EXERCICES SUR LE CHAPITRE IX

Exercice 42. — Calculer Vangle de torsion à(f pour un prisme de section elliptique.

Solution. — Soit M le moment de lorsion,le travail des forces extérieures dans la déformation est égal à- MA<p.

Cette quantité est d'autre part égale au travail de déformation, que Ton peut calculer à Taide de la relation (45) On a donc :

im<f=f^dv,

expression dans laquelle dv désigne un élément de volume du prisme. On peut poser e/t7= dFdl, dl désignant un élément de longueur mesuré dans le sens de Taxe longitudinal. LUntégration par rapporta /peut s'effectuer immédiatement, S ayant la même valeur aux points correspondants des différentes sections transversales. De plus, nous pouvons écrire S' = S'xy H- S*x^ et introduire dans cette relation les valeurs trouvées précédemment (éq. 235). Nous obtenons ainsi Téquation :

MA<p = 'q / *' («*«' + f>Y) dF oa, en tenanl compte de la relation (237),

Les intégrales qui figurent dans l'expression ci-dessus sont les moments d'inertie principaux de la section transversale ; si nous introduisons leurs valeurs, nous obtenons :

•""TT'aWGL 4 "^ 4 J et, après réduction :

CHAPETBE IX

Si l'on fait a^b, on retombe sur la valeur trouvée pour A» ns le cas d'une prisme de section transversale circulaire. On calcule de la même manière A» pour un prisme de secn rectangulaire ; en utilisant la valeur trouvée pour S* (arli- !93), il vient:

/^■(«■-S,')'<fl'=|<!'4-,

par suite :

'^'~ iQQa'b' '

Si l'on introduit les cdtés di et b, du rectangle, au lieu des mi-cfttes a ot h, la formule précédente s'écrit '■

^ ' Go,'V

Ce résultat n'est naturellement qu'approché, comme tes poth&ses de l'article 93 sur lesquelles il repose. Exercice 43. — Une poutre en bois, de section carrée (20 i. de côté), est encastrée à taie extrémité dans un mur. La igueur de la poutre est de i mètre. A l'extrémité libre se <uve fixé un bras horizontal, perpendiculaire à l'axe longiiinal de la poutre el long de 60 cm. Quel est le travail islique maximum que la pièce a à supporter, si ton ap~ que à l'extrémité de ce bras un poids de i .000 kg. ? Solution. — La pièce travaille simultanément et à la flexion à la torsion. Le moment de torsion, qui est le même pour ites les sections transversales, est égal à 1.000 X 60 = .000 k^.cm. Le moment de flexion atteint sa plus grande leur dans la section d'encastrement, pour laquelle il est

égal à 100.000 kg.cm. C'est donc dans celle seclion que se produira le plus grand Iravaîl de la matière. > L'intensité des efforts de flexion est :

P gM/^Xi00.000 -„ ,^ ..o.nnr.*

et celle des efforts tangentiels maxima (éq. 247):

2ai«ôi 2X20» ' ® ^

Ces valeurs maxima deR et de S se produisent aux mêmes points de la section d'encastrement, savoir au milieu des côtés horizontaux de la section.

I) semble qu'il faudrait encore tenir compte des actions moléculaires tangentielles dues à la flexion du prisme et dont la résultante est égale à la force extérieure, soit à \ .000 kg. Nous avons vu toutefois que ces actions moléculaires sont nulles dans les fibres extérieures, il n'y a donc bien à ne tenir compte que des valeurs S et R trouvées plus haut.

Le travail de la matière est donné parle travail élastique de

comparaison ; nous trouvons (formule 40), si nous prenons

^=0,35 R ; 0,65v-4S' + R* et, en introduisant les valeurs numériques :

^ = 0,35 X 75 + 0,65 v^67,5* 75» = 92 kg. par cm. environ.

Exercice 44. — Quelle est la puissance cTtm ressort de 10 spires de 400 mm. de diamètre, formé d*ime tige de section circulaire de 20 mm, de diamètre, si ton admet S = 2.000 kg. par cm*. Déterminer aussi Fénergie qu'il est possible d'em^ magasiner dans ce ressort.

