= WSx» z — Sxï y) rfF
ou, si l'on remplace S^y et S«; par leurs valeurs (239) et (242) :
L'intégrale du second terme de la parenthèse, étendue à toutes la section, est égale à :
4 / / yVrfyrfz=4 / z^dz / y^dy^= ;
Jo jo Jo Jo 9
les intégrales du premier et du troisième terme représentent les moments d'inertie principaux de la section, on les détermine directement.
L'équation des moments peut donc s'écrire :
Par conséquent, nous obtenons finaleaient :
On reconnaît d'après ces valeurs, que les actions S sont, le long des axes de symétrie, perpendiculaires à ces derniers et qu'elles croissant linéairement du centre à la périphérie. Sur les contours de la section, ces actions sonl dirigées suivant les côtés du rectangle, la loi de répartition est représentée par une fonction du second degré. Le long d'une diagonale, les actions tangenlielles sont parallèles à Tautre diagonale et réparties suivant une loi représentée par une expression du troisième degré. Enfin, le long d'un vecteur quelconque, leur direction varie d'un pointa l'autre.
Déterminons maintenant l'endroit où S atteint sa plus grande valeur. De (244) nous tirons :
^ -dl^') p(«'-y')'+y(*'-^')'j-
Les valeurs de 2 et de y qui rendent celte expression maximum s'obtiennent en égalant à zéro les dérivées partielles prises par rapport à z ou y, ou ce qui revient au même, par rapport à z* ou y*. Nous avons donc les deux équations :
- 2z' (a' — y') + (6»— zy = o. ^■
On reconnaît que les coordonnées des sommets du rectangle satisfont à ces relations ; les autres solutions s'obtiennent en résolvant l'équation :
laquelle est du troisième degré en y*. Nous la résoudrons dans le cas particulier où a = b, c'est-à-dire dans le cas où la seclion du prisme est un carré ; elle peut s'écrire alors :
3/ -- 1 3ay + ay + a' = o.
On trouve pour racines, comme on poura facilement le vérifier :
y,« = a«(2 — VF),
la dernière de ces racines doit être rejetée puisqu'elle donne des valeurs imaginaires pour y, et aussi la seconde qui conduit à une valeur imaginaire pour la valeur correspondante de z (en effet, si Ton fait y = y,, dans la première des équations de condition (245), on trouve :
donc une valeur imaginaire pour z').
Il ne reste finalement que les points dont les coordonnées sont :
= ~^ V §■' 2=±aY/j.
Si Ton introduit ces valeurs dans l'expression trouvée pour S*, il vient :
Cl 3M«
ou :
SmflX=^ 0,306—; •
Ce maximum analytique de S n*est pas nécessairement la plus grande valeur de cette quantité ; le maximum absolu de S peut se produire en un point du contour de la section. Etant donné les résultats que nous avons obtenus sur la répar-
titioades efforts à la périphérie, il suffit que nous considérions les milieux des côtés. Pour y = a et a:= o, il vient :
soit, dans le cas du carré :
On voit donc qu'en effet cette valeur de S est beaucoup plus grande que le maximum analytique qui se produit sur la diagonale. Nous pouvons conclure de ce résultat que, pour les prismes dont la section ne diffère pas beaucoup d'un carré, il suffit de calculer l'action moléculaire mas^ima qui se produit à la périphérie. Il est du reste vraisemblable que, même dans rhypothèse d autres rapports entre les côtés du rectangle, nous arriverions au même résultat.
En permutant a eib dans la formule (246), nous obtenons la valeur de S correspondant à l'autre côté du rectangle.
On reconnaît que S atteint sa plus grande valeur au milieu des grands côtés, c'est-à-dire aux points du pourtour les plus rapprochés du centre de la section. Dans les applications de la formule (246) aux calculs de résistance, il faut donc entendre par a le plus petit demi-côté du rectangle.
Si nous introduisons les côtés entiers du rectangle Ui et éj, au lieu des demi-côtés a et 6, la formule (246) s'écrit :
L'ancienne théorie, qui partait de Thypothèse des sections demeurant planes dans la déformation^ conduisait naturellement à des résultats tout à fait différents : on trouvait que les actions moléculaires atteignent leur maximum dans les sommets du rectangle, c'est-à-dire là où, en réalité, elles sont certainement nulles ; en outre, en vertu de Téquation (231), on admettait que, pour avoir une grande résistance à la torsion, il fallait employer une section présentant un grand moment
TORSION m
d'inertie polaire. Dans le cas d'une section rectangulaire, il paraissait donc indiqué, pour obtenir^ avec une surface donnée^ le maximum de résistance, de choisir un rectangle aussi allongé que possible. Il suffit de songer k la faible résistance à la torsion que possède une règle plate pour reconnaître la fausseté de ces conclusions.