Solution. — L'équation (248) donne :

^~~ÏF ïxTô ^14 Kg.

En substiluantceitevaleurdans (251) et en prenant Gss 900.000 kg, par cm*, on trouve :

2P«nr» 7r>a«mS«

A =-^^ = —JQ— = 4.450 kg. cm.

GEIAPITRË DIXIÈME

RÉStSTANGE DES PBISMES CHARGÉS DEROUT

FLAHREMENT

95. Formule d*Euler. Flambement d'un prisme dont les extrémités sont fixes, mais non encastrées, et dont l'axe est rigoureusement rectlligne. —

96. Prismes dont Faxe longitudinal présente une courbure initiale. —

97. Détermination de la charge critique réelle Pk. — 98. Prisme encastré aux deux extrémités. — 99. Prisme encastré à une extrémité et muni à l'autre d une glissière ne permettant un déplacement que dans le sens de Taxe longitudinal. — 100. Prisme chargé debout, travaillant simultanément à la flexion. — 401. Formule empirique de Navier, Schwarz et Rankine. — 102. Flambement d'un prisme très long travaillant à la torsion.

Exercices no> 45-48.

vr

•ft. Formule d'Euler. Flambentent d'an prisme dont le» ex.trémltéii mont fiiKes, mais non eneastréeo, et dont rame est rlirottreusement rertillirne. — Nous admettons d'abord que Taxe du prisme est parfaitement rectiligne. En réalité, cette condition n'est jamais exactement remplie, car il est pratiquement impossible de dresser parfai- Jtement une pièce. Il est nécessaire de lenir compte dans le calcul de ces petites déviations de la droite absolue, car, contrairement à ce que nous avons vu jusqu^à présent, elles exercent une influence considérable sur la manière dont se comporte le prisme. Nous considérerons plus loin Tinfluence de ces déviations.

Il est une autre condition qu'il n'est pas non plus possible de réaliser d'une manière absolue et dont l'influence sur les

TTT

résullats du calcul esl des plus importantes : c^est le centrage des forces extérieures qui agissent sur les sections extrêmes du prisme. Nous admettrons dans ce qui suit que Ton a cherché à réaliser cette condition aussi bien que possible, de sorte que la distance entre Taxe longitudinal et la ligne d'actioa des forces est une quantité très petite comparativement aux dimensions des sections transversales. Si tel n^était pas le cas, le problème serait le même que celui que nous avons traité à rart, 44.

Considérons une section transversale quelconque et appli* quons au centre de gravité de celle-ci deux forces de signes contraires parallèles et égales à P. Ces deux forces se faisant équilibre, leur addition ne change rien au système des forces extérieures. Tandis que Tune (celle de même signe que P) développe dans la matière un travail à la compression, Tautre forme avec P un couple qui produit une flexion du prisme. La distance du centre do gravité de la section considérée à la ligne d'action des forces P se trouve par suite augmentée.'\Dans le cas traité à Tart, 44, ce fait ne tire pas à conséquence, car la distance de la ligne des forces aux centres de gravité des sections transversales est assez grande initialement pour qu'il n'y ait pas besoin de tenir compte de l'augmentation qu'elle éprouve par suite de la déformation du prisme ; par contre, il n^'en est plus de même ici où, la dislance entre l'axe du prisme et la ligne d'action des forces étant très faible, la déformation du prisme peut être du même ordre de grandeur ou même plus grande que cette distance.

Pig. 64

Pour plus de simplicité, nous admettrons que l'axe AA (fig. 64) du prisme et la ligne d'action des forces P sont situés dans un même plan.

La distance initiale u entre PP et ÂA devient, dans la déformation, pour une section d abcisse a:, M + y; le moment du couple qui agit dans cette section est donc :

Nous avons pour équation de Taxe AA :

U — Uo— hwi-j

et pour équation différentielle de Yaxe longitudinal déformé :

Eig — P(«+y)-.

si nous posons :

nous pouvons écrire :

L'intégrale générale de cette équation est de la forme :

w = A sin our + B cos ou:. (253)

Dans cette expression, A et B représentent des constantes d'intégration, tandis que a est donné, comme on le vérifie facilement, par la formule :

Les conditions aux limites sont les suivantes :

v = Uo poura: = o, v:=sui pour X = ly

il faut donc que :

B=uo et A sina/+Bcos olI:^ui .

Si Ton tire de ces relations les valeurs de A et B, et si l'on substitue dans l'équation (253)^ on trouve facilement :

sin «x t; = sm

■: — - (ui — Uo COS a/) 4- uo cos our (255)

nn al ^ ' ^ ^

'if.

■.•■ Vli

338 GEIAPITRE X

La ligne élastique est ainsi complètement déterminée.

Recherchons maintenant quelles sont les conditions pour que V devienne beaucoup plus grand que u. Soit la parenthèse^ soit le second terme du membre de droite dans l'expression de u sont au plus du même ordre de grandeur que les quantités u elles-mêmes, puisqu'un cosinus est au plus égal à 1 ; il faut donc, pour que v devienne plus grand

que M, que le facteur -: — j prenne une grande valeur. Supposons P très petit, la formule (254) montre que a est de même très petit, de sorte que Ton peut poser approximativement :

sin oi:t:=:auz;, sina/=a/j

le facteur devant la parenthèse est alors égal à -, c'est-à-dire plus petit que Tunité. On reconnaît que cette condition est satisfaite tant que Fangle a/ est plus petit que -. Dès que

P et par suite a prennent des valeurs supérieures, sin a/ diminue, tandis que sin ax, pour certaines valeurs d'à:, par exemple a: = --, continue à augmenter. En particulier, lorsque al

atteint des valeurs avoisinant ic, le facteur devant la parenthèse augmente indéfiniment, car sin a/ tend alors vers o,

tandis qu'au contraire sin aur, pour a?=-, tend vers l'unité. A

la limite, pour

l'équation (255) donne une valeur infinie pour v. Ce résultat signifie qu'en réalité le prisme, sous l'influence des charges P d^une intensité correspondant à cette valeur de oc, se romprait ou subirait tout au moins des déformations plastiques. En combinant les formules (254) et (256) et en résolvant par rapport à P, nous trouvons :

Cette formule est due à Euler ; elle donne la valeur critique Pb que la charge ne saurait atteindre sans qae le prisme subisse des déformations plastiques. En réalité,^ces déformations se produisent déjà sous Tinfluence de forces de moindre intensité.

Il est important de remarquer que les quantités u ne figu* rent pas dans la formule (257). La charge critique ne dépend donc pas directement de la distance initiale entre Taxe du prisme et la ligne d'action des forces P. L'équation (255) montre cependant que la déformation v atteindra d'autant plus vite des valeurs correspondant à un travail élastique dangereux du métal que les valeurs u sont plus grandes.

Il est de plus bien entendu que la valeur de^la charge limite donnée par la formule (257) n'est valable qu'autant que P« est plus petit que :

Po = FR, (258)

c'est-à-dire plus petit que l'effort de compression proprement dile que peut supporter le prisme. Le ilambement de la pièce se produit d'autant plus facilement qu'elle est plus longue ; en comparant les deux formules (237) et (258), on trouvera facilement^ pour un prisme de section donnée, la longueur à partir de laquelle il y a lieu de tenir compte du flambage. Un problème de ce genre est traité dans les exercices.