•4. C^leul des ressort* à boudin. — Considérons une tige, que nous admettrons de section circulaire, dont Taxe longitudinal est, à l'état ordinaire, enroulé en forme d'hélice (fig. 62). Supposons le ressort ainsi formé, soumis à l'action de deux forces P égales et de sens contraire, dont la ligne d'action coïncide avec Taxe du cylindre de l'hélice. Suivant leur direction, ces forces P tendent à allonger ou à raccourcir le ressort. Nous allons déterminer : 1® quelle intensité les forces P peuvent atteindre sans que la charge pratique de la matière soit dépassée ; 2^ la longueur dont le ressort s'allonge ou se raccourcit sous l'action des forces P et enfin 3*^ quelle est l'énergie qu'il peut emmagasiner sous forme de travail de déformation. Supposons le ressort coupé en un point quelconque ; les actions moléculaires de la section transversale font équilibre à la force P, agissant sur la porlion du ressort considérée. Appliquons au centre de gravité de la section deux forces égales à P, de sens contraire l'une à l'autre. L'une de ces forces forme avec P un couple M, dont le plan est déterminé par le centre de gravité de la section considérée et l'axe du cylindre. Supposons ce couple décomposé en deux autres ; l'un situé dans le plan de la section, l'autre contenu dans uu plan perpendiculaire à cette dernière. Le premier produit une torsion,tandis que le second développe des efforts de flexion. Si le pas de l'hélice est petit relativement au diamètre du cylindre, le plan du couple M diffère fort peu du plan de la section transversale, de sorte que le couple compo-
sant perpendiculaire à celle dernière est très peiil ; on peut, par suite, négliger sans inconvénient les actions moléculaires qu'il développe devant celles que produit le second couple composant. La force P restante produit des efforts de cisaillement, ces derniers sont toutefois négligeables par rapport aux efforts de torsion, pour peu que le rayon du cylindre soit relativement grand comparativement aux dimensions de la section. Il suffit donc, en général, pour un calcul de résistance, de ne tenir compte que des efforts de torsion. Si r désigne le rayon du cylindre, nous pouvons poser:
M = Pr,
et, si nous appelons a le rayon de la section^ nous aurons (formule 232) :
2Pr S = ^1 (248)
ira* ^
formule qui permet de calculer la force du ressort. Si la section de la tige employée est rectangulaire, on a (formule 247) :
où 01 désigne le petit et b^ le grand côté du rectangle.
Assez souvent, Taxe longitudinal du ressort est enroulé, non suivant une hélice ordinaire, mais selon une hélice conique (exemple : les ressorts des tampons de wagons). Dans ce cas, il faut entendre par r la valeur du rayon correspondant à ai et ^], ou, si ces dernières quantités sont constantes, la plus grande valeur de r. Si «i et A, sont variables, il faut déterminer la section la plus dangereuse. On pourrait naturellement faire varier les dimensions de la section de façon que le travail de la matière soit partout le même. Par exemple, si Ton conservait ezi constant, il faudrait, dans le cas d'une section rectangulaire, faire varier la hauteur ôj proportionnellement à r.
Pour calculer la variation de longueur du ressort sous Tin-
fluence de la charge, nous devons nous baser sur la formule donnant la grandeur de Tangle de torsion. Gomme nous n'avons établi celle-ci que pour une section circulaire, nous nous bornerons à ce cas dans ce qui suit. On trouvera aux exercices, à la fin du chapitre, le calcul de cet angle pour les sections de forme rectangulaire et elliptique, et Ton pourra employer les résultats à un calcul analogue à celui que nous allons entreprendre.
Soit ^A<p l'angle de torsion d'un élément de ressort de longueur ds (mesuré le long de Taxe longitudinal). Supposons d'abord que seul cet élément soit déformé, tandis que tout le resle du ressort conserve sa forme initiale. Si nous supposons, pour fixer les idées, la partie inférieure du ressort maintenue fixe, toute la partie supérieure à ds effectuera, autour de cet élément, une rotation de valeur e/Af ; Taxe est dévié de sa position primitive : toute la partie supérieure est légèrement penchée. Cette obliquité se trouve compensée en réalité par la rotaiion rfA© qu'effectue le ressort autour d'un point diamétralement opposé à celui que nous considérons actuellement, de sorte que la déformation totale du ressort n^entraine pas l'axe hors de sa position primitive. Par contre, les composantes des déplacements, prises dans la direction de l'axe^ s'additionnent et leur somme n'est pas autre chose que Taplatissement ou l'allongement total du ressort.
Soit P le centre de l'élément ds considéré. Le point de l'axe situé à la même hauteur décrit, dans la déformation de la partie supérieure causée par la rotation rfA© autour de P, un arc de cercle de rayon r et d'angle au centre rfA'f . Cet arc coïncide en direction avec l'axe du ressort ; le déplacement dans le sens de cet axe est donc :
rrfA©.
On reconnaît aisément qu'un point quelconque de l'axe de la partie supérieure du ressort se déplace dans le même sens d'une quantité égale. Considérons la figure 63, et soient AA
l'axe du ressort, P la projection sur le plan de la figure de l'élément ds.
Le pas de l'hélice étant supposé petit, ds est sensiblement perpendiculaire à l'axe AA, Taxe longitudinal se projette donc suivant un point P. Soit B un point quelconque de l'axe, il efTeclue dana la déformation une rotation ; l'arc de cercle qu'il décrit est égal à zd^f et la projection de cet arc sur l'ase du ressort ests cos Irficp, mais2C0s ^=:r; le déplacement de B dans le sens de l'ase est donc bien égal à rdA^.
j& variation totale de longueur du ressort w est égale à la ime de tous les termes semblables, étendue à toute la lon- !ur de Pasc longitudinal ; nous avons donc :
Fig. 63
i'équation (233), donne :
conséquent :
'j = — -- I as.
M longueur d'une spire est sensiblement égale à celle d'une conférence de rayon r, nous pouvons donc écrire, si nous ignons par n le nombre des spires du ressort :
j ol P croissant proportionnellement l'un k l'autre, on ient l'énergie totale qui peut être emmagasinée dans le tort en formant le demi- produit de la force P par le che- 1 w^parcouru par le point d'application ; iP'nr*