M. — Priftines dont VaiLe loiiiriladliiAl présente vne «oarbure initiale. — Nous allons montrer qu'une courbure initiale de Taxe longitudinal n'exerce pas non plus d'influence sensible sur les résultats, à condition toutefois que la flèche soit faible par rapport aux dimensions des sections transversales. Nous admettrons que les forces P agissent exactement au centre des sections terminales. Soit fo la flèche maximum de l'axe longitudinal : nous pouvons représenter ce dernier, avec une approximation suffisante, comme un arc de sinusoïde et poser par conséquent :

u=fosinnj. (259)

L'équation différentielle de la ligne élastique est, comme précédemment :

Elg = P(„ + y),

OU) si nous mettons pour u sa valeur,

dx

En intégrant, et en tenant compte des conditions aux limites :

y =0 pour a: s= 0 et a: = /, nous pouvons amemer l'intégrale générale à la forme :

y=/sinTr|, (261)

où / désigne la quantité :

^Zr. (262)

Cette quantité / a une signification fort simple : c'est la plus grande valeur que peut prendre y. Le maximum se produit quand Tangle^est droit, c'est-à-dire pouric=— : /est

donc la flexion subie par le milieu du prisme sous l'influence de P. En tenant compte de la formule (257), nous pouvons mettre / sous la forme :

fo

On reconnaît que, si la flèche initiale /o est petite, la flèche / n'atteint des valeurs dangereuses que lorsque P se rapproche de la charge critique Pe *

Soit cp l^angle que forme dans la pièce déformée, la tangente à l'une des extrémités de la h'gne élastique avec la ligue d^action des forces. Tant que cet angle reste petit, nous pouvons

le poser approximalivement égal à sa langente trigonomél que ; nous avons donc :

soit, si nous tenons compte dâ l'équation (261) ;

Supposons que, dans un essai de résistance au flambeme dans lequel la flèche initiale de l'aie longitudinal de la pi est de quelques millimètres (c'est-à-dire beaucoup plusgrai que l'erreur inévitable entre la ligne d'action des forces compression et la droite joignant les centres de gravité sections d'abouts), on mesure les valeurs de /'correspond aux diverses valeurs de P. Si l'on porte ensuite les vale obtenues pour /en ordonnées sur les valeurs correspond tes de P prises comme abscisses, on doit, ainsi que le mor l'équation (263), obtenir une hyperbole, abstraction faite na rellement des fautes inévitables d'observation. L'équation(2 montre que -^ croit proportionnellement à /. Si donc Toi mesuré aussi ^, ce qui est facile si l'on emploie un appure miroir, et si l'on porte également les valeurs observées ordonnées, en prenant les P comme abscisses, on doit ai obtenir une hyperbole. Ces deux hyperboles ont une asympt commune correspondant à l'abscisse P:^ Pjt .

Les essais entrepris par l'auteur pour vériher ces couc sions ont donné des résultats très satisfaisants.

•Y. DètornainaClaii de la oharye eritlque réelle

— Nous avons déjà remarqué à l'article 95 qu'en réalité pièces chargées debout se rompent ou subissent des déf mations plastiques sons l'influence de forces d'intensité ir rieure à celle donnée par la formule d'Eulor. Ce fait provi 1* de ce que l'axe de la pièce n'est pas absolument rectiligi 2° de ce que la ligne d'action des forces ne coïncide pas rig

34t CHAPITRE X

reusement avec cet axe. Afin de nous rendre compte de Tiafiluence que peuvent avoir ces conditions accessoires, nous allons établir la valeur de la charge critique réelle, ne tenant compte, il est vrai, que du premier motif indiqué ci-dessus ; nous négligerons le second pour ne pas compliquer les cal* culs.

Le travail élastique de la matière atteint sa plus grande valeur dans la section médiane du prisme; pour une cbargeP il est égal à :

Dans cette expression, u désigne la dislance de la fibre considérée à Taxe neutre; /est donné par la formule (263).

La charge critique réelle est évidemment celle pour laquelle la plus grande des actions moléculaires R de la section atteint la limite d'élasticité de la matière; en effet, sitôt cette limite dépassée, les déformations croissent beaucoup plus rapide* ment que ne l'indiquent les formules précédentes, de sorte que la rupture survient rapidement. Nous obtenons donc la charge critique Pk en résolvant par rapport à F l'équation :

FR' = P + if (A+Ap-^^),

dans laquelle R' désigne la limite d'élasticité de la matière, et a la distance h Vase neutre de la fibre extrême. Posons pour abréger :